高建成 ?林文芝

【摘 要】章節(jié)起始課，是指每一章教學(xué)內(nèi)容的第一節(jié)課。大概念下的章節(jié)起始課要基于數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)思考，整體設(shè)計(jì)。結(jié)合銳角三角函數(shù)的教學(xué)，教師要做到：讀懂教材，梳理重組;讀懂學(xué)生，優(yōu)化設(shè)計(jì);讀懂課堂，啟發(fā)引導(dǎo)。大概念教學(xué)更注重概念產(chǎn)生的情境，更注重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。概念變式是深化理解概念的有效途徑。

【關(guān)鍵詞】大概念 章節(jié)起始課 銳角三角函數(shù)

初中數(shù)學(xué)每一章的起始課通常是一節(jié)概念課。概念教學(xué)一般從數(shù)學(xué)概念的引入、形成（圖象、符號(hào)、語(yǔ)言）、本質(zhì)（內(nèi)涵、外延、關(guān)鍵詞）、鞏固轉(zhuǎn)化、遷移應(yīng)用等幾個(gè)方面展開(kāi)。它的課堂教學(xué)一般模式是：情境引入—探究概念—呈現(xiàn)概念—辨析概念—深化概念—應(yīng)用概念—數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)。教師在課前設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，一般會(huì)從學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知及學(xué)情出發(fā)去考慮、設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)，課堂上拘泥于單課時(shí)的內(nèi)容，就課講課，缺少整體上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)認(rèn)知和把握，缺少大概念下對(duì)各種教學(xué)要素的選擇和應(yīng)用。

數(shù)學(xué)教學(xué)要展現(xiàn)如何得到數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)果的思維過(guò)程?；诖?，大概念下的教學(xué)，教師一方面要做好解構(gòu)，要對(duì)整個(gè)模塊、整章知識(shí)的結(jié)構(gòu)都有很清楚的認(rèn)識(shí)，對(duì)教材進(jìn)行選擇和重組，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，在進(jìn)行意義解構(gòu)的同時(shí)，嘗試多元化解讀，整理符合學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平的素材和資源;另一方面要做好建構(gòu)，設(shè)計(jì)更利于概念理解的情境，借助觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成及思維的鍛造過(guò)程，在動(dòng)作圖式、圖象圖式、符號(hào)圖式及相關(guān)變式中，完成學(xué)生個(gè)體的意義建構(gòu)。

下面以浙教版九年級(jí)下冊(cè)“1.1銳角三角函數(shù)”第1課時(shí)為例，具體闡述如何在大概念下設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)。

一、讀懂教材，梳理重組

函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容。初中階段它包含了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)。研究銳角三角函數(shù)，我們應(yīng)基于函數(shù)這個(gè)大概念，分別從概念、定義域、值域、圖象（高中內(nèi)容）、性質(zhì)、變式、應(yīng)用等方面逐一探究，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容有：銳角三角函數(shù)的定義，確定銳角三角函數(shù)的取值范圍，銳角三角函數(shù)的增減性，推導(dǎo)互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系和同角三角函數(shù)之間的基本恒等關(guān)系，解決直角三角形邊角之間的關(guān)系等。

讀懂教材，是基于大概念設(shè)計(jì)教學(xué)的前提。教師應(yīng)多角度、高站位地解讀教材中的教學(xué)內(nèi)容，縱向比較同一版本教材各冊(cè)的相關(guān)內(nèi)容，厘清教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)順序，以及教材依據(jù)的學(xué)生認(rèn)知心理順序，系統(tǒng)感知本課時(shí)處于單元整體中的位置，以及本課時(shí)與前后知識(shí)的聯(lián)系。當(dāng)然，教師也可以橫向比較研究不同版本教材的相同內(nèi)容，深入解讀編者的編、教師的教、學(xué)生的學(xué)。

二、讀懂學(xué)生，優(yōu)化設(shè)計(jì)

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握直角三角形中兩銳角之間的關(guān)系、三邊之間的關(guān)系，以及含30°和45°特殊角的直角三角形的邊角關(guān)系。學(xué)生能理解函數(shù)的概念，初步了解研究函數(shù)的一般方法，在發(fā)生認(rèn)知沖突時(shí)，渴望通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí)和新方法來(lái)分析問(wèn)題，在問(wèn)題的引導(dǎo)下，能?chē)L試去觀(guān)察、分析、猜想和證明。

讀懂學(xué)生，是基于大概念設(shè)計(jì)教學(xué)的關(guān)鍵。學(xué)生在接受新知識(shí)時(shí)，新舊知識(shí)之間出現(xiàn)了斷裂，可能是因?yàn)橐延兄R(shí)儲(chǔ)備不夠，也可能是因?yàn)樵谒季S銜接的過(guò)程中未找到關(guān)聯(lián)之處。因此，教師在預(yù)設(shè)教學(xué)過(guò)程時(shí)，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，充分考慮學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知走向，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，逐步形成數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、類(lèi)比思想等更高層次的思想觀(guān)念。

