高金全，周正蘭，徐華鋒， 吳 彬，屈 軍

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241002)

引 言

隨著通信行業(yè)的快速發(fā)展，社會(huì)對(duì)通信速率的要求越來(lái)越高，傳統(tǒng)的無(wú)線電通信不能滿(mǎn)足用戶(hù)的需求。為了彌補(bǔ)數(shù)據(jù)共享時(shí)代數(shù)據(jù)傳輸?shù)膲毫?，近些年?lái)，自由空間光通信(free space optical communication, FSO)成為研究的熱點(diǎn)，光作為信息傳輸?shù)妮d體，具有非常高的可用光帶寬，能夠?qū)崿F(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)間的高速率傳輸，并且傳輸距離可達(dá)數(shù)千米[1-3]。研究發(fā)現(xiàn)，光不僅有自旋角動(dòng)量，而且渦旋光束中每個(gè)光子都攜帶軌道角動(dòng)量(orbital angular momentum, OAM)[4],軌道角動(dòng)量可作為信息傳輸?shù)妮d體。渦旋光束具有特殊的相位結(jié)構(gòu)和確定的軌道角動(dòng)量，在無(wú)線光通信領(lǐng)域備受關(guān)注[5-7]。由于不同模態(tài)的OAM光束相互正交，理論上它的拓?fù)浜蓴?shù)可以是無(wú)限的，構(gòu)成無(wú)窮維希爾伯特空間，具有極高的自由度。因此可以在不增加頻譜帶寬的情況下，提高信號(hào)通道的編碼容量[8-9]。同時(shí)OAM的拓?fù)浜珊头轿唤侵g的不確定關(guān)系，有利于提高OAM承載信息的安全性[10]。渦旋光束在光通信方面展現(xiàn)了巨大的潛力[11-12]，WANG等人通過(guò)使用攜帶軌道角動(dòng)量的正交的Laguerre-Gaussian模進(jìn)行四模多路復(fù)用和解復(fù)用的方法，實(shí)現(xiàn)了12.8bit/s/Hz的高頻譜效率；BOZINOVIC等人證明了利用光的軌道角動(dòng)量創(chuàng)建在單個(gè)光纖中多路復(fù)用且正交，空間上不同的數(shù)據(jù)傳輸通道流的可行性，在光纖中采用10個(gè)波長(zhǎng)的兩種OAM模式的同時(shí)復(fù)用，獲得了1.6Tbit/s的傳輸速率，結(jié)果表明，OAM可以為未來(lái)光纖網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)復(fù)用提供額外的自由度。

大氣湍流嚴(yán)重影響了OAM在實(shí)際自由空間光通信中的應(yīng)用[13-14]。大氣的溫度和壓力的不均性會(huì)導(dǎo)致折射率沿傳輸路徑隨機(jī)變化，從而使OAM光束的相位產(chǎn)生畸變，導(dǎo)致光束的光強(qiáng)閃爍，破壞OAM態(tài)的正交性，引起不同OAM態(tài)的信道之間的模態(tài)串?dāng)_，初始的OAM態(tài)將被破壞并擴(kuò)散到鄰近態(tài)，使軌道角動(dòng)量攜帶的信息丟失[15]。傳統(tǒng)的Kolmogorov湍流模型，被廣泛用于光束在大氣湍流中的傳播，并且取得了大量的研究成果[16-17]。隨著湍流測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，研究發(fā)現(xiàn)大氣湍流與Kolmogorov湍流模型的結(jié)構(gòu)存在著差異，Kolmogorov湍流實(shí)際上是非Kolmogorov湍流的一個(gè)特例。為了得到更準(zhǔn)確的實(shí)際大氣信道傳輸結(jié)果,降低湍流對(duì)光束的影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了對(duì)渦旋光束在非Kolmogorov湍流中的傳輸特性的研究[18-20]。ZHANG等人研究了單光子在傾斜的非Kolmogorov湍流通道中的軌道角動(dòng)量串?dāng)_，結(jié)果表明，軌道角動(dòng)量的串?dāng)_概率隨著湍流強(qiáng)度、方位角模態(tài)指數(shù)、軌道角動(dòng)量量子數(shù)的增大而增大。OU等人研究了Bessel-Gaussian光束的螺旋譜在非Kolmogorov湍流中的擴(kuò)散，發(fā)現(xiàn)基于OAM的通信系統(tǒng)的信道容量和螺旋譜隨著湍流冪指數(shù)變化的趨勢(shì)一致。TANG等人研究了部分相干Lommel光束在非Kolmogorov湍流中的傳輸特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，部分相干Lommel光束的相干寬度在傳輸過(guò)程中決定了模態(tài)強(qiáng)度。

