王帥磊，周紹磊，代飛揚(yáng)，劉玄冰

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

1 引言

姿態(tài)控制是多航天器系統(tǒng)控制中的重要問題之一。達(dá)到姿態(tài)協(xié)同是多航天器正常作業(yè)的前提，例如在多航天器對(duì)地觀測(cè)、重力場(chǎng)測(cè)量等[1]場(chǎng)景中，都需要系統(tǒng)內(nèi)航天器相互合作并保持相應(yīng)的姿態(tài)。針對(duì)多航天器系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)同控制問題，文獻(xiàn)[2]中采用SO(3)模型研究了帶時(shí)滯的情況；文獻(xiàn)[3]中引入了事件觸發(fā)機(jī)制以減少系統(tǒng)內(nèi)的通信；文獻(xiàn)[4]考慮了復(fù)雜的約束條件；Liu等[5]針對(duì)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)的多航天器系統(tǒng)展開了研究；Lu和Liu進(jìn)一步考慮了切換拓?fù)涞那闆r[6]；現(xiàn)有研究還針對(duì)帶有避撞約束[7]、慣性不確定性[8]以及存在時(shí)滯[9]的情況進(jìn)行了分析。

現(xiàn)有研究大多致力于使多航天器系統(tǒng)中所有航天器的姿態(tài)收斂到同一個(gè)固定的或時(shí)變的姿態(tài)，而在較為復(fù)雜的應(yīng)用場(chǎng)景中，將整個(gè)系統(tǒng)劃分為多個(gè)分組進(jìn)行控制是必要的，例如在SAR衛(wèi)星編隊(duì)的協(xié)同監(jiān)控[9-10]中，需要編隊(duì)中的衛(wèi)星保持不同的姿態(tài)。對(duì)于這種分組情況，Weng等[11]在SO(3)模型上結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制研究了多個(gè)分組的姿態(tài)協(xié)同控制問題，而該研究中需要對(duì)每個(gè)分組設(shè)定領(lǐng)導(dǎo)者。文獻(xiàn)[12]采用修正羅德里格斯參數(shù)(modified rodrigues parameters，MRP)描述剛體姿態(tài)，并直接利用姿態(tài)和角速度信息設(shè)計(jì)了控制輸入，該研究中引入了分組一致的概念。分組一致是指，系統(tǒng)中所有個(gè)體的狀態(tài)量能夠同時(shí)收斂到多個(gè)固定值或時(shí)變值。這意味著系統(tǒng)可以劃分為多個(gè)分組，每個(gè)分組內(nèi)部都能達(dá)到一致。關(guān)于分組一致的研究主要集中在基于質(zhì)點(diǎn)模型的多智能體系統(tǒng)[13-16]。在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步將分組姿態(tài)協(xié)同控制問題擴(kuò)展到了有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用了一種變量代換和矩陣分解相結(jié)合的方法，解決了切換拓?fù)錀l件下的分組姿態(tài)協(xié)同控制問題。總體上，目前針對(duì)多航天器系統(tǒng)的分組姿態(tài)協(xié)同控制研究仍然較少。

將多航天器系統(tǒng)劃分為多個(gè)分組進(jìn)行控制，可以直接將系統(tǒng)分割為多個(gè)孤立的子系統(tǒng)，并分別設(shè)計(jì)控制輸入，但這將破壞系統(tǒng)的整體性，同時(shí)增加了控制量，控制難度也隨之增加。而通過引入分組一致性理論中的入度平衡[18]條件，不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分割，在保持系統(tǒng)整體性的同時(shí)，僅需要設(shè)計(jì)一種控制輸入，就能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)狀態(tài)量的分組一致，即多航天器的分組姿態(tài)協(xié)同，因此這一控制方法更具優(yōu)勢(shì)。

