李琦 施艷紅

摘要：熱敏電阻的阻值會(huì)隨溫度的變化而變化，它是接觸式溫度傳感器的核心元件。能否準(zhǔn)確得到阻值與溫度的關(guān)系直接影響到溫度傳感器測量值是否準(zhǔn)確。但是阻值與溫度的關(guān)系并非簡單的線性關(guān)系，本文討論了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集與多項(xiàng)式回歸的方法建立熱敏電阻阻值與溫度關(guān)系數(shù)學(xué)模型，并得到對應(yīng)解析表達(dá)式的過程。

關(guān)鍵詞：熱敏電阻;掌控板;數(shù)據(jù)

中圖分類號：G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 論文編號：1674-2117（2021）08-0077-04

熱敏電阻一般由電阻溫度系數(shù)（TCR）較大的材料制成，根據(jù)其電阻與溫度變化關(guān)系，可以分為正溫度系數(shù)（PTC）熱敏電阻和負(fù)溫度系數(shù)（NTC）熱敏電阻。接觸式溫度傳感器一般以熱敏電阻作為核心元件，通過如圖1所示的電路得到隨溫度變化的電壓信號。

其中，VCC接電源正極，GND接電源負(fù)極，RT為熱敏電阻，R為對溫度變化不敏感的定值電阻。RT與R形成分壓電路，根據(jù)歐姆定律，此時(shí)OUT端與GND之間的電壓U與電源電壓Vcc、熱敏電阻阻值Rt、定值電阻阻值Rs之間存在如下關(guān)系：

將上式整理后可得到：

Vcc、Rs可以看作是定值，因此通過測量U的值可以計(jì)算得到熱敏電阻當(dāng)前阻值Rt。若該熱敏電阻的溫度-阻值變化規(guī)律已知，則可以進(jìn)一步計(jì)算得到對應(yīng)的溫度。為了得到某熱敏電阻其溫度-阻值變化關(guān)系，可以通過實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)，并通過分析數(shù)據(jù)來開展探究。

● 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，采集數(shù)據(jù)

一般地，開源硬件中的模擬輸入口是一個(gè)模-數(shù)轉(zhuǎn)換器，并且默認(rèn)會(huì)以Vcc作為基準(zhǔn)電壓，如掌控板的P0口就支持12位模-數(shù)轉(zhuǎn)換，且基準(zhǔn)電壓為3.3V。若P0口讀取到的模擬值為2047，則表示當(dāng)前P0口的電壓為≈1.65V。

準(zhǔn)備掌控板、1KΩ定值電阻、燒杯、玻璃溫度計(jì)、待測熱敏電阻以及若干導(dǎo)線，其中待測熱敏電阻的金屬引腳需要用絕緣材料進(jìn)行包裹，以避免金屬引腳與水接觸造成測量不準(zhǔn)確。根據(jù)圖2所示電路將各部分進(jìn)行連接，為了導(dǎo)線連接方便，本案例實(shí)驗(yàn)裝置使用了掌控?cái)U(kuò)展板。實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物如下頁圖3所示。

為了讓掌控板記錄數(shù)據(jù)，在掌控板中上傳如圖4所示的代碼。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，先打開掌控板，將熱敏電阻和玻璃溫度計(jì)放置到燒杯內(nèi)，在燒杯內(nèi)倒入開水直至浸沒熱敏電阻和溫度計(jì)，等待玻璃溫度計(jì)讀數(shù)上升到80℃以上后按下掌控板A鍵。時(shí)刻觀察玻璃溫度計(jì)讀數(shù)，每次玻璃溫度計(jì)到達(dá)掌控板上顯示的目標(biāo)溫度，就按下B鍵。

實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，在mpython軟件中連接掌控板，并在控制臺(tái)中輸入rec，便可以得到記錄的數(shù)據(jù)，如圖5所示。

● 數(shù)據(jù)整理與分析

有許多軟件支持?jǐn)?shù)據(jù)整理與分析。相比之下，使用Python編程進(jìn)行數(shù)據(jù)整理與分析可以更加靈活、深入，利用Python的pandas模塊、numpy模塊和matplotlib模塊可以方便、高效地開展數(shù)據(jù)處理與分析。Jupyter Notebook是一個(gè)交互式筆記本程序，它支持Python程序的分段編寫與運(yùn)行，并實(shí)時(shí)顯示輸出結(jié)果，因此非常適合應(yīng)用在數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域。

1.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)讀取與整理

將mpython軟件切換到Jupyter模式，并新建一個(gè)Jupyter項(xiàng)目。運(yùn)行如圖6所示的代碼可以將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)保存到data對象中。其中rec字符串的值可以從圖5所示的mpython控制臺(tái)中復(fù)制得到。

data是一個(gè)DataFrame對象，溫度值記錄在data對象的temp列中，對應(yīng)的模擬值記錄在vot列中。根據(jù)模擬值計(jì)算阻值，并將結(jié)果保存到resis列中。此外，為了方便查看數(shù)據(jù)，還需要根據(jù)溫度值對數(shù)據(jù)進(jìn)行升序排序。具體代碼如圖7所示。

2.繪制散點(diǎn)圖，觀察數(shù)據(jù)規(guī)律

為了直觀地看到數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，以data中的溫度值作為橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)，對應(yīng)的電阻值作為縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)，利用matplotlib模塊繪制散點(diǎn)圖。參考代碼與運(yùn)行結(jié)果如圖8所示。