Airy光束具有無(wú)衍射、自愈合和自加速的特性，學(xué)者們開(kāi)展了大量有關(guān)它的產(chǎn)生、傳播和應(yīng)用等方面的研究[21-22]。PU等人基于He-Ne激光器光源以及加載相位信息的反射式空間光調(diào)制器，從實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生了部分相干Airy光束。KE等人從理論上研究了部分相干Airy光束在大氣湍流中的光束擴(kuò)展與漂移。為了了解Airy光束在大氣湍流中抗干擾的能力，本文中推導(dǎo)了非Kolmogorov湍流大氣中部分相干Airy渦旋光束的模式概率密度(model probability density, MPD)和串?dāng)_概率密度(crosstalk probability density, CPD)的表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，數(shù)值模擬了非Kolmogorov湍流大氣中部分相干Airy渦旋光束的螺旋譜分布以及MPD和CPD受湍流參量和波數(shù)參量的影響，從而獲得該光束在自由空間光通信中的最優(yōu)參量。

1 理論推導(dǎo)

在柱坐標(biāo)系和近軸近似下，Airy渦旋光束的電場(chǎng)解析表達(dá)式為[23-24]：

(1)

式中，柱坐標(biāo)(r,φ,z)分別表示光束的徑向位置、角向位置和傳輸距離;k=2π/λ是波數(shù)，λ為波長(zhǎng);w0與主Airy波瓣的寬度有關(guān)，r0表示主亮環(huán)的半徑，β為截?cái)嘀笖?shù)，l0是OAM的拓?fù)浜蓴?shù);Jl0()表示階數(shù)為l0的第1類(lèi)貝塞爾函數(shù)。

基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理，當(dāng)傳輸距離為z時(shí)，部分相干Airy渦旋光束的交叉譜密度函數(shù)可以表示為[25-26]：

〈exp[ψ(ρ1′,ρ1)+ψ*(ρ2′,ρ2)]〉d2ρ1′d2ρ2′

(2)

式中，ρ1≈(r,φ)和ρ2≈(r′,φ′)為兩個(gè)位于輸出面的任意橫向位置矢量，ρ1′和ρ2′為兩個(gè)位于源平面的任意橫向位置矢量;W(ρ1′,ρ2′,0)是部分相干Airy渦旋光束在源平面的交叉譜密度函數(shù);〈〉為系綜平均，*表示復(fù)共軛，ψ表示球面波在湍流中由源平面?zhèn)鬏數(shù)捷敵雒鏁r(shí)復(fù)相位的隨機(jī)項(xiàng)。

利用Rytov近似，部分相干Airy渦旋光束在輸出面的交叉譜密度函數(shù)可以表示為[27]：

W(ρ1,ρ2,z)≈E0(ρ1,z)E0*(ρ2,z)μ(ρ1,ρ2)×

〈exp[ψ(ρ1,z)+ψ(ρ2,z)]〉

(3)

式中，μ(ρ1,ρ2)是光譜的相干度，它的高斯形式可以表示為[28]：

(4)

式中，σ0是光束源的空間相干寬度。

(3)式最后一項(xiàng)為大氣湍流引起的相位波動(dòng)，可以表示為[29]：

〈exp[ψ(ρ1,z)+ψ(ρ2,z)]〉=

(5)

式中，0階貝塞爾函數(shù)J0可以近似為[30]：

(6)

式中，κ為2維空間頻率；Φn(κ,α)是湍流介質(zhì)的折射率起伏有效功率譜函數(shù)；ξ是歸一化距離變量，ξ=1-z/L，L為沿z軸從發(fā)射機(jī)的發(fā)射孔到接收機(jī)的傳輸距離。

根據(jù)非Kolmogorov湍流理論，受湍流的內(nèi)外尺度效應(yīng)的影響，湍流有效功率譜可以表示為：

(7)

