顧英杰，楊偉棟，劉志遠，羅志國，2，鄒宗樹，2

（1 東北大學冶金學院，遼寧沈陽110819； 2 東北大學冶金學院多金屬共生礦生態(tài)化冶金教育部重點實驗室，遼寧沈陽110819）

引 言

在石油、冶金、礦物加工等過程中都存在泡狀流動[1-3]。在這些流動過程中，氣泡的形狀、上升軌跡以及上升速度都在隨時發(fā)生變化。當氣泡的形狀和上升速度發(fā)生變化后其尾流也會發(fā)生變化，而尾流的變化可能會使氣泡周圍的流場發(fā)生變化，進而影響氣泡上升過程中的運動行為[4-9]。初始直徑不同的氣泡上升過程中的運動行為不同[10-13]，其上升過程中尾流的演變也可能不相同。尾流運動狀態(tài)的不同會導致流場的擾動程度不同，不同的流場對工業(yè)生產(chǎn)起著不同的作用。因此，深入研究初始直徑不同的氣泡自由上升過程中其尾流的演變具有重要意義。

當流體以不同的流速流過不同形狀的物體時，其尾流的形態(tài)以及脫落頻率都不相同[10,14-15]。為了探究氣泡尾流的特性，國內(nèi)外學者做了很多實驗和數(shù)值模擬的研究。目前大多數(shù)研究主要集中在液體的黏度、液體的運動方式和氣泡界面受污染程度對氣泡尾流的影響[6,16-19]。實驗研究方面，de Vries等[16]和Brücker[17]使用PIV 技術研究了氣泡自由上升過程中其尾流的變化，實驗結果表明氣泡的形狀為球形或橢球形，實驗結果還表明自由上升氣泡的尾流由做順時針運動和逆時針運動的兩個渦旋構成。數(shù)值模擬研究方面，前人將氣泡的位置或形狀固定來研究其尾流的演化[11,18-21]。倪明玖[22]使用VOF 方法研究了氣泡尾流形成的機理，但其沒有研究氣泡尾流的脫落過程。Xu 等[23]使用VOF 方法對金屬溶液中自由上升的氬氣泡尾流的運動狀態(tài)進行了模擬研究，結果表明氣泡的尾流是從其下表面開始脫落，且尾流脫落的過程會對氣泡的形狀產(chǎn)生影響。龐明軍等[18-19]數(shù)值模擬研究了氣泡界面受污染程度對其尾流的影響，研究中他們將氣泡視為位置固定的球。Antepara 等[24]使用數(shù)值模擬方法研究了形狀不同的氣泡上升過程中其尾流的演變過程，但其沒有探究氣泡長軸與水平線存在夾角情況下氣泡尾流的運動狀態(tài)，并且其模擬研究中幾何模型的尺寸僅為氣泡初始直徑的2～2.75 倍，這無法完全消除壁面效應對氣泡尾流的影響。自由上升氣泡的尾流和氣泡的其他運動行為之間的關系也是學者研究的重點。Lee 等[25]和Tripathi 等[26]研究結果表明氣泡尾流的脫落會影響其上升的運動軌跡。Cano-Lozano 等[21,27]通過數(shù)值模擬方法對氣泡的上升軌跡和尾流進行了研究，結果表明氣泡的不穩(wěn)定上升是由氣泡尾流的不對稱脫落造成的。Gaudlitz 等[9]使用直接數(shù)值模擬方法研究了當量容積直徑為5.2 mm 的氣泡自由上升過程中其尾流的變化，研究結果表明氣泡尾流脫落時的頻率和氣泡上升軌跡發(fā)生振蕩時的頻率相同。

目前，大多數(shù)的數(shù)值模擬研究氣泡尾流時將其視為一個形狀和位置固定的球或橢球，而氣泡的形狀和速度在其上升過程中是不斷變化的，因此研究氣泡尾流的演變時將其形狀和位置固定是不夠完善的。本文采用VOF 的方法對靜止水中氣泡上升過程中尾流的演變進行了數(shù)值模擬，并分析了不同尺寸氣泡的尾流演變過程。

