沈彥章　許偉湘

【摘 要】 理解數(shù)學(xué)概念是開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，教學(xué)概念能夠反映出數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中包含的重要內(nèi)容。但由于應(yīng)試教育的需要及課程安排所受到的限制，讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)無(wú)法在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中完全落實(shí)。本文對(duì)APOS理論的概念及其優(yōu)勢(shì)展開(kāi)研究，并分析其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的實(shí)際應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 APOS? 高中教學(xué)? 概念教學(xué)

引言：高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相較于初中更加注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的講解，概念教學(xué)是高中教學(xué)當(dāng)中的重要環(huán)節(jié)，但對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，概念教學(xué)方面一直存在著問(wèn)題。APOS理論能夠?yàn)閷W(xué)生提供新的概念感知方法，幫助學(xué)生形成對(duì)概念的更好認(rèn)知，同時(shí)也為數(shù)學(xué)教師的概念教學(xué)提供了幫助。

一、APOS理論的概念

APOS理論是由美國(guó)的杜賓斯基等人所創(chuàng)立的理論模型，這種理論不同于傳統(tǒng)的教學(xué)理論，APOS理論可以簡(jiǎn)單理解為操作、過(guò)程、對(duì)象和圖示四個(gè)階段。這四個(gè)階段，是數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生接受知識(shí)能力的培養(yǎng)過(guò)程，不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還能夠?yàn)閷W(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。APOS理論被引入到我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界， 是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)相比較，APOS理論教學(xué)更能體現(xiàn)“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”的建構(gòu)主義理念， 更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)， 揭示了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的建構(gòu)過(guò)程， 應(yīng)值得重視和深究。

二、APOS理論在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在概念的引入階段，要充分考慮到學(xué)生的學(xué)情，針對(duì)學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)情況設(shè)置有意義的問(wèn)題情境.通過(guò)創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)始問(wèn)題探究，讓學(xué)生感知概念產(chǎn)生的背景，感受數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān).根據(jù)教學(xué)內(nèi)容靈活選擇不同的概念引入方式，設(shè)計(jì)出有吸引力和針對(duì)性的引入問(wèn)題，由簡(jiǎn)至難，逐層遞進(jìn)，了解概念的來(lái)龍去脈。

以下，以人教版的高中教材中的等差數(shù)列為例，選取當(dāng)中的題型運(yùn)用APOS的理論進(jìn)行分析。

首先需要進(jìn)行第一階段——活動(dòng)階段（Action），引入情境，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

情境1：數(shù)字接龍游戲，教師首先提供出一個(gè)數(shù)字，如數(shù)字7，由任意一名學(xué)生從7開(kāi)始叫出數(shù)字，每當(dāng)出現(xiàn)這個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，需要用拍手來(lái)代替。

情境2：隊(duì)列按照每排2人、4人、6人、8人的順序排列，最后一排有100人，求隊(duì)列的全部人數(shù)。

設(shè)置好情境后進(jìn)入第二階段——過(guò)程階段（Process），探究題目當(dāng)中的規(guī)律，并形成數(shù)學(xué)概念。

教師要求學(xué)生掌握以上兩種情境當(dāng)中的規(guī)律并列出相應(yīng)的算式。

∵{an}是等差數(shù)列

∴an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d

將得出的算式兩邊進(jìn)行相加能夠得出an-a1=（n-1）d，也就是an=a1+（n-1）d，因此能夠得出，已知首項(xiàng)a1和公差d，就能夠求出相對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式。

再進(jìn)行第三階段——對(duì)象階段（Object），此時(shí)需要鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)概念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

最后進(jìn)行第四階段——圖示階段（Scheme），此時(shí)是對(duì)過(guò)程進(jìn)行歸納總結(jié)，并且構(gòu)建出圖式。

教師可以對(duì)學(xué)生提出相關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生在解題過(guò)程當(dāng)中進(jìn)行歸納總結(jié)。

如問(wèn)題1：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列有哪幾種方法？

[歸納總結(jié)] （1） 定義法：an-an-1=d （常數(shù)） ， 其中n≥2且n∈N*; （2） 等差中項(xiàng)法：2an=an-1+an+1， 其中n≥2且n∈N*。

問(wèn)題2：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是否還可以變形？

[歸納總結(jié)]任取m， k∈N*， 由等差數(shù)列{an}， 得am=a1+ （m-1）d， ak=a1+ （k-1）d， 兩式等號(hào)兩邊相減， 可得am-ak= （m-k）d， 則am=ak+ （m-k）d。

通過(guò)以上四個(gè)階段的教學(xué)，讓學(xué)生在過(guò)程中逐步深入探究，由淺入深的了解等差數(shù)列當(dāng)中的規(guī)律所在，并且不再是簡(jiǎn)單地掌握解題方式，而是能夠?qū)W會(huì)變通并且將其合理運(yùn)用到日后的解題當(dāng)中去。

三、APOS理論對(duì)學(xué)生的影響

APOS理論能夠激發(fā)出學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的積極性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立解題，并在過(guò)程當(dāng)中摸索到適合自己的解題方案。學(xué)生的好奇心會(huì)促使其向著未知不斷探索，因此，學(xué)生會(huì)對(duì)剛接觸的知識(shí)表現(xiàn)出求知欲。通過(guò)APOS理論的引導(dǎo)，學(xué)生能夠發(fā)揮出自身的創(chuàng)造能力，對(duì)接觸到的數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠進(jìn)行舉一反三的發(fā)散思考，這也是對(duì)自身的邏輯思維的鍛煉，從而提高了學(xué)生接受新知識(shí)的能力。

結(jié)論：通過(guò)對(duì)上文當(dāng)中提到的APOS理論的優(yōu)勢(shì)及實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行分析，能夠了解到其真正的作用，并且對(duì)APOS理論有了一個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)。將APOS理論應(yīng)用到我國(guó)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中去，能夠促使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生逐步形成對(duì)數(shù)學(xué)概念的具體認(rèn)知。另外，數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用APOS概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，需要考慮到學(xué)生本身的認(rèn)知規(guī)律，合理的設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，從而最大限度挖掘出學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并發(fā)揮出APOS理論的實(shí)際作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 濮安山，丁嘉雯.基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)——以“任意角”的概念教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（02）：19-21.

[2] 吳湘蕓.APOS理論在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)，2019（24）：39-41.

[3] 陳一梅.基于APOS理論下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以“等差數(shù)列”的概念教學(xué)為例[J].文理導(dǎo)航（中旬），2018（03）：5+7.

本文系福建省“十三五”第二批中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人培養(yǎng)對(duì)象科研課題《基于APOS理論下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究》（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：DTRSX2019027）階段性成果。