式中，α是湍流譜冪指數(shù)，Cn2是單位為m3-α的湍流折射率起伏結(jié)構(gòu)常數(shù)。

(8)

式中，Γ()為伽馬函數(shù)。

(9)

式中，κn=c(α)/n0,κm=8π/m0分別表示湍流渦流內(nèi)尺度和外尺度對(duì)應(yīng)的空間頻率,n0和m0分別為湍流內(nèi)尺度和外尺度。

(10)

參量ηx,ηy可以表示為[31]：

(11)

(12)

(13)

基于Rytov相位結(jié)構(gòu)函數(shù)的二次項(xiàng)近似，(5)式可以表示為[32]：

〈exp|ψ(r,φ,z)+ψ*(r′,φ′,z)|〉≈

exp{-[r2+r′2-2rr′cos(φ-φ′)]/ρ02}

(14)

式中,ρ0為球面波在非Kolmogorov湍流中的空間相干長(zhǎng)度，形式可以表示為：

(15)

當(dāng)部分相干Airy渦旋光束在大氣湍流中傳播時(shí)，受到大氣折射率起伏變化的影響，湍流引起的累積效應(yīng)假定為OAM光束的相位擾動(dòng)，導(dǎo)致渦旋模式偏離了OAM的原始本征態(tài)。攜帶軌道角動(dòng)量的部分相干Airy渦旋光束的復(fù)振幅表達(dá)式為：

E(r,φ,z)=E0(r,φ,z)exp[ψ(r,φ,z)]

(16)

為了獲得新的渦旋模式分量的權(quán)值，將部分相干Airy渦旋光束分解為攜帶相位因子exp(ilφ)螺旋諧波的疊加[33]：

(17)

式中，l是基于螺旋譜理論分解后的拓?fù)浜蓴?shù)。

展開(kāi)系數(shù):

(18)

E0*(r′,φ′,z)μ(r,φ)μ′(r,φ′)×

〈exp|ψ(r,φ,z)+ψ*(r′,φ′,z)|〉×

exp[-il(φ-φ′)]dφdφ′

(19)

結(jié)合(1)式、(4)式、(14)式，部分相干Airy渦旋光束在非Kolmogorov湍流中傳播的模式強(qiáng)度概率密度的表達(dá)式：

Jl0(kr0r′/z)exp(-ikr′2/(2z)+β3/3-il0φ′)×

exp{-[r2+r′2-2rr′cos(φ-φ′)]/σ02}×

exp{-[r2+r′2-2rr′cos(φ-φ′)]/ρ02}×

exp[-il(φ-φ′)]dφdφ′

(20)

根據(jù)積分表達(dá)式:

2πexp(-ilφ′)Il(ξ)

(21)

可得：

1/ρ02)(2r2)]Il-l0[(1/σ02+1/ρ02)(2r2)]

(22)

式中，Il和Il-l0分別表示階數(shù)為l和l-l0的第1類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)。假設(shè)l-l0=Δl，則(22)式可寫(xiě)成：

1/ρ02)(2r2)]IΔl[(1/σ02+1/ρ02)(2r2)]

(23)

對(duì)于直徑為D的有限孔徑接收機(jī),渦旋模式的螺旋頻譜分布可以表示為：

(24)

2 數(shù)值計(jì)算與分析

根據(jù)部分相干Airy渦旋光束的渦旋模式的螺旋頻譜分布公式(24)式,采用數(shù)值模擬方法對(duì)不同光束參量和湍流條件下的螺旋譜分布、模式概率密度和串?dāng)_概率密度進(jìn)行了分析。除非另有規(guī)定，否則仿真中使用的參量設(shè)置為:λ=1550nm，w0=0.01m，r0=0.001m，β=0.05，α=3.67，σ0=0.03m，n0=0.001m，m0=1m，D=0.02m，l0=1，z=1km，Cn2=10-13m3-α，Δl=1。