三、讀懂課堂，啟發(fā)引導(dǎo)

1. 前測(cè)反饋，創(chuàng)設(shè)情境

前測(cè)：如圖1，在△AOB中，∠O=90°。

①若OA=2，OB=3，

則AB=________。

②若∠B=25°，

則∠A =______。

③若∠B=30°，AB=8，則OA=____________。

④若AB=，OA=，則∠B=___________。

提問(wèn)：

①若∠B為任意角度，能根據(jù)∠B，AB的值直接求OA嗎？

②若AB≠2OA，能根據(jù)AB，OA的值直接求∠B嗎？

探究目標(biāo)：直角三角形邊角之間的關(guān)系。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生前測(cè)完成的正確率較高，學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的求解過(guò)程中，復(fù)習(xí)了兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°，三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2，以及特殊角的邊角關(guān)系。在提出新問(wèn)題后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備無(wú)法分析解決不含特殊角的直角三角形的邊角關(guān)系問(wèn)題，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突。教師明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)方向，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

2. 數(shù)形結(jié)合，辨析概念

（1）觀(guān)察思考

觀(guān)察圖2中的Rt△ABC，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2。

圖2

思考：

①三個(gè)直角三角形有什么變換關(guān)系？

②填空并證明：=__________=__________。

證明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠AC1B1，

∴△ACB∽△AC1B1。

∴=。

同理可得=。

∴==。

幾何畫(huà)板演示：改變BC的位置，的比值不改變。

結(jié)論：在Rt△ABC中，對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，其對(duì)邊與鄰邊的比值是唯一確定的。

想一想：對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，其對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？

幾何畫(huà)板演示：改變BC的位置，BC，AC，AB的長(zhǎng)度都在改變，但，，的比值都不改變;但改變∠A的大小，，，的比值都在改變。

（2）定義概念

對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，，，的比值唯一確定，因此，，的比值與銳角∠A之間存在某種函數(shù)關(guān)系。

練習(xí)2：如圖15，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則=______，tan∠APD=______。

練習(xí)3：在Rt△ABC中，若2AB=AC，則銳角∠C的余弦cos C=______。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】在大概念下，要求拓展提升的練習(xí)涉及的知識(shí)與方法更多，思維更深刻。練習(xí)1關(guān)聯(lián)了圓中的垂徑定理，練習(xí)2關(guān)聯(lián)了相似三角形，繼續(xù)深入探究圓中、網(wǎng)格中的三角函數(shù)問(wèn)題。練習(xí)3是2019年杭州的一道中考題，學(xué)生在無(wú)圖的情況下嘗試自己去畫(huà)圖，從哪一個(gè)角是直角出發(fā)去分類(lèi)討論。學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸形成數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、類(lèi)比思想等，讓認(rèn)知向縱深發(fā)展，思維向高階邁進(jìn)。

四、設(shè)計(jì)反思

1. 大概念教學(xué)更加注重概念產(chǎn)生的情境

情境認(rèn)知理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是基于情境的，創(chuàng)建有意義的情境背景，有利于概念的建構(gòu)，并促進(jìn)知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn)的連接。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)，可以來(lái)源于生活中的真實(shí)背景，從具體事例、實(shí)物模型引入，通過(guò)小視頻、微課、音樂(lè)、故事、游戲等手段展開(kāi);也可以著眼于數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，用問(wèn)題串聯(lián)已學(xué)知識(shí)和將學(xué)知識(shí)。

我們?cè)谘芯糠幢壤瘮?shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)，通常采用生活情境或問(wèn)題情境，本文研究的銳角三角函數(shù)教材中是以?xún)蓚€(gè)物體在兩個(gè)坡角不同的斜面上向上運(yùn)動(dòng)為背景引入課題，教師也可以設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境，如山坡、屋頂?shù)男泵妫蛴媚景瀣F(xiàn)場(chǎng)搭建斜面等，但這些生活情境的創(chuàng)設(shè)缺乏數(shù)學(xué)知識(shí)本身的前后邏輯聯(lián)系，因此本案例基于函數(shù)大概念，通過(guò)問(wèn)題前測(cè)，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)—直角三角形的三邊關(guān)系、兩銳角之間的關(guān)系、特殊直角三角形的邊角關(guān)系出發(fā)繼續(xù)探究，提出的新問(wèn)題使學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備無(wú)法解決問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的繼續(xù)研究。

斯皮羅認(rèn)為，結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域的有關(guān)某一主題的概念，它們之間是以一定的層次結(jié)構(gòu)組織在一起的?；诖蟾拍钤O(shè)計(jì)概念產(chǎn)生的背景，并不拘泥于生活中的具體情境，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和本質(zhì)，從數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容所在的大概念單元內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)以及各知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)、走向和邏輯鏈，從特殊到一般，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，走向升華，這也反映了基于大概念設(shè)計(jì)教學(xué)寬廣的角度。

