馬方立 ，徐 揚(yáng) ，徐 鵬

（1.西南交通大學(xué)計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院，四川 成都 610031；2.四川省無線電監(jiān)測站，四川 成都 610052；3.西南交通大學(xué)系統(tǒng)可信性自動驗(yàn)證國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；4.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031）

無線電發(fā)射源的無源定位方法是指定位設(shè)備自身不發(fā)射無線電信號，而通過測量定位目標(biāo)所發(fā)射信號的參數(shù)實(shí)現(xiàn)定位的方法.包括以信號到達(dá)角度為定位參量的到達(dá)角度（angle of arrival，AOA）定位方法、以信號到達(dá)時(shí)間（time of arrival，TOA）為定位參量的到達(dá)時(shí)間法、以信號到達(dá)時(shí)間差（time difference of arrival，TDOA）為定位參量的到達(dá)時(shí)間差法、以信號到達(dá)強(qiáng)度為定位參量的接收信號強(qiáng)度（received signal strength，RSS）法，以及混合定位方法等[1].其中AOA 定位法也稱交繪定位法、三角定位法，是指采用三角學(xué)的方法，利用多個(gè)測向站點(diǎn)的示向度計(jì)算信號發(fā)射源位置，或者在地圖上進(jìn)行人工交繪的定位方法.對于超短波AOA 定位，被測信號源與監(jiān)測站之間的距離通常不超過100 km，往往采用平面三角形的方法；但對于短波AOA 定位，被測信號源與監(jiān)測站之間的距離通常為幾百甚至上千公里，平面三角形的方法已不再適用，通常用球面三角形代替平面三角形.這里研究超短波AOA 定位.

文獻(xiàn)[2]研究了直角坐標(biāo)下超寬帶的協(xié)同AOA定位問題.文獻(xiàn)[3]分析了直角坐標(biāo)下2 站點(diǎn)AOA定位的精確度.文獻(xiàn)[4]以線性近似得到的結(jié)果作為牛頓迭代的初值，從而降低牛頓迭代法發(fā)散的幾率，增加了穩(wěn)定性，提高了算法效率.文獻(xiàn)[5-6]研究了地球橢球模型下利用大地坐標(biāo)進(jìn)行AOA 定位，算法復(fù)雜，難以進(jìn)行多站點(diǎn)AOA 定位計(jì)算.文獻(xiàn)[7]研究了大地坐標(biāo)下的TDOA 定位基于球面精確計(jì)算、球面近似計(jì)算、等距離正圓柱投影、等角度正圓柱投影和等面積正圓柱投影5 種距離計(jì)算方法的精度，并與傳統(tǒng)的平面直角坐標(biāo)TDOA 無源定位模型進(jìn)行比較.截至到目前，未見有關(guān)不同坐標(biāo)系和不同地圖投影方法下AOA 定位性能比較方面的研究文獻(xiàn).

此外，關(guān)于測向精確度，按標(biāo)準(zhǔn)測試場地的測試條件，國際電信聯(lián)盟無線電通信部門（ITU-R）《頻譜監(jiān)測手冊》[8]推薦超短波固定測向站均方根值為1°；中國無線電管理機(jī)構(gòu)最新規(guī)定值為1°～3°[9].實(shí)際上，由于電波傳播途徑的阻擋、多徑效應(yīng)，以及固定測向站自身的防雷設(shè)施影響，測向站的測向誤差往往要大得多.因此，有必要研究定位精度與測向精度的關(guān)系.

基于此，本文研究如何直接利用大地經(jīng)緯度進(jìn)行AOA 定位，并探討定位精度與角度計(jì)算方法的關(guān)系.首先研究了方位角計(jì)算方法，分析了基于直角坐標(biāo)的AOA 定位模型，然后提出基于大地經(jīng)緯度的幾種AOA 定位模型，探討其最優(yōu)化求解方法，并進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，給出了不同模型的定位精度，并比較了3 種可用模型對測向誤差的敏感性.

1 方位角計(jì)算方法

方位角計(jì)算是AOA 定位的基礎(chǔ)之一.這里將先列出2 種已有計(jì)算方法的公式，然后提出4 種近似計(jì)算方法.按照業(yè)內(nèi)慣用的方式，方位角以正北為0°和360°，沿順時(shí)針方向增加，正東為90°，正南為180°，正西為270°.

