歐陽小蓉

新課標(biāo)的不斷深化，使得各地的教師了解到應(yīng)不斷強化學(xué)生對數(shù)學(xué)思維方式的檢查，特別是將學(xué)生生活當(dāng)作背景，在生活中應(yīng)用分段函數(shù)，和分類探討實現(xiàn)相結(jié)合的一類中考數(shù)學(xué)問題，極為引人注目。這一類型的試題可以較好地測試學(xué)生對一部分基礎(chǔ)功能與知識的掌握情況，也測試學(xué)生靈活使用知識處理具體問題的技能。與此同時，還可以檢驗學(xué)生是夠使用動和靜、變化和不變、特殊和一般的辯證思維。處理這一類型問題的重點在于必須將問題歸納成設(shè)定條件（分段函數(shù)），結(jié)合自變量的各種取值范圍，開展分類求解，從而實現(xiàn)不重不漏，并進行分層討論求解。

一、分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型概念

分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型通常利用函數(shù)的方式來表達。然而，也有一些情況，必須利用幾個式子來表達。如果自變量的值位于不同的域中，函數(shù)的表達式就會不同。這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。如果自變量的值處在不同的域中，函數(shù)的表達式就會不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。在具體使用時，分段函數(shù)當(dāng)中包含了分類討論的數(shù)學(xué)思想。正是由于我們的日常生活中有許多問題需要各種方式來處理，所以分類討論思想就變得十分重要。分段函數(shù)是解決數(shù)學(xué)實際問題的一種很有效的工具。利用分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型，可以處理日常生活中遇到的許多問題。

二、分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型在日常生活中的應(yīng)用

（一）生活中的用水用電問題

例如：為促進節(jié)能減排的發(fā)展，某市制定了下列用電收費標(biāo)準：當(dāng)每戶月用電量低于120度，電價為a元/度;在超過120度以后，不超過部分依舊是a元/度，其他超過的部分則是b元/度，據(jù)了解，某用戶5月份用電115度，電費69元;6月份用電140度，電費94元。

（1）求出a、b的值;（2）用戶每月用電量為小時（度），應(yīng)付電費為y（元）。

首先，分別求出0≤x≤120和x>120時，y和x間的函數(shù)關(guān)系;其次，如果用戶計劃在7月份的時候使用電費不超出83元，則其在7月最多可使用多少度？

解：（1）結(jié)合題目含義

（2）①在0≤x≤120和x>120時，y=0.6x。

在x>120時，y=120×0.6+1.1（x-120），也就是說，y=1.1x-60。

②83>120×0.6=72，所以y和x之間的函數(shù)關(guān)系公式為y=1.1x-60。

通過題意我們能夠得出1.1x-60≤83，x≤130。

因此，該用戶在7月最多可使用的電量為130度。

伴隨人民生活水平代表的提升，家用電器已經(jīng)得到了全面普及，為鼓勵人民節(jié)約用水和用電，節(jié)約能源，使用了居民用電用水的分段式計價方式進行收費，處理這個問題的核心就是將實際問題創(chuàng)建成函數(shù)數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)的方法來處理問題。

（二）家庭對賬方面的問題

在家庭生活中，我們往往需檢查賬目，然而現(xiàn)在我們看到賬單越多，越難以整理。隨著價格一天天飆升，在買東西的時候經(jīng)常會對各家價格進行比較，商家一般會對客戶的心理進行了解，一個接一個地推出許多促銷方案。但是在選擇促銷方案的時候，我們可采取分段函數(shù)模型來為用戶購買決策供應(yīng)參考。

例如：在某電器店51優(yōu)惠促銷活動中，商戶規(guī)定：一次性訂購銷售市場產(chǎn)品低于一千，無折扣;一次性訂購產(chǎn)品在1000—1500之間，可享受8.8折扣;超過1500元的，1500元以內(nèi)的按第二條規(guī)定打折，大于1500元的可打6.8的折扣。假如有人在電器行購買商品兩次，付款金額分別是868與1258元，然而，假設(shè)用戶是一次性購買，則需要支付多少元？

解：假設(shè)參加有活動前的所有付款總額為P元，參加活動后的應(yīng)付金額q元，如果p大于等于0，小于等于1000，那么應(yīng)付金額將是p;如果p大于1000小于等于1500，那么應(yīng)付金額q將是0.88p;在p超過1500時，應(yīng)支付金額q為1500×0.88+（p-1500）×0.68，可以獲得的分段函數(shù)為：

