邢燕

[摘? 要] 文章從與學生對話的教學片段入手，分析問題所在，比較初高中的差異，對學習目標、教學對象、教學內(nèi)容三方面反思教學，總結(jié)高中教學應在初中已學知識的基礎上，建構(gòu)新知識，突出高中解析幾何的特點，強調(diào)高中數(shù)學課程標準對數(shù)學運算核心素養(yǎng)的要求.

[關鍵詞] 直線與圓;初高中差異;數(shù)學運算;教學反思

引言

高一下學期人教A版必修2第四章第二節(jié)“直線與圓的位置關系”在高一是重要章節(jié)，在高考中也是一個重要考點.這是學生初中接觸過的內(nèi)容，因此在高一的教學中會出現(xiàn)教師與學生認知上的一些偏差，值得我們進行教學反思.

教學完“直線與圓的位置關系”，一個平時說話比較大膽的學生跑過來說道：“老師，我都會的你就講得很詳細，我不是很會的你就輕描淡寫地過了.這樣很浪費時間.”筆者一聽，有點懵了，臉上也有點掛不住，筆者可是按照教材、教參、考綱認真?zhèn)湔n的.

師：“好，回辦公室仔細和我說.”

生：“老師，其實你前面講的直線與圓的位置關系的概念我們初中都學過，用d與r的關系的判斷方法也學過.不熟悉的就是運算.”

師：“哪些運算？”

生：“只要是運算都不熟悉.”

師：“具體是什么？舉個例子.”

生：“怎樣求出直線與圓交點的坐標，知道弦長求直線的方程也不會.”

生：“其實點到直線的距離公式也不熟悉，總是出錯;弦長公式也不熟悉，常常漏掉次數(shù)2.”

師：“可是這些不是套公式嗎？背熟公式直接代入就行了.”

分析與討論

1. 問題剖析

以上教學片段反映出了一個問題，就是教與學的錯位，學生認為老師講得太多他們知道的知識，而沒有花足夠的時間講解他們不會的知識.產(chǎn)生這種情況的原因有多種可能：或許是老師比較關注基本概念，關注概念、公式的來龍去脈，而學生更關注會不會做題;或許是學生以為自己會了，但其實是一知半解，沒有認真消化老師所講的知識.簡單地說，就是三點：第一，教師上課講解直線與圓的位置關系的概念和性質(zhì)時會從具體問題出發(fā)，再抽象概括為一般情況，而學生會感覺這個過程有點乏味無用.第二，教師在講解題目時會引導學生根據(jù)題目直觀想象，建立數(shù)學模型，再進行一系列的推理運算得到結(jié)論.而學生認為自己已經(jīng)知道了這一模型，只是不知道選哪種方法、哪個公式，不知道哪條路是捷徑，煩惱總是記錯、代錯公式，總是算繁、算錯. 第三，學生對已有知識掌握的差異決定他們對新知識理解、掌握的程度不同.這三點要求教師在講課時既要全方位兼顧，也要對教學內(nèi)容分好主次、輕重;備課時要了解所教內(nèi)容學生以前是否學過，具體學過哪些和現(xiàn)在教學相關的知識，課程標準對這節(jié)內(nèi)容的要求，需要培養(yǎng)學生哪些素養(yǎng). 這樣才是既備知識又備學生，做好知識的遞進銜接，做到目標明確，強弱得當. 正如建構(gòu)主義的學生觀所指出的“教學不能無視學習者的已有知識經(jīng)驗”. 那么，“直線與圓的位置關系”這節(jié)內(nèi)容初中學過了什么，與高中內(nèi)容有多少關系，高中應該怎樣教學更有效果？我們先來看一下它們的具體區(qū)別與聯(lián)系.

2. 比較差異

“直線與圓的位置關系”這節(jié)教學內(nèi)容在初中的學習目標：（1）理解直線與圓相交、相切、相離的概念;（2）會根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系，判斷直線與圓的位置關系. “直線與圓的位置關系”這節(jié)教學內(nèi)容在高中的學習目標：（1）掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離;（2）會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系;（3）會用直線與圓的位置關系解決一些實際問題.

初中階段學習直線與圓的位置關系主要是從直觀觀察得到結(jié)論.例如，判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：

一種是從直線與圓的公共點的個數(shù)來斷定：直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交;直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切;直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離.

一種是從圓心O到直線l的距離d與圓半徑r的大小關系來判斷：圓心到直線的距離d與半徑r之間的數(shù)量關系和直線與圓的位置關系相對應.直線與圓相交時，dr.

而高中階段學習直線與圓的位置關系主要是通過運算得到結(jié)論.

例如，d與r的大小關系，不是觀察得到的，而是先套用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，再判斷d與r 的大小關系對應直線與圓的位置關系.這是高中階段解決直線與圓的問題常用的幾何法. 此外，高中階段還引入代數(shù)法解決直線與圓的問題.即聯(lián)立直線與圓的方程，構(gòu)成二元二次方程組，再消去x或y，得到一元二次方程，根據(jù)判別式大于零、等于零、小于零來判斷直線與圓的位置關系是相交、相切、相離. 不管是幾何法還是代數(shù)法，都是通過運算得到結(jié)論. 用代數(shù)運算分析探究平面幾何圖形的位置關系等問題，即解析幾何思想，是高中階段的一個重要思想和方法.這里，代數(shù)法用到的一元二次方程的判別式，在初中也學過，主要研究二次函數(shù)有幾個解，在這里對應直線與圓有幾個交點，再對應直線與圓的位置關系.由一元二次方程的判別式，就會聯(lián)想到韋達定理，也是初中學過的內(nèi)容，初中只是用它求二次函數(shù)的一些簡單性質(zhì)和基本運算. 而高中用得更廣泛，還常用于解決解析幾何中“設而不求”的問題.可見，初高中即使使用相同的公式，解決的問題也會有所不同，不僅要會選擇，知道應用這條公式，而且需要更靈活地應用公式.