1 數(shù)值模擬

氣泡在自由上升的過程中其形狀是不斷變化的[28]。在眾多的多相流模型中，VOF 方法不僅能夠準確地模擬出氣泡上升過程中的形狀變化、不穩(wěn)定上升等行為[6,29]，還能夠模擬出氣泡的尾流[22]。因此本文利用VOF 模型在商業(yè)計算流體力學（CFD）軟件Fluent中對不同初始直徑的氣泡自由上升的過程進行了數(shù)值模擬。假設模擬的氣液兩相流是等溫系統(tǒng)，氣體和液體均為黏度固定的不可壓縮牛頓流體，同時假設液體初始狀態(tài)為靜止。

1.1 控制方程

質(zhì)量守恒方程和動量守恒方程為

式中，t 為時間，s；u 為速度，m·s-1；ρ 為密度，kg·m-3；p 為壓強，Pa；μ 為動力黏性系數(shù)，kg·(m·s)-1；Fs為表面張力，N·m-3；g為重力加速度，m·s-2。

VOF 模型是流體體積函數(shù)法，對于單相或多相體積分數(shù)的連續(xù)方程如下。

對第q相

式中，αg為氣相體積分數(shù)。本文中氣體為空氣[ρ=1.225 kg·m-3，μ=1.7894×10-5kg·(m·s)-1]。

對主相

式中，αl液相體積分數(shù)。本文中液相為水[ρ=998.2 kg·m-3，μ=1.003×10-3kg·(m·s)-1]。

出現(xiàn)混合流體的計算單元中密度與黏度的計算方法為

式中，μl為液相黏度；μg為氣相黏度；ρl為液相密度；ρg為氣相密度。

對于水氣交界面上的表面張力，應用Brackbill等[30]提出的表面張力模型（CFS）。該模型中把表面張力作為一個體積力Fs，對于兩相系統(tǒng)其表達式為

式中，σ 為表面張力系數(shù)，N·m-1；k 為界面的曲率；αl為液相體積分數(shù)；ρm為混合相的密度，利用式(5)計算。

1.2 幾何模型和邊界條件

氣泡的上升行為會受到壁面的影響[25]，當壁面到氣泡的距離大于氣泡直徑的3 倍時，可以忽略壁面效應的作用[31]。數(shù)值模擬所用的幾何模型如圖1所示，尺寸為80 mm×150 mm。網(wǎng)格為結構化網(wǎng)格，其總數(shù)量共計約61萬個。出口設置為壓力出口，空氣在出口處的體積分數(shù)為1。壁面采用無滑移邊界。模擬中氣泡初始的直徑為2.4、2.7、3.0、3.4、3.7 mm，氣泡的初始位置距離幾何模型底部15 mm。

用基于壓力的方法分離和求解模型方程。用壓力隱式的PISO方法求解壓力-速度耦合。動量離散方法采用二階迎風格式，氣液界面自由表面形狀采用QUICK 方案。殘差設定收斂的標準為1×10-5，時間步長為1×10-5。