在第二次打8.8折以后，付款1258元，因此我們要的是折扣前的價格。也就是1258÷0.88=1429（元），那么所有原始支付的總金額為：1429+868=2297（元）。結(jié)合分段函數(shù)，參與活動以后應(yīng)支付的金額為：0.68×2297+300=1861（元）。就好比此例子，如果單獨支付活動費用，總費用為868+1258=2126（元），比加起來多265元。在日常生活中，有很多這樣的例子，當(dāng)商品的總價格越高，則最終的價差就越大。通過運用數(shù)學(xué)模型開展分析、指導(dǎo)與規(guī)劃，為購買決策供應(yīng)正確的指導(dǎo)，可以節(jié)省大量的資金。

（三）生活營銷利潤問題

例如：在某一化工商店出售的一種新型化工材料，市場指導(dǎo)價為每公斤160元（化工店價格可以上下浮動），原料采購價為市場指導(dǎo)價的75%。

（1）為了增加銷售量，化工廠決定對價格進行適當(dāng)調(diào)整。調(diào)整后的價格，它將以80%的折扣出售，仍然可以得到實際售價的20%利潤。因此，求化工店調(diào)整價格后的標(biāo)號價格是多少？折扣的實際售價是多少？

（2）為了了解該原料的月銷售額y（kg）和實際銷售價格z（元/kg）間的關(guān)系，化工商店每月調(diào)整一次實際銷售價格。一段時間后，部門負責(zé)人將試銷清單列舉出，如下表：

銷售清單

①請結(jié)合上述給出的直角坐標(biāo)系，將實際售價z（元/kg）當(dāng)作橫軸，將每月銷售量y（kg）當(dāng)作縱軸。跟蹤每一個點，并對其發(fā)展形勢進行觀察，并了解功能性y和商家間可能具有的關(guān)系是什么？

②請用你所學(xué)的函數(shù)知識來充分滿足這些數(shù)據(jù)的y和商家之間的函數(shù)表達式，并驗證①的猜想。

③如果化工上的在某一個月的實際銷售價格一共賣出了450公斤這種原料，這個月化工店銷售這種原料的利潤是多少？

解：（1）結(jié)合題意，采購價格為每公斤原料160×75%=120（元）。

化工廠調(diào)整后的價格為x。折扣后的價格為0.8x元，那么：0.8x-120=0.8x×20%，可以得出x=187.5（元）。

187.5×0.8=150（元）

調(diào)整完成的價格是187.5元，折扣以后的實際價格為150元。

（2）①通過觀察坐標(biāo)軸，我們可以看出這些點的發(fā)展趨勢就好比一條直線，因此推測y和商家間具有一次函數(shù)關(guān)系。

②如果根據(jù)①的猜測，假設(shè)y和x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b，則：

所以，y和x的函數(shù)為y=-x+800。

在y=-2x+800中代入（168，464）和（180，440），都可以成立，也就是說這些點都與y=-2x+800發(fā)展形勢一致。因此，①當(dāng)作的猜想y和商家間具有一次函數(shù)關(guān)系成立。

③假設(shè)化工商店本月銷售這一原料的利潤是w元。y=4.5，x=175。

所以，w=（175-120）×450=24750（元）

那么，本月這家化工商店從原料銷售中獲利24750元。

綜上，自改革開放以來，市場經(jīng)濟十分活躍，各種折扣、禮品等促銷活動隨處可見，商家想要獲利，消費者想要受益，因此在買賣過程中，雙方都需要利用數(shù)學(xué)的方法開展核算，從而了解自身的盈利狀況。

三、總結(jié)

以上提出的問題和現(xiàn)實生活的實時熱點相互聯(lián)系，自然而然地檢驗了分段函數(shù)模型的現(xiàn)實意義，并且對學(xué)生運用函數(shù)思維、方程、不等式、最大值的知識來處理問題的能力進行考察，指導(dǎo)學(xué)生能夠在日常生活中使用數(shù)學(xué)知識進一步分析與處理實際生活中的難題，良好完成新課標(biāo)中提出的分段函數(shù)在現(xiàn)實生活中使用的要求。