本文基于分組一致相關(guān)理論，通過構(gòu)造輔助變量，設(shè)計(jì)了分布式的控制輸入，對(duì)無向拓?fù)渖系亩嗪教炱飨到y(tǒng)分組姿態(tài)協(xié)同控制問題進(jìn)行了研究。本文其余內(nèi)容安排如下：第1節(jié)中構(gòu)建了基于無向圖的多航天器系統(tǒng)；第2節(jié)構(gòu)造了輔助變量，并設(shè)計(jì)了分布式的控制輸入，對(duì)多航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；第3節(jié)中對(duì)包含4個(gè)分組的多航天器系統(tǒng)進(jìn)行了仿真；第4節(jié)給出了本文的結(jié)論。

2 多航天器系統(tǒng)構(gòu)建

2.1 航天器姿態(tài)動(dòng)力模型

考慮一個(gè)由N個(gè)具有相同運(yùn)動(dòng)特性的航天器組成的多航天器系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)可劃分為s個(gè)分組。每個(gè)分組中航天器的數(shù)量為ni，并且每個(gè)航天器僅能夠被劃分到唯一的分組中。若航天器i屬于分組gj，那么存在映射Γ(i)=gj。采用MRP描述航天器的姿態(tài)，第i個(gè)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程可以記為：

(1)

式(1)中：σi(t)∈R3、ωi(t)∈R3和ui(t)∈R3分別表示MRP參數(shù)下航天器的姿態(tài)、角速度和控制輸入；正定對(duì)稱矩陣J∈R3×3表示航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Gi(t)定義為：

(2)

其中

(3)

2.2 多航天器系統(tǒng)通信拓?fù)?/h3>

由于本文中多航天器系統(tǒng)是分組的，因此基于現(xiàn)有關(guān)于分組一致的研究，本文采用如下假設(shè)。

假設(shè)1：系統(tǒng)通信結(jié)構(gòu)為無向拓?fù)?，?個(gè)分組之間存在邊，則這些邊滿足入度平衡[18]。對(duì)于分組si和sj，存在節(jié)點(diǎn)vk1,vk2∈si和節(jié)點(diǎn)vk3,vk4∈sj，使得鄰接矩陣中ak1k3=ak2k4=1，并且ak1k4=ak2k3=-1。

假設(shè)2：L的非零特征值均為正實(shí)數(shù)。

定義1：稱多航天器系統(tǒng)達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同，當(dāng)且僅當(dāng)同一分組中的航天器i和航天器j滿足：

(4)

那么本文的研究目的可以描述為：設(shè)計(jì)一種控制輸入，使無向拓?fù)渖系亩嗪教炱飨到y(tǒng)達(dá)到如式(4)描述的分組姿態(tài)協(xié)同。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 分布式姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

為了便于表示，后續(xù)分析中將省略時(shí)間符號(hào)t。

首先，對(duì)航天器構(gòu)造輔助變量，即：

(5)

式(5)中，參數(shù)μ>0。于是可知：

(6)

即多航天器系統(tǒng)的分組姿態(tài)協(xié)同問題轉(zhuǎn)化為了輔助變量si的分組一致問題。根據(jù)式(5)，得到：

(7)

從而可以設(shè)計(jì)控制輸入為：

(8)

由于每個(gè)航天器的控制輸入中僅利用了鄰居的姿態(tài)和角速度信息，因此控制輸入是分布式的。根據(jù)假設(shè)1可知：

(9)

因此對(duì)于航天器i，有如下等式成立，即：

(10)

將式(10)代入式(8)，可以得到：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到：

(12)

結(jié)合式(7)和式(12)，可知：

(13)

從而根據(jù)式(13)得到多航天器系統(tǒng)的閉環(huán)方程為：

(14)

記分組gk中所有輔助變量的均值為：

(15)

并對(duì)該均值求導(dǎo)可知：

(16)

由于Laplacian矩陣是對(duì)稱矩陣，因此有：

(17)

這意味著每個(gè)分組內(nèi)輔助變量的均值是時(shí)不變的常值