(7)
(8)
X=0.14exp(23*εy)
(9)
(10)
式中：HG為材料硬度幾何極限；Aeq為等效接觸面積；a為接觸半徑；
1.3 彈性卸載接觸模型
當(dāng)接觸力和侵入深度達(dá)到最大時(shí)，碰撞體之間開(kāi)始有分離趨勢(shì)，進(jìn)入卸載階段。在卸載期間，接觸體的分離過(guò)程被假設(shè)為彈性行為，利用赫茲模型做近似求解，同時(shí)根據(jù)Jackson等關(guān)于殘余深度的有限元計(jì)算結(jié)果[14]，建立彈性卸載接觸模型，其表達(dá)式如下所示
(11)
(12)
(13)
式中：Rres和wres分別為碰撞結(jié)束后的殘余等效半徑和殘余深度。
1.4 恢復(fù)系數(shù)
目前關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的定義主要是基于牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)、Poisson定義的動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)和Stronge定義的能量恢復(fù)系數(shù)[15]。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，在考慮外力作用的沖擊過(guò)程時(shí)，Stronge能量恢復(fù)系數(shù)具有較好的計(jì)算結(jié)果，因此，本文采用Stronge定義的能量恢復(fù)系數(shù)
(14)
式中：W1和W2分別代表壓縮和恢復(fù)階段接觸力所做的功。
1.5 恒定外力的影響
考慮兩碰撞體分別在同一方向恒定外力Fi和Fj作用下的法向?qū)π呐鲎?，其中兩碰撞體的質(zhì)量分別為mi和mj，則外力作用下的等效外力為
Fe=mea
(15)
me=m1m2/(m1+m2)
(16)
a=F1/m1-F2/m2
(17)
式中：me為兩碰撞體的等效質(zhì)量；a恒定外力作用下的相對(duì)加速度。
由式(15)可知，在恒定外力的作用下可能發(fā)生三種碰撞情況，即a>0，a=0和a<0，分別代表著加強(qiáng)碰撞、不影響碰撞和減弱碰撞，本文研究是關(guān)于a≥0的情況下恒定外力對(duì)恢復(fù)系數(shù)的影響。
(18)
式(18)用來(lái)考慮等效恒定外力的影響因子，在a≥0的情況下，其ε的取值范圍0≤ε<1。
傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型認(rèn)為恒定外力相對(duì)于碰撞過(guò)程中的接觸力較小，因此通常忽略恒定外力的影響。根據(jù)圖1中接觸力和侵入深度關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，曲線的包圍面積代表能量耗散的大小，而碰撞過(guò)程中的能量耗散用恢復(fù)系數(shù)表示，故在較小的初始速度下恒定外力對(duì)碰撞過(guò)程中的恢復(fù)系數(shù)影響較大，而當(dāng)初始速度較大時(shí)，恒定外力的影響逐漸減小，可以忽略外力影響，這與傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型理論相同。因此，本文的研究應(yīng)用主要集中在低速重載的碰撞過(guò)程。
圖1 恒定外力對(duì)接觸力的影響
1.6 彈性壓縮階段
對(duì)于彈性碰撞過(guò)程，發(fā)生在開(kāi)始接觸到侵入深度達(dá)到臨界侵入深度時(shí)，在該碰撞過(guò)程中由于能量損失主要是通過(guò)應(yīng)力波的形式傳播并且相對(duì)較小，故在一般計(jì)算過(guò)程中認(rèn)為彈性碰撞沒(méi)有能量損失。同時(shí)由式(4)可知，臨界侵入深度只與屈服強(qiáng)度、彈性模量和碰撞體半徑有關(guān)，因此，在碰撞過(guò)程中，恒定外力的作用并不影響材料的臨界侵入深度，故本文在后面的研究中通過(guò)臨界侵入深度判斷碰撞發(fā)生的階段。在彈性壓縮階段，外力作用下的彈性變形過(guò)程中的能量守恒公式如下所示