在由弱到強(qiáng)的非Kolmogorov湍流中，不同相干寬度的Airy渦旋光束的螺旋譜分布如圖1所示。反映了湍流造成能量從初始OAM本征態(tài)向其它本征態(tài)遷移。當(dāng)湍流較弱時(shí)，串?dāng)_主要發(fā)生在相鄰模式之間，相對(duì)于強(qiáng)湍流而言可以忽略不計(jì)，在強(qiáng)湍流條件下，串?dāng)_強(qiáng)度迅速增加，并且向更多邊緣模態(tài)傳播，造成誤比特率顯著提高。通過(guò)縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)，隨著相干寬度的增加，模式概率逐漸增加，串?dāng)_概率逐漸減小，空間相干寬度對(duì)部分相干Airy渦旋光束的模態(tài)強(qiáng)度變化有較大的影響。理論上部分相干Airy渦旋光束受湍流的影響要小于完全相干Airy渦旋光束，但是當(dāng)相干寬度較小時(shí)，相干性較差的部分相干Airy渦旋光束在非Kolmogorov湍流中傳播時(shí)會(huì)更加容易丟失信號(hào)通道中的信息，選擇合適的相干寬度將有利于部分相干Airy渦旋光束在非Kolmogorov湍流中的傳播。

從圖2a可以看出，隨著傳播距離的增加,串?dāng)_概率密度逐漸增加并趨于穩(wěn)定值，Δl越小，串?dāng)_概率密度增長(zhǎng)得越快，這是因?yàn)樵趶?qiáng)湍流中，串?dāng)_對(duì)鄰近模態(tài)的影響較大，并逐漸擴(kuò)散至其它模態(tài)。另外也反映了能量集中在光束的中心，所以靠近主瓣的旁瓣的能量高于其它旁瓣。在圖2b和圖2c中，當(dāng)z增大，MPD呈急劇下降的趨勢(shì)，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；CPD迅速上升，達(dá)到最大值后有一個(gè)下降的過(guò)程并趨于穩(wěn)定。拓?fù)浜蓴?shù)越大，受湍流影響也越大，拓?fù)浜蓴?shù)相對(duì)于其它因數(shù)對(duì)模態(tài)強(qiáng)度影響較小，可以忽略不計(jì)。

圖3主要反映了接收機(jī)的直徑對(duì)部分相干Airy渦旋光束的MPD和CPD的影響。從圖中可以直接看出，光束沿著z方向傳播時(shí)，隨著接收機(jī)的直徑的增大，MPD下降得越快，相對(duì)的，CPD上升得也越快，在達(dá)到最大值后趨于平穩(wěn)。選取合適的接收機(jī)的直徑可以有效地減弱湍流的影響，提高光束的傳輸性能，當(dāng)接收機(jī)的直徑較大時(shí)，只適合短距離的傳播。

Fig.1 The spiral spectrum distribution of partially coherent Airy vortex beam

Fig.2 a—CPD of partially coherent Airy vortex beam with different Δl b,c—MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different l0

由圖4可見(jiàn)，隨著傳播距離的增加，部分相干Airy渦旋光束在弱湍流中相對(duì)于強(qiáng)湍流而言，MPD下降得較為緩慢，CPD單調(diào)增加，這是由于強(qiáng)湍流引起的累積效應(yīng)迅速增加造成的。在遠(yuǎn)場(chǎng)中，強(qiáng)湍流下的MPD逐漸平穩(wěn)，CPD也相對(duì)的平緩并有減小的趨勢(shì)，造成這種現(xiàn)象是因?yàn)楦唠A串?dāng)_的增強(qiáng)減小了Δl=1時(shí)CPD的權(quán)重。提高M(jìn)PD以增強(qiáng)OAM多路復(fù)用通信的性能并減輕湍流的影響，這對(duì)長(zhǎng)距離傳輸具有積極作用。

在圖5中，相干性較好的部分相干Airy渦旋光束的MPD下降得比較快，相干性差的部分相干Airy渦旋光束的MPD下降趨勢(shì)較平緩，這是因?yàn)橄喔尚圆顣?huì)導(dǎo)致部分相干Airy渦旋光束的初始模態(tài)強(qiáng)度嚴(yán)重色散，從而抑制了能量向邊緣擴(kuò)散。相干性較好的部分相干Airy渦旋光束的CPD迅速增加，在達(dá)到最大值后有一個(gè)減小的趨勢(shì)，相干性差的部分相干Airy渦旋光束的CPD只有略微上升便開(kāi)始下降，這說(shuō)明選擇合適的空間相干寬度對(duì)部分相干Airy渦旋光束的傳輸性能的提高至關(guān)重要。