1.1 已有方位角計(jì)算方法

1.1.1 基于平面直角坐標(biāo)的平面法[10]

現(xiàn)有二維AOA 無源定位模型是基于平面直角坐標(biāo)系的.信號源S發(fā)射的信號到達(dá)測向站點(diǎn)Mi（i=1,2,···,n，n為側(cè)向站點(diǎn)數(shù)）的方位角如式（1）.

式中：（x，y）、（xi，yi）分別為S、Mi的直角坐標(biāo)；

θti為在站點(diǎn)Mi看信號源的方位角理論值，（°）.

1.1.2 基于大地坐標(biāo)的球面精確法[11]

按照球面精確法，S到Mi的大圓距離如式（2）.

式中：（λ，φ）、（λi，φi）分別為S、Mi的經(jīng)緯度坐標(biāo).

S到Mi的弧度，即到地心的法線夾角的計(jì)算如式（3）.

S發(fā)射的信號到達(dá)Mi的方位角的計(jì)算如式（4）.

1.2 方位角計(jì)算新方法

1.2.1 基于大地坐標(biāo)的球面近似法

令r為等緯線相對于赤道的尺縮因子，ri為經(jīng)過測向站點(diǎn)Mi的等緯線相對于赤道的平均尺縮因子[12]，則

式中：θtci為采用球面近似法方位角的理論預(yù)測值.

1.2.2 基于大地坐標(biāo)的正軸圓柱投影-平面法

文獻(xiàn)[13]提出“將大地坐標(biāo)經(jīng)Guass 投影反算得到坐標(biāo)方位角”.Guass 投影計(jì)算比較復(fù)雜，這里采用簡單的正軸圓柱投影.

已有方法中的平面法，其平面直角坐標(biāo)往往來自平面地圖.而平面地圖均為地球表面的投影.這里提出正軸圓柱投影-平面近似法的具體操作如下：

以投影平面的橫軸為x軸、縱軸為y軸，則等距離投影、等角度（Web Mercater）投影、等面積投影[14-15]3 種球面正軸圓柱投影的橫坐標(biāo)投影均如式（7）.

式中：R為地球平均半徑，R=6 371.1 km[13].

而縱坐標(biāo)的投影公式不同.其中球面等距離正圓柱投影如式（8）.

球面等角度正圓柱投影如式（9）.

球面等面積正圓柱投影如式（10）.

將式（7）～（10）代入式（1），可分別得到等距離正軸圓柱投影-平面法方位角計(jì)算式（11），等角度正軸圓柱投影-平面法方位角計(jì)算式（12）和等面積正軸圓柱投影-平面法方位角計(jì)算式（13）.

2 平面直角坐標(biāo)AOA 定位模型

設(shè)AOA 定位網(wǎng)有多個(gè)無線電測向站點(diǎn)，無線電信號發(fā)射源所在地點(diǎn)S.測向站點(diǎn)Mi接收到的信號來波方位角理論值與實(shí)測值之差為

式中：θmi為Mi處的信號來波方位角實(shí)測值，（°）.

根據(jù)式（1），可得定位方程，如式（15）.

如果沒有電波傳播畸變（反射、折射、繞射等），也沒有測向誤差，那么2～3 個(gè)測向站點(diǎn)就能夠準(zhǔn)確定位發(fā)射源.但實(shí)際上不可能.因此，一個(gè)測向網(wǎng)可能有更多的測向站點(diǎn).當(dāng)測向站點(diǎn)數(shù)超過2 時(shí)，定位方程組成為超定方程組.

如果n個(gè)測向站點(diǎn)能夠同時(shí)接收到某一信號，且能夠同時(shí)測得電波到達(dá)的方位角，那么最多就可以得到由n個(gè)方程組成的定位方程組，如式（16）.

3 大地坐標(biāo)AOA 定位方程

3.1 球面精確AOA 定位方程

由式（4）、（14）可得定位定位方程組如式（17）.

式中：Δ θpi為采用球面精確法得到的 Δ θi.

3.2 球面近似AOA 定位方程

根據(jù)式（6）、（14）可得定位方程組如式（18）.

式中：Δ θci為采用球面近似法得到的 Δ θi.

3.3 球面正軸圓柱投影-平面AOA 定位方程

由式（11）、（14）可得球面等距離正軸圓柱投影-平面AOA 定位方程組如式（19）.