(19)
式中：V為碰撞過(guò)程中某一時(shí)刻的速度；V1為初始接觸速度；w為某一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的侵入深度。
結(jié)合式(1)和式(19)可得
(20)
積分后得
(21)
通過(guò)計(jì)算可得彈性碰撞過(guò)程中的速度公式
(22)
隨著彈性壓縮階段的結(jié)束，材料開(kāi)始有塑性變形發(fā)生，此時(shí)碰撞體的侵入深度大于臨界侵入深度，進(jìn)入彈塑性碰撞階段。為確定進(jìn)入彈塑性碰撞階段時(shí)的碰撞體速度，將w=wc代入式(22)中可得
(23)
該計(jì)算結(jié)果為在恒定外力和初始速度作用下，達(dá)到臨界侵入深度時(shí)的速度計(jì)算公式。為確定碰撞過(guò)程中碰撞開(kāi)始進(jìn)入彈塑性碰撞階段時(shí)的臨界初始速度，即臨界速度為0時(shí)的碰撞初始速度
(24)
結(jié)合式(4)和式(24)可得
(25)
式中：Vy為臨界初始速度，當(dāng)V1Vy時(shí)則該碰撞進(jìn)入彈塑性碰撞階段。
1.7 彈塑性壓縮階段
在碰撞過(guò)程中，隨著侵入深度的增加，當(dāng)侵入深度大于臨界侵入深度時(shí)，碰撞進(jìn)入彈塑性階段。碰撞過(guò)程開(kāi)始有塑性變形發(fā)生，并且隨著侵入深度的增加，其接觸力與侵入深度的關(guān)系不再符合赫茲接觸力模型，需要引入式(10)所示的接觸力隨侵入深度變化關(guān)系。
在碰撞過(guò)程中初始動(dòng)能及恒定外力所做的功均通過(guò)碰撞體接觸部分的變形轉(zhuǎn)化為碰撞體的應(yīng)變能，因此，在彈塑性碰撞階段，碰撞體的應(yīng)變能變化的計(jì)算公式為
(26)
結(jié)合式(23)和式(26)可得
(27)
當(dāng)碰撞達(dá)到最大侵入深度wm時(shí)，則此時(shí)V=0，初始速度與侵入深度的關(guān)系式為
(28)
1.8 彈性回彈階段
當(dāng)侵入深度達(dá)到最大侵入深度wmax時(shí)，此時(shí)碰撞體之間的相對(duì)速度為0 m/s，彈塑性碰撞階段結(jié)束，碰撞體之間開(kāi)始分離，進(jìn)入恢復(fù)階段，目前大多數(shù)研究均假設(shè)在卸載階段接觸力和侵入深度之間的關(guān)系為彈性的，因此，采用赫茲接觸力模型作為恢復(fù)階段接觸力的計(jì)算。由于彈塑性碰撞過(guò)程中，有塑性變形發(fā)生，因此在碰撞結(jié)束后，接觸表面出現(xiàn)殘余深度wres，其計(jì)算公式見(jiàn)式(12)。將其代入赫茲模型回彈階段的計(jì)算公式，其計(jì)算公式為
(29)
在恒定外力作用下，碰撞體之間分離時(shí)的相對(duì)速度計(jì)算式為
(30)
根據(jù)式(30)可得
V2=
(31)
式中：V2為碰撞體碰撞后分離時(shí)的速度。
2 結(jié)果與分析
2.1 恒定外力對(duì)恢復(fù)系數(shù)的影響
以經(jīng)典單球碰撞模型為研究對(duì)象，如圖2所示。將一質(zhì)量為0.01 kg，半徑為0.006 75 m的小球以不同初始速度開(kāi)始下落，其中小球和平板的彈性模量均為210 GPa，泊松比為0.27，材料屈服強(qiáng)度為450 MPa。根據(jù)上述計(jì)算公式求解在不同恒定外力作用下的恢復(fù)系數(shù)，其計(jì)算結(jié)果，如圖3所示。
圖2 單球碰撞模型