從散點(diǎn)圖中可以看出，該熱敏電阻阻值隨溫度增加而增加，屬于正溫度系數(shù)熱敏電阻（PTC），且阻值與溫度存在非線性關(guān)系。

● 建立多項(xiàng)式回歸數(shù)學(xué)模型

為了得到熱敏電阻阻值與溫度的數(shù)學(xué)關(guān)系，需要通過回歸分析的方法得出電阻關(guān)于溫度變化的函數(shù)表達(dá)式?；貧w分析的方法有很多，其中研究一個(gè)因變量與一個(gè)或多個(gè)自變量之間多項(xiàng)式的回歸分析方法，稱為多項(xiàng)式回歸（Polynomial Regression），當(dāng)自變量只有一個(gè)時(shí)，稱為一元多項(xiàng)式回歸。一元多次多項(xiàng)式的回歸方程為：

其中y為因變量，x為自變量，b_i為回歸系數(shù)。多項(xiàng)式回歸方程可以通過增加自變量x的高次項(xiàng)來逼近，因此在某個(gè)確定的定義域范圍內(nèi)，任意連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式來擬合。

在本案例熱敏電阻的阻值與溫度的關(guān)系中，熱敏電阻的阻值可以看作自變量，溫度則作為因變量。因此，可通過一元多項(xiàng)式來進(jìn)行回歸。一元多項(xiàng)式回歸的核心，就是找到合適的回歸系數(shù)b0...bi，使得阻值樣本數(shù)據(jù)R下通過一元多項(xiàng)式計(jì)算得到的溫度預(yù)測值Tp與樣本數(shù)據(jù)中真實(shí)溫度值Tr的均方誤差（MSE）最小。從圖像上看，就是讓回歸方程的圖像盡可能地逼近所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。

利用numpy模塊的polyfit方法可以快速地進(jìn)行一元多項(xiàng)式回歸。在圖9所示的代碼中，利用溫度值作為x值、電阻值作為y值進(jìn)行了最高次為2次多項(xiàng)式回歸。

多項(xiàng)式回歸的系數(shù)保存在coef列表中，具體的系數(shù)采用了科學(xué)記數(shù)法。根據(jù)coef參數(shù)值，回歸方程為：

可以通過如圖10所示的代碼定義predict函數(shù)，以方便回歸方程的計(jì)算。

為了直觀地了解回歸結(jié)果，可以利用predict函數(shù)預(yù)測20～100℃時(shí)熱敏電阻的阻值，并將圖像與觀測數(shù)據(jù)一起繪制到同一張圖表中，代碼與運(yùn)行結(jié)果如圖11所示。

● 模型評估與修正

得到數(shù)學(xué)模型后還需要對模型進(jìn)行評估與修正。從圖11中可以看出，該多項(xiàng)式回歸模型與觀測數(shù)據(jù)的擬合程度并不是很好，特別是低溫段。除了觀察圖表，還可以通過均方誤差來評價(jià)模型。如圖12所示的代碼定義了rmse函數(shù)并計(jì)算預(yù)測值與觀測數(shù)據(jù)的均方誤差。

嘗試在圖9所示的代碼中修改polyfit函數(shù)的參數(shù)，逐個(gè)增加多項(xiàng)式的高次項(xiàng)，當(dāng)最高次為3次時(shí)，模型圖像與均方誤差如圖13所示，無論是圖像表現(xiàn)還是均方誤差都有改觀。

逐步增加高次項(xiàng)可以進(jìn)一步提高模型的擬合程度，本案例中最高次與均方誤差的關(guān)系如下表所示。

但是，多項(xiàng)式最高次數(shù)并非越大越好，隨著次數(shù)的增加，多項(xiàng)式回歸模型容易出現(xiàn)“過擬合”現(xiàn)象，所謂的過擬合是指回歸模型與觀測數(shù)據(jù)的擬合程度很好，但預(yù)測數(shù)據(jù)的表現(xiàn)很差。如圖14所示的是多項(xiàng)式最高次數(shù)為8時(shí)的函數(shù)圖像，可以明顯看出模型在高溫段失效。

因此，本案例中的熱敏電阻阻值R與溫度T的關(guān)系可以通過一個(gè)7次多項(xiàng)式方程來表示：

R=（4.89005432e-11）+（1.21358405e-07）*T-（3.49422507e-05）*T2+（3.98052301e-03）*T3-（2.31129452e-01）*T4+（7.36089221e+00）*T5-（1.22738958e+02）*T6+（1.53919756e+03）*T7

事實(shí)上，多項(xiàng)式回歸模型也有其局限性，它在觀測數(shù)據(jù)范圍內(nèi)表現(xiàn)較好，而在觀測數(shù)據(jù)范圍之外則容易失效。例如，上述方程在定義域[0，100]的函數(shù)圖像如圖15所示。可以看到利用該回歸模型并不能準(zhǔn)確預(yù)測低于20℃時(shí)的熱敏電阻阻值。

與傳統(tǒng)教學(xué)方式相比，項(xiàng)目式教學(xué)更有助于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力和探究精神，可以讓學(xué)生更深入地掌握、理解、應(yīng)用學(xué)科知識。但項(xiàng)目活動(dòng)的開展往往涉及多學(xué)科的知識，利用開源硬件采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并結(jié)合數(shù)學(xué)建模與Python編程，可以開展許多學(xué)科實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)。本案例涉及信息技術(shù)、數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科內(nèi)容，體現(xiàn)了信息技術(shù)學(xué)科計(jì)算思維、數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新，數(shù)學(xué)學(xué)科數(shù)學(xué)建模，物理學(xué)科實(shí)驗(yàn)探究等學(xué)科核心素養(yǎng)。希望通過本案例能給大家?guī)砀嗟膯l(fā)。

參考文獻(xiàn)：

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