式中：Δ θdi為采用球面等距離正軸圓柱投影-平面法得到的 Δ θi.

由式（12）、（14）可得球面等角度正軸圓柱投影-平面AOA 定位方程組如式（20）.

式中：Δ θai為采用球面等角度正軸圓柱投影-平面法得到的 Δ θi.

由式（13）、（14）可得球面等面積正軸圓柱投影-平面AOA 定位方程組如式（21）.

式中：Δ θsi為采用球面等面積正軸圓柱投影-平面法得到的 Δ θi.

4 最優(yōu)化AOA 定位模型

采用基于無約束非線性規(guī)劃的最優(yōu)化定位建模方法[16]，以從信號源的假設(shè)位置到達(dá)各測向站點(diǎn)的示向度預(yù)測值與測向站點(diǎn)實(shí)測值之差的累積量為目標(biāo)函數(shù)，以信號源所在地點(diǎn)的經(jīng)緯度為決策變量.AOA 最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

將式（4）代入式（22），可得球面精確AOA 定位模型，如式（23）.

將式（6）代入式（22），可得球面近似AOA 定位模型，如式（24）.

將式（11）代入式（22），可得等距離投影-平面AOA 定位模型，如式（25）.

將式（12）代入式（22），可得等角度投影-平面AOA 定位模型，如式（26）.

將式（13）代入式（22），可得等面積投影-平面AOA 定位模型，如式（27）.

考慮到超短波電波傳播的距離通常不超過50 km，假設(shè)信號源位于AOA 定位網(wǎng)之內(nèi)，以AOA定位網(wǎng)的幾何中心或者接收到最強(qiáng)信號的站點(diǎn)為中心，以網(wǎng)格逐點(diǎn)搜索法[16]計(jì)算最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的解，取經(jīng)線方向和緯線方向各一定的搜索步進(jìn)計(jì)算，收斂性好.網(wǎng)格尺度與定位精度成正比，定位誤差均值不超過搜索步進(jìn)的2 倍.如需提高定位精度，可減小搜索步進(jìn).

5 數(shù)值驗(yàn)證

通過計(jì)算機(jī)仿真，基于不同站點(diǎn)數(shù)量下的AOA定位模型，比較其在不同測向誤差和不同方位角計(jì)算方法下的性能.假定各監(jiān)測站點(diǎn)同步測得來波的示向度.

仿真參數(shù)設(shè)定如表1.考慮到接近地球南、北兩極的緯線尺縮太大，且無人煙，最高緯度只計(jì)算到85°.

表1 AOA 定位仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Setting of simulation parameters in AOA localization

用3～16 個(gè)測向站點(diǎn)組成的定位網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真，以逐點(diǎn)計(jì)算的網(wǎng)格搜索方法，獲取定位誤差結(jié)果.考慮到以距離單位表示誤差不具有通用性，而百分比表示具有通用性，故以監(jiān)測網(wǎng)的直徑或者邊長為分母定義定位精度的百分比，當(dāng)已知定位網(wǎng)直徑時(shí)，乘以百分比就可得到具體的距離數(shù)據(jù).

5.1 不考慮測向誤差時(shí)的定位精度比較

5 種方位角計(jì)算方法在沒有測向誤差情況下的比較結(jié)果見圖1.

圖1 不考慮測向誤差時(shí)5 種方法的定位精度Fig.1 Localization accuracy of five methods without considering direction-finding error

從中可用看出：當(dāng)沒有測向誤差，且不考慮電波傳播畸變時(shí)，球面精確法無誤差.

球面近似計(jì)算AOA 定位模型和等角度正圓柱投影-平面AOA 定位模型定位精度接近，在低緯度和中緯度的誤差均很小；在高緯度，分別低于4.7%和5.3%，后者略大于前者.

等面積正圓柱投影-平面AOA 定位模型和等距離正圓柱投影-平面AOA 定位模型的定位效果均很差，在低緯度，前者的誤差最大可達(dá)7%，后者的誤差最大可達(dá)6%；在中緯度，前者的誤差在7%～23%，后者的誤差在6%～27%；在高緯度時(shí)，前者的誤差超過23%，后者的誤差超過27%.