從圖3(a)中可以觀察到，在不同恒定外力作用下，恢復(fù)系數(shù)隨恒定外力的增加逐漸減小，主要是由于在恒定外力作用下，使得碰撞過(guò)程中塑性變形增加，從而導(dǎo)致能量耗散增加，恢復(fù)系數(shù)逐漸減小。從圖3(b)中可以觀察到，不同初始接觸速度下，恒定外力對(duì)于初始速度較小時(shí)的碰撞影響較大，這與圖1分析結(jié)果相同，由于較小初始速度時(shí)，隨著恒定外力的增加，初始速度所產(chǎn)生的接觸力幾乎可以忽略，故恒定外力對(duì)較低速度碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)的影響較大，這同Shen等在關(guān)于恒定外力作用下對(duì)碰撞的影響研究結(jié)果一致，其三維綜合圖如圖3(c)所示。
圖3 恢復(fù)系數(shù)受恒定外力和初始接觸速度影響圖
目前關(guān)于恢復(fù)系數(shù)模型的研究中，Jackson等通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比了J-G模型、Thornton模型和Wu模型，認(rèn)為J-G模型在預(yù)測(cè)彈塑性碰撞階段恢復(fù)系數(shù)時(shí)相對(duì)較為準(zhǔn)確。為考慮恒定外力在連續(xù)碰撞過(guò)程中對(duì)侵入深度和侵入速度的影響，利用J-G模型與本文提出模型進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖4和圖5所示，其中采用Shen等提出的受恒定外力作用下的接觸力模型作為碰撞過(guò)程中接觸力的計(jì)算，恒定外力為1 000 N,初始速度為0.5 m/s。
圖4 連續(xù)碰撞過(guò)程中侵入深度圖
圖5 連續(xù)碰撞過(guò)程中侵入速度圖
通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在不受外力作用時(shí)，兩模型在侵入速度和侵入深度上具有較好的一致性，這也驗(yàn)證了本文模型在不受外力作用時(shí)模型的有效性。當(dāng)受恒定外力作用時(shí)，由于J-G模型不考慮恒定外力的影響，而本文模型在恒定外力的作用下恢復(fù)系數(shù)減小，因此，在發(fā)生碰撞時(shí)，本文模型侵入深度與分離速度均下降，并且在連續(xù)碰撞過(guò)程中，隨著每次碰撞后計(jì)算結(jié)果的累積，使得兩模型結(jié)果相差逐漸增大。最終當(dāng)初始速度較低時(shí)，碰撞過(guò)程進(jìn)入彈性碰撞階段，兩模型達(dá)到穩(wěn)定，而本文模型由于考慮恒定外力的作用，因此，本文模型達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的初始速度相對(duì)較小。
2.2 對(duì)比目前的恢復(fù)系數(shù)模型
根據(jù)其連續(xù)碰撞過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，首次碰撞結(jié)果對(duì)其后碰撞影響較大，因此，進(jìn)一步對(duì)比研究在首次碰撞過(guò)程中，本文模型與目前恢復(fù)系數(shù)模型在碰撞過(guò)程中的侵入深度及速度變化。根據(jù)式(32)中受恒定外力作用時(shí)的等效動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算在碰撞過(guò)程中恒定外力的影響。由于Shen等受恒定外力的接觸力模型在不同恢復(fù)系數(shù)作用下，恢復(fù)系數(shù)具有較好的回歸性，因此，等效動(dòng)力學(xué)方程的阻尼因子采用Shen等的阻尼因子模型，恢復(fù)系數(shù)模型采用傳統(tǒng)J-G模型，其中碰撞體的材料參數(shù)半徑為0.02 m，質(zhì)量為0.26 kg，剛度1.4×108N/m1.5為，屈服強(qiáng)度為450 MPa，初始接觸速度V1為0.5 m/s。