3. 教學反思

從學習目標來看，有兩點差異：（1）初中的要求是理解直線與圓相交、相切、相離的概念;高中的要求是掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離. “掌握”是在初中“理解”的層次上更進一步，“掌握”是在知道、明白概念的基礎上“會求”“會用”. （2）初中要求會根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系，判斷直線與圓的位置關系;高中要求會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系，會用直線與圓的位置關系解決一些實際問題. 在這靈活運用的層面，兩者差別更大. 初中是直接根據(jù)距離大小關系來判斷直線與圓的三種位置關系，而高中則是明確要求用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系，需要通過運算的結(jié)果來判斷. 在此基礎上，還要會用直線與圓的位置關系解決一些實際問題. 即通過一般情況抽象出基本概念、方法，在掌握數(shù)學背景的通式通法后，還會運用它來解決實際問題.因此，教師“應當幫助學生把抽象的數(shù)學概念與他們已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，從而建立起適當?shù)男睦肀碚鳌?[1]在高中階段直線與圓的位置關系的教學中，教師應幫助學生用他們已學過的二元二次方程組的解、一元二次方程的判別式理解代數(shù)法的特點，用圓心到直線的距離d與半徑r之間的大小關系理解幾何法的特點，建構(gòu)起新的知識框架，并應用它來解決新問題.

從教學對象的角度來看，片段中學生強調(diào)不會運算，不會代公式.這也是這節(jié)內(nèi)容在初高中的最大差異：這節(jié)內(nèi)容在初中要求通過觀察得結(jié)論，在高中要求通過運算得結(jié)論. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀》中指出：“數(shù)學運算是課程標準關注的核心能力，反映數(shù)學學科的基本特征.”因此，教會學生怎樣運算是高中教學的一個重要任務. 數(shù)學運算也要講究方式方法，才能算得又快又準. 對于新學的內(nèi)容要適當規(guī)范化，才能少走彎路. 試錯是要的，但錯了后要規(guī)范更正，避免再錯.就這節(jié)內(nèi)容，求圓心到直線的距離d，代公式之前，若先把圓心坐標寫出來，代錯的機會就會少很多. 直線先化為一般方程形式，強調(diào)x的系數(shù)是正整數(shù)，y的系數(shù)和常數(shù)項是整數(shù)，方便運算. 做好這些準備工作就不容易代錯算錯. 對于不易記或易記錯的公式，可以結(jié)合圖形記憶，或編一些口訣記憶. 此外，很多運算過程教師認為是順理成章的事，學生會覺得很難理解：為什么要這樣設方程、這樣化簡，而不是那樣？例如，求直線與圓交點的坐標，聯(lián)立消元，消去x，y哪個更簡單？怎樣消元，是加減消元還是代入消元？諸如此類的問題，教師應針對不同題型進行歸納總結(jié)，才能幫助學生在數(shù)學運算的迷茫中找到指引前進的明燈.

從平面幾何與解析幾何的本質(zhì)特征來看，初中學習的直線與圓的位置關系是平面幾何的范疇，強調(diào)觀察和證明，證明之后是簡單的運算，重點是觀察及證明. 高中學習的直線與圓的位置關系是屬于解析幾何的范疇，強調(diào)數(shù)學運算，通過數(shù)學運算得到要證明的結(jié)論，重點是數(shù)學運算.判斷直線與圓的位置關系，初中教學是觀察公共點的個數(shù)，觀察圓心到直線的距離d與半徑r之間的大小關系來判斷. 高中教學是計算圓心與直線的距離，或聯(lián)立方程組計算判別式來判斷. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀》第127頁指出：“數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段.”而利用代數(shù)運算解決平面幾何問題，是解析幾何的本質(zhì).這是學生初中沒接觸過的，又是高中課程標準和本節(jié)學習目標要求的，就是這節(jié)課教學的重點. 至于直線與圓位置關系的基本概念，既然初中已學過，可以淡化并快速處理. 針對初高中側(cè)重點的不同，教師在備課時應認真研究，關注差異，突出重點. 要清楚學生已經(jīng)知道哪些知識點，哪些應該淡化講解;哪些知識點是沒接觸過的，需要仔細講解，并多練習，使學生熟練.否則會產(chǎn)生輕重不分、本末倒置的感覺.

結(jié)束語

簡言之，教師應經(jīng)常從學習目標、教學對象、教學內(nèi)容等方面反思教學. 基于學生在初中已經(jīng)學過部分內(nèi)容，高中的教學應該以學生原有知識為基礎來建構(gòu)新知識，突出高中數(shù)學解析幾何的特點——用代數(shù)法解決幾何問題，強化高中數(shù)學課程標準對數(shù)學運算核心素養(yǎng)的要求，并按照高中課程標準的層次來執(zhí)行，這樣才能取得更好的效果. 當然，我們還可以對其他初高中都含有的知識（如三視圖等）進行研究，比較學習目標的差異，分析教學內(nèi)容的要求及特點，做好銜接，在高中階段的教學中幫助學生更好地建構(gòu)新知，并理解、掌握，靈活地去運用它.

參考文獻：

[1]? 鄭毓信，梁貫成. 《認知科學、建構(gòu)主義與數(shù)學教育：數(shù)學學習心理學的現(xiàn)代研究》（M）. 上海教育出版社，2002.