圖1 計算域和網(wǎng)格劃分Fig.1 Schematic diagram of computational domain and mesh

1.3 模型驗證

本文采用如圖2所示的實驗設置來驗證模型的準確性。實驗所用的超白玻璃水箱尺寸為150 mm×200 mm×200 mm。實驗氣源為空氣，其經(jīng)氣閥調(diào)節(jié)氣流量以產(chǎn)生單個氣泡。液體為超純水，且實驗與模擬中保持液面高度一致。 高速攝影機（PASTCAM SA-Z）的拍攝頻率為4000 fps，采用背投光進行補光。實驗驗證拍攝的氣泡初始直徑為2.7 mm 和3.7 mm，且每個氣泡直徑下至少有三次重復拍攝的結果。下文將模擬所得的結果與實驗進行了對比，如圖3 和圖4 所示。從圖3 中可以看出，氣泡上升過程的實驗和模擬結果中其形狀都是由球形轉(zhuǎn)變?yōu)闄E球形，且橢球形的氣泡上升一段時間后，氣泡的長軸與水平方向都會產(chǎn)生一個夾角。圖4 中的速度是多次實驗的平均值，且氣泡的速度是由Image-Pro Plus 軟件計算得到。從圖4 中可以看出，氣泡的上升速度隨氣泡上升高度的增加都呈現(xiàn)為增大、減小、增大后趨于穩(wěn)定，且模擬值與實驗值誤差較小。這表明了數(shù)值模擬結果的有效性和準確性。

圖2 實驗設置Fig.2 Experimental setup

2 結果與分析

2.1 尾流的形成及其演變

由文獻[10-11]可知，當流體流經(jīng)障礙物時，靠近障礙物的表面會形成邊界層，邊界層外流體的黏性可以忽略不計，將其視為理想流體，邊界層內(nèi)流體的黏性不可以忽略。當流體的流速增加到一定數(shù)值時，會產(chǎn)生邊界層分離現(xiàn)象，形成尾流。流體Reynolds 數(shù)的變化導致尾流的運動狀態(tài)發(fā)生變化。

圖3 氣泡上升過程的實驗和數(shù)值模擬結果Fig.3 Experimental and simulated result of bubble rise process

圖4 氣泡速度隨氣泡上升高度的變化Fig.4 Evolution of bubble velocity with rising height of bubble

氣泡自由上升過程也會形成尾流，但其與流體流經(jīng)障礙物所形成的尾流不完全相同[5]。障礙物的尾流主要是邊界層分離所形成，而氣泡的尾流還存在氣體內(nèi)部循環(huán)的影響[22]。此外，當障礙物形成尾流時，一般障礙物的位置和形狀都是不變的，而氣泡的位置和形狀在其尾流形成過程中時刻都在發(fā)生變化。圖5給出了初始直徑為2.7 mm的氣泡自由上升過程中其尾流隨時間的演化。從圖5中可以看出，隨著上升時間的增加，氣泡的形狀由球形轉(zhuǎn)變?yōu)闄E球形；當上升時間為0.16 s 時，氣泡的長軸與水平方向產(chǎn)生角度，且隨上升時間的增加，這個傾斜角度的大小會發(fā)生變化。靜止液體中自由運動物體傾斜角度的變化往往與物體周圍流場的變化有關。Ern 等[32-33]研究了軸對稱平板在水中的自由上升過程，結果表明平板沿之字形路徑上升時，平板的傾斜角度與平板尾流的非對稱脫落是同時出現(xiàn)的，且其傾斜角度的變化和尾流的非對稱脫落都與平板周圍流場的變化有關，平板和氣泡在水中的上升過程都是自由運動物體存在周期性運動的典型例子，上升過程中的運動行為十分相似。

圖5 氣泡上升過程尾流隨時間的演變（氣泡初始直徑為2.70 mm）Fig.5 Bubble wake evolution with time during bubble rise（initial diameter of bubble is 2.70 mm）