(32)
求解動(dòng)力學(xué)方程式(32)，在不同的恒定外力影響因子下，如圖6所示，隨著恒定外力的增加，其侵入深度增加，材料塑性變形增加，導(dǎo)致碰撞后的分離速度減小，當(dāng)恒定外力足夠大時(shí)，其碰撞后不發(fā)生分離。而目前的恢復(fù)系數(shù)模型均忽略恒定外力的影響，以碰撞后的分離速度與初始速度之比定義恢復(fù)系數(shù)，在恒定外力足夠大時(shí)，傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因而恢復(fù)系數(shù)模型須考慮恒定外力的影響。
圖6 不同恒定外力對(duì)碰撞過(guò)程的影響
目前，關(guān)于恢復(fù)系數(shù)模型的研究相對(duì)較多，均通過(guò)不同的接觸力和侵入深度關(guān)系，結(jié)合碰撞前后能量守恒定律推導(dǎo)獲得恢復(fù)系數(shù)模型，其中Thornton模型通過(guò)假設(shè)彈塑性階段接觸力與侵入深度關(guān)系，獲得恢復(fù)系數(shù)模型，Wu模型利用有限元軟件仿真研究碰撞前后分離速度，并通過(guò)擬合曲線獲得恢復(fù)系數(shù)模型，J-G模型通過(guò)仿真得到彈塑性階段接觸力和侵入深度關(guān)系，獲得恢復(fù)系數(shù)模型并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，但均未考慮恒定外力的影響。為對(duì)比恒定外力作用下，本文模型與目前已有模型在碰撞過(guò)程中的變化，取恒定外力影響因子分別為0.05、0.39、0.605和0.907，其恒定外力分別為10 N、100 N、200 N、800 N，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。
圖7 不同模型時(shí)間與侵入深度的關(guān)系
圖8 不同模型時(shí)間與侵入速度的關(guān)系
如圖7所示，通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在相同恒定外力及初始速度作用下，Wu模型侵入深度最大，主要是由于Wu模型在初始速度較低時(shí)，過(guò)高預(yù)測(cè)恢復(fù)系數(shù)，因而導(dǎo)致其碰撞過(guò)程中，每一時(shí)間步，能量耗散減少，侵入深度增加，而Thornton模型過(guò)低預(yù)測(cè)恢復(fù)系數(shù)[16]，使得能量耗散增加，侵入深度減小。J-G模型通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其恢復(fù)系數(shù)模型的有效性，與本文模型在受力較小時(shí)具有很好的一致性，但隨著恒定外力的增大，本文模型恢復(fù)系數(shù)逐漸減小，因而導(dǎo)致最大侵入深度低于J-G模型預(yù)測(cè)結(jié)果。并且在圖7(d)中當(dāng)恒定外力足夠大時(shí)，其碰撞后碰撞體不發(fā)生分離。
如圖8(d)所示，在恒定外力的作用下，當(dāng)碰撞體初始接觸時(shí)，由于接觸力小于恒定外力，碰撞體速度先增大，當(dāng)接觸力等于恒定外力時(shí)，碰撞體加速度為零，之后速度開(kāi)始減小，在分離階段隨著接觸力減小，碰撞體速度增大，當(dāng)接觸力小于恒定外力時(shí)，恒定外力使得碰撞體速度減小，直至徹底分離。由于Wu模型預(yù)測(cè)恢復(fù)系數(shù)較大，因而碰撞后，Wu模型的分離速度最大，而Thornton模型、J-G模型及本文模型分離速度均為0 m/s，即碰撞后不發(fā)生分離，這表明考慮恒定外力通過(guò)碰撞前后的能量之比定義恢復(fù)系數(shù)是更加有效的。根據(jù)圖8可知，隨著恒定外力的增加，恒定外力對(duì)本文恢復(fù)系數(shù)模型的影響逐漸增大，而傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型不受恒定外力影響，故隨著恒定外力的增大，本文模型與J-G模型預(yù)測(cè)的侵入速度之間的差值逐漸增大。