2. 大概念教學(xué)更加注重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”指的是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維方式、解題策略以及有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是新知識(shí)與學(xué)生已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)相互交融的過(guò)程，有效的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，因此，基于大概念下預(yù)設(shè)的問(wèn)題和探究都要符合大多數(shù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律。在此基礎(chǔ)上學(xué)生積極、主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，親歷觀(guān)察分析、猜測(cè)驗(yàn)證等活動(dòng)與體驗(yàn)，學(xué)習(xí)構(gòu)建新的知識(shí)，并很好地將知識(shí)遷移到新的情境中，提高思維層次，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理、特殊直角三角形的邊角關(guān)系、函數(shù)的概念、相似三角形等，通過(guò)學(xué)習(xí)研究反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，學(xué)生還在一定程度上具備了研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，因此，在設(shè)計(jì)銳角三角函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師可以基于函數(shù)這個(gè)大概念，從概念、圖象（高中內(nèi)容）、性質(zhì)和應(yīng)用幾個(gè)方面去研究銳角三角函數(shù)。通過(guò)問(wèn)題情境，學(xué)生從已學(xué)直角三角形的邊邊關(guān)系、角角關(guān)系自然過(guò)渡到要學(xué)習(xí)的邊角關(guān)系;在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的概念后，學(xué)生又基于概念探究了銳角三角函數(shù)的值域、增減性、互余兩角及同角三角函數(shù)之間的一些簡(jiǎn)單的恒等關(guān)系、sin A與cos A的大小比較等。

了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，既要了解學(xué)生學(xué)習(xí)該概念時(shí)已有的知識(shí)背景（包括知識(shí)技能和方法），也要了解學(xué)生學(xué)習(xí)該概念的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、積極性、學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法，更要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)該概念可能遇到的困難和困惑?？傊?，教師若能讀懂學(xué)生認(rèn)知、讀懂課堂生成、讀懂學(xué)生“困惑”，就能更好地處理“學(xué)”與“教”的關(guān)系，課堂中也會(huì)碰撞出更多精彩“意外”的知識(shí)生成，使教學(xué)更有實(shí)效，學(xué)生也會(huì)更樂(lè)于思考、勤于思考、善于思考。

3. 大概念下的變式是理解概念的有效途徑

顧泠沅教授在系統(tǒng)地分析和綜合了變式教學(xué)的概念后，確認(rèn)和說(shuō)明了兩種變式：“概念性變式”和“過(guò)程性變式”。概念性變式旨在對(duì)概念的多角度理解，本質(zhì)不變，形式改變，著眼于概念形成以后的深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生通過(guò)對(duì)概念多角度、全方位、廣層次的理解，深層把握概念的本質(zhì)。過(guò)程性變式重在數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次性推進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生分步解決問(wèn)題，積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)多次采用了概念性變式和過(guò)程性變式，學(xué)生在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的概念后，在辨析概念時(shí)，通過(guò)求正放、斜放、倒放的直角三角形中角的正弦、余弦及正切值，多角度地理解銳角三角函數(shù)的概念，然后通過(guò)求網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系、圓等不同圖形中的銳角三角函數(shù)，全方位地理解銳角三角函數(shù)的概念。在例題解析后，通過(guò)變式遷移銳角三角函數(shù)在不同圖形和不同條件下的應(yīng)用，學(xué)生同時(shí)經(jīng)歷“有圖—半圖—無(wú)圖”的解題變遷，自然地想到去構(gòu)造直角三角形，廣層次地理解銳角三角函數(shù)的概念。拓展提升練習(xí)中的條件和圖形都更加復(fù)雜，學(xué)生繼續(xù)深入探究圓中、網(wǎng)格中的三角函數(shù)問(wèn)題，且問(wèn)題關(guān)聯(lián)了圓中的垂徑定理、相似三角形等。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象是復(fù)雜而抽象的，僅用單一的表征形式闡釋概念，學(xué)生往往難以理解。概念性變式及過(guò)程性變式則能多元表征、多角度闡釋數(shù)學(xué)對(duì)象，將各種表征形式的優(yōu)點(diǎn)融合，抽象的數(shù)學(xué)概念或?qū)ο缶蜁?huì)變得淺顯易懂，深入人心。

本文系浙江省教師教育重點(diǎn)課題“凝練教學(xué)主張—名師培訓(xùn)的理論建構(gòu)與實(shí)踐創(chuàng)新”（課題編號(hào)：ZD2019001）階段性研究成果。

（作者單位：1.浙江省杭州市余杭區(qū)教育發(fā)展研究學(xué)院;2.浙江省杭州市余杭區(qū)臨平第五中學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩

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