Fig.3 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different size of the receiving aperture D

Fig.4 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different turbulence strength

圖6中分析了光束波長(zhǎng)對(duì)部分相干Airy渦旋光束的MPD和CPD的影響。隨著湍流的增強(qiáng)，各個(gè)波長(zhǎng)的部分相干Airy渦旋光束的MPD都呈下降的趨勢(shì)，其中長(zhǎng)波長(zhǎng)的光束比短波長(zhǎng)的光束下降得更加緩慢。相對(duì)的，短波長(zhǎng)的部分相干Airy渦旋光束的CPD在由弱到強(qiáng)的湍流中迅速上升并達(dá)到最大值，隨著湍流逐漸變強(qiáng)，又開(kāi)始平緩下降，這是高階串?dāng)_的增強(qiáng)所導(dǎo)致的。長(zhǎng)波長(zhǎng)的部分相干Airy渦旋光束的CPD逐漸增加并最終保持穩(wěn)定，這說(shuō)明長(zhǎng)波長(zhǎng)的部分相干Airy渦旋光束對(duì)湍流的敏感性較低，受影響的概率更小，更加適合在大氣湍流中傳播。

Fig.5 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different spatial coherence width

Fig.6 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different wavelength

從圖7中可以看出，隨著湍流強(qiáng)度的增大，α越大，部分相干Airy渦旋光束的MPD下降得越少。這是因?yàn)棣林苯佑绊懥送牧髦械男郎u數(shù)量，α越大，旋渦越少，光束的閃爍效應(yīng)越弱。同時(shí)，α越小，部分相干Airy渦旋光束的CPD隨著湍流強(qiáng)度的增大迅速上升至最大值又快速下降，這說(shuō)明湍流的折射率起伏較大，嚴(yán)重影響了部分相干Airy渦旋光束的通信性能，合適的α有利于減小串?dāng)_，提高傳輸質(zhì)量。

Fig.7 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different values of non-Kolmogorov spectrum parameter

Fig.8 MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different main ring radius

圖8表明，隨著湍流強(qiáng)度的增加，部分相干Airy渦旋光束的主亮環(huán)半徑越大，MPD下降得越緩慢，相對(duì)的，部分相干Airy渦旋光束的主亮環(huán)半徑越小，CPD上升得越快，并在達(dá)到峰值后有略微下降。在強(qiáng)湍流中，不同主亮環(huán)半徑的部分相干Airy渦旋光束的CPD基本一致。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，主亮環(huán)半徑較大的部分相干Airy渦旋光束在非Kolmogorov湍流中傳播的性能更好。

3 結(jié) 論

分析了攜帶軌道角動(dòng)量的部分相干Airy渦旋光束在非Kolmogorov大氣湍流中傳播時(shí)，光束參量和湍流參量對(duì)軌道角動(dòng)量模的模式概率密度(MPD)和串?dāng)_概率密度(CPD)的影響。不僅考慮了源光源的相干性、拓?fù)浜蓴?shù)、波長(zhǎng)和主亮環(huán)半徑與軌道角動(dòng)量模式之間的密切聯(lián)系，還討論了湍流強(qiáng)度、湍流譜冪指數(shù)和接收機(jī)直徑對(duì)傳輸性能的影響。研究表明，拓?fù)浜蓴?shù)越大，抗干擾能力越弱；長(zhǎng)波長(zhǎng)的部分相干Airy渦旋光束的模態(tài)強(qiáng)度受湍流的影響較?。恢髁镰h(huán)半徑較大的部分相干Airy渦旋光束更適合在湍流中傳播；接收機(jī)的直徑越大，MPD越小，當(dāng)接收機(jī)直徑到達(dá)一定值時(shí)，對(duì)軌道角動(dòng)量的串?dāng)_影響較小，上述結(jié)果與參考文獻(xiàn)[23]及參考文獻(xiàn)[24]中的結(jié)論相一致。此外，空間相干寬度決定了部分相干Airy渦旋光束模態(tài)強(qiáng)度的色散；軌道角動(dòng)量的串?dāng)_隨著湍流強(qiáng)度的增強(qiáng)而增大；較大的湍流冪指數(shù)有助于減小CPD。本文中得到的理論結(jié)果對(duì)OAM在空間光通信中的應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。