根據(jù)圖8可以發(fā)現(xiàn)，在碰撞過(guò)程中，本文模型與J-G模型侵入速度曲線較為一致，進(jìn)一步對(duì)比兩模型預(yù)測(cè)的能量耗散之間的關(guān)系，結(jié)果如圖9所示，本文模型在初始速度較小時(shí)，恒定外力越大對(duì)應(yīng)的恢復(fù)系數(shù)越小，能量耗散越大，主要是由于恒定外力越大，侵入深度增大，彈塑性變形增大，能量耗散增多。而J-G模型不考慮恒定外力的影響，恢復(fù)系數(shù)結(jié)果不隨恒定外力改變，因而不符合實(shí)際情況。
圖9 J-G模型與本文模型結(jié)果對(duì)比
2.3 經(jīng)驗(yàn)公式
根據(jù)碰撞過(guò)程中的恢復(fù)系數(shù)計(jì)算公式，簡(jiǎn)化式(6)獲得簡(jiǎn)化后的彈塑性階段接觸力與侵入深度之間的關(guān)系如式(34)所示，根據(jù)Williams[17]的研究式(7)的可取理論值式(33)，該簡(jiǎn)化過(guò)程是導(dǎo)致簡(jiǎn)化恢復(fù)系數(shù)模型誤差的主要原因，如圖10所示，模型適用于1.9<(w*)m<800范圍內(nèi)的恢復(fù)系數(shù)預(yù)測(cè)，簡(jiǎn)化后的恢復(fù)系數(shù)模型如式(35)所示，其誤差最大為8.6%，平均為3.2%，符合實(shí)際工程應(yīng)用，其中彈塑性碰撞階段的最大侵入深度可通過(guò)式(36)獲得。
圖10 簡(jiǎn)化模型
(33)
(34)
Cr=
(35)
(36)
3 結(jié) 論
針對(duì)彈塑性碰撞體受恒定外力作用時(shí)初始速度對(duì)恢復(fù)系數(shù)的影響，本文建立了一種恒定外力作用下彈塑性碰撞階段恢復(fù)系數(shù)的預(yù)測(cè)模型,結(jié)果如下：
(1) 通過(guò)對(duì)比接觸力和侵入深度之間的關(guān)系，在低速重載工況下，考慮恒定外力對(duì)恢復(fù)系數(shù)的影響具有重要意義，且隨著恒定外力的增加，碰撞過(guò)程塑性變形增加，恢復(fù)系數(shù)顯著降低。
(2) 傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型區(qū)分不同碰撞階段均通過(guò)臨界初始速度，為考慮恒定外力的影響，本文通過(guò)臨界侵入深度進(jìn)行區(qū)分，同時(shí)考慮了恒定外力與初始速度的共同作用。
(3) 通過(guò)連續(xù)碰撞過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)恒定外力作用下恢復(fù)系數(shù)對(duì)接觸力計(jì)算具有重要意義，同時(shí)，對(duì)比分析在不同恒定外力作用下的四種恢復(fù)系數(shù)模型，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)碰撞前后的能量比定義恢復(fù)系數(shù)，考慮恒定外力的影響，能更加有效的預(yù)測(cè)碰撞恢復(fù)系數(shù)。
(4) 為提高計(jì)算效率，便于實(shí)際工程應(yīng)用，通過(guò)簡(jiǎn)化理論推導(dǎo)過(guò)程，歸納并獲得簡(jiǎn)化后的經(jīng)驗(yàn)公式，并對(duì)比理論計(jì)算，獲得其最大誤差為8.6%，平均為3.2%。