從圖5 中還可以看到，氣泡尾流的表現(xiàn)形式與de Vries 等[16]和Brücker[17]實驗的結果一致，尾流由順時針運動和逆時針運動的兩個渦旋構成。當氣泡的上升時間為0.06 s 時，氣泡的尾流從其下表面開始形成，此時氣泡的形狀接近標準的橢球形；當上升時間為0.10 s 時，尾流沿豎直方向的對稱性好，且尾流的左右兩個渦旋在同一條水平線上開始脫落；隨著上升時間的增加，尾流的長度和寬度增加（如0.14 s），且氣泡的形狀在表面自由能的作用下會趨于球形；當上升時間為0.16 s 時，尾流左邊渦旋的寬度明顯大于右邊渦旋的寬度，尾流的對稱性變差，此時氣泡的形狀接近球帽形，并且隨氣泡上升時間的進一步增加，氣泡的長軸與水平方向的夾角變得更明顯（圖5 中0.18 s）；當上升時間在0.1～0.22 s 之間，雖然尾流的對稱性隨上升時間的增加變差，且左右兩個渦旋也并不在同一條水平線上脫落，但尾流都是“成對”脫落的。隨著氣泡上升時間的繼續(xù)增加，尾流不再“成對”脫落（圖5 中0.22 s），且當氣泡的上升過程穩(wěn)定以后，尾流會轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛悦撀洌▓D5 中的0.42 s）。在氣泡上升過程中其形狀從球形轉(zhuǎn)變?yōu)闄E球形。氣泡尾流對稱脫落出現(xiàn)在氣泡形狀為球形的直線上升過程；當氣泡的長軸與水平方向出現(xiàn)夾角時，尾流進入過渡態(tài)——非穩(wěn)定脫落狀態(tài)；隨著上升時間的進一步增加，尾流最終表現(xiàn)為周期性脫落的運動狀態(tài)。對稱脫落是尾流運動狀態(tài)的初始態(tài)，尾流的對稱性好，且尾流的左右兩個渦旋在同一條水平線上脫落。過渡態(tài)是尾流運動狀態(tài)的非穩(wěn)定性脫落時期，尾流的左右兩個渦旋的對稱性隨時間的增加變差，且尾流的左右兩個渦旋并不在同一條水平線上脫落。周期性脫落是尾流的最終態(tài)，尾流的左右兩個旋渦周期性的交替脫落，且當氣泡上升過程穩(wěn)定時，尾流周期性脫落的頻率穩(wěn)定。

圖6 不同初始直徑的氣泡上升過程中的尾流Fig.6 Bubble wake during bubble rising with different initial diameters

2.2 不同直徑氣泡的尾流演變

前人研究結果表明，隨著氣泡的上升，氣泡外部的渦流會形成尾部駐渦，尾部駐渦隨著氣泡的上升會形成尾流，且在氣泡上升過程中其尾流有對稱脫落和非對稱脫落[22,26]。圖6 是不同初始直徑的氣泡上升過程中其尾流的演變過程。從圖6中可以看出，氣泡的初始直徑在2.4 ～3.7 mm 時，氣泡上升過程中其尾流都是對稱脫落、過渡態(tài)和周期性脫落這三種運動狀態(tài)。當尾流為對稱脫落時，隨著氣泡的初始直徑的增加，尾流的長度和寬度增加，且尾流的左右兩個渦旋與氣泡的中心線之間的距離變大。當尾流表現(xiàn)為過渡態(tài)時，隨著氣泡的初始直徑的增大，尾流渦旋的不對稱程度增大。

氣泡初始直徑的不同只改變尾流的長度和寬度，不改變尾流的三種運動狀態(tài)。剛體尾流的運動狀態(tài)和渦旋尺寸主要與流體的Reynolds數(shù)和剛體的形狀有關[15]。在本研究中，氣泡周圍的液體被假設為靜止的，所以流體的速度可以近似認為是氣泡的速度；氣泡的形狀可以表示為繞流物體的形狀。因此本研究中流體的Reynolds 數(shù)可以使用氣泡的Reynolds 數(shù)來代替，所以本文所指的Reynolds 數(shù)均為氣泡的Reynolds數(shù)。Reynolds數(shù)的計算公式如下