因此，等距離正圓柱投影-平面AOA 定位模型和等面積正圓柱投影-平面AOA 定位模型均不可用；球面精確AOA 定位模型、球面近似AOA 定位模型和等角度正圓柱投影-平面AOA 定位模型可用.

5.2 對測向誤差敏感性的比較

針對3 種可用的AOA 定位模型進(jìn)一步仿真.給定 -5°～5°、-10°～10°、-20°～20° 3 種均勻分布的測向誤差，3 種模型在不同緯度下的定位精度各進(jìn)行100 次仿真，得到3、4、5、9、16 個(gè)站點(diǎn)定位網(wǎng)的均方根誤差見圖2～6.

從圖2～6 可見對于球面精確AOA 定位模型、球面近似AOA 定位模型和等角度正圓柱投影-平面AOA 定位模型，均有：

圖2 3 站點(diǎn)定位網(wǎng)不同測向誤差的定位精度Fig.2 Localization accuracy of different direction-finding errors in 3-station network

1）在相同站點(diǎn)數(shù)下，測向誤差越小，定位精度越高；

2）在相同測向誤差下，測向站點(diǎn)越多，定位精度越高.

3）要提高AOA 定位網(wǎng)的定位精度，既可提高各站點(diǎn)的測向精度，也可增加測向站點(diǎn)數(shù).例如，3 站點(diǎn)、± 5° 測向誤差的定位網(wǎng)，9 站點(diǎn)、± 10° 測向誤差的定位網(wǎng)，16 站點(diǎn)、± 20°測向誤差的定位網(wǎng)的定位精度大致相當(dāng).

圖3 4 站點(diǎn)定位網(wǎng)不同測向誤差的定位精度Fig.3 Localization accuracy of different direction-finding errors in 4-station network

圖4 5 站點(diǎn)定位網(wǎng)不同測向誤差下的定位精度Fig.4 Localization accuracy of different direction-finding errors in 5-station network

圖5 9 站點(diǎn)定位網(wǎng)不同測向誤差的定位精度Fig.5 Localization accuracy of different direction-finding errors in 9-station network

圖6 16 站點(diǎn)定位網(wǎng)不同測向誤差的定位精度Fig.6 Localization accuracy of different direction-finding errors in 16-station network

5.3 AOA 定位模型的運(yùn)算時(shí)效

通過對仿真實(shí)驗(yàn)的計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)3 種可用模型的定位時(shí)效性有差別，其中：球面近似AOA 定位模型的定位運(yùn)算時(shí)間最短，等角度正圓柱投影-平面AOA定位模型是其2.1 倍，球面精確AOA 定位模型是其2.7 倍.

6 結(jié) 論

為直接利用大地經(jīng)緯度坐標(biāo)進(jìn)行AOA 定位，本文首先提出了方位角計(jì)算的球面近似法和正軸圓柱投影-平面法，進(jìn)而建立了基于經(jīng)緯度的到達(dá)角度定位方程，并針對球面精確計(jì)算、球面近似計(jì)算、球面正軸圓柱投影-平面計(jì)算幾種基于大地經(jīng)緯度坐標(biāo)的方位角計(jì)算方法的AOA 定位最優(yōu)化模型，經(jīng)過建模和計(jì)算機(jī)仿真，得到如下結(jié)論：

1）球面精確AOA 定位模型定位精度最高，且與緯度無關(guān)，但其定位運(yùn)算時(shí)間最長，適合要求定位精度高、但時(shí)效性要求不高的定位網(wǎng).

2）球面近似AOA 定位模型和等角度正圓柱投影-平面AOA 定位模型的精度均較高，后者的定位誤差略大于前者，且定位運(yùn)算時(shí)間也長于前者.因此，前者比后者更加適合時(shí)效性要求高的定位網(wǎng).

3）要提高AOA 定位網(wǎng)的定位精度，既可提高各站點(diǎn)的測向精度，也可增加測向站點(diǎn)數(shù).

傳統(tǒng)的AOA 定位注重單個(gè)站的測向精度，本項(xiàng)研究表明，方位角計(jì)算方法和站點(diǎn)數(shù)量也是定位精度的決定因素.因此，建設(shè)無線電定位網(wǎng)需要綜合考慮測向精度和站點(diǎn)數(shù)量，并應(yīng)綜合考慮定位時(shí)效性要求和精度要求，選擇合適的AOA 定位模型.