式中，ρl為液體密度；d 為任意時刻氣泡當量直徑，mm；ug為任意時刻氣泡速度；μ為動力黏性系數(shù)。

從圖7中可以看出：隨著氣泡直徑的增大，氣泡尾流發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界Reynolds數(shù)增大。這主要是因為，初始直徑為2.4 ～3.7 mm 氣泡的形狀隨其直徑的增加變化較大[29]。氣泡形狀的變化也代表著氣泡當量直徑的變化。此外，結合圖6，還可以發(fā)現(xiàn)，氣泡的初始直徑越大，則尾流發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界Reynolds數(shù)越大，且其尾流的長度和寬度也越大。尾流的長度和寬度對生產(chǎn)過程有重要意義。例如在利用氣泡的尾流增加尾礦絮凝沉降時，尾流的長度和寬度越大，能影響的礦物范圍也越大，提高了生產(chǎn)效率[34]。

圖7 臨界Reynolds數(shù)隨氣泡直徑的變化Fig.7 Evolution of critical Reynolds number with different diameter of bubble

2.3 尾流周期性脫落的頻率

氣泡的尾流脫落會影響其周圍流體的流場[34]。氣泡上升過程中其尾流脫落所引起的力占浮力的20%～30%[5]。氣泡尾流脫落時的頻率與氣泡上升軌跡發(fā)生振蕩時的頻率保持一致[9]。氣泡上升過程的軌跡、速度、變形、受力以及流場的擾動等都存在周期性的變化，且這些過程都與氣泡尾流的周期性脫落密切相關。葉片尾流脫落時的頻率（f）可以使用式（9）來進行計算[35]。所以，下文對氣泡尾流周期性脫落的頻率進行分析，并將數(shù)值模擬和公式計算的結果進行了對比，如圖8所示。

式中，u 是來流速度，模擬中假定氣泡周圍液體靜止，采用氣泡速度；d 是垂直于流體方向，流體形成脫流尾跡處的最大寬度，本文為氣泡的當量直徑；Sr是Strouhal數(shù)，與Reynolds數(shù)有關，取值為0.3。

圖8是初始直徑不同的氣泡上升過程中尾流周期性脫落的頻率。從圖8 中可以發(fā)現(xiàn)，計算的結果與數(shù)值模擬的結果吻合較好。這表明，在數(shù)值模擬氣泡自由上升的過程中，當氣泡的上升過程穩(wěn)定時，可以使用式（9）直接計算其尾流周期性脫落的頻率。從圖8 中還可以看到，隨著氣泡初始直徑的增大，氣泡尾流周期性脫落的頻率減小。這主要是因為氣泡尾流的脫落頻率與氣泡的上升速度呈正比，而與氣泡的當量直徑呈反比。直徑為2.4 ～3.7 mm 氣泡，隨著氣泡初始直徑的增加，當氣泡上升過程穩(wěn)定之后，氣泡的上升速度變化較小[28]，但氣泡的初始直徑越大，氣泡上升過程中的變形程度越大，當量直徑的變化也就越大[29]。

圖8 初始直徑不同的氣泡上升過程中尾流周期性脫落的頻率Fig.8 Frequency of periodic shedding of bubble wake during bubble rise with different initial diameters

3 結 論

采用VOF 方法模擬了初始直徑不同的氣泡在靜止水中的自由上升過程，系統(tǒng)地分析了氣泡上升過程中其尾流的演變。本文的研究結果可對氣泡上升過程中其運動行為的研究提供參考。主要結論如下。

（1）本研究范圍內(nèi)，氣泡上升過程中的尾流主要有對稱脫落、過渡態(tài)和周期性脫落三種運動狀態(tài)。對稱脫落是尾流的初始態(tài)，其對稱性好，且尾流的左右兩個渦旋在同一條水平線上脫落。過渡態(tài)是尾流的非穩(wěn)定性脫落時期，其對稱性隨氣泡的上升變差，且尾流的左右兩個渦旋并不在同一條水平線上脫落。周期性脫落是尾流的最終態(tài)，其尾流的左右兩個渦旋隨著氣泡的上升表現(xiàn)為周期性的交替脫落。

（2）對于2.4 ～3.7 mm 氣泡尾流的三種運動狀態(tài)不隨其初始直徑的變化而變化，且尾流運動狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界Reynolds 數(shù)隨氣泡直徑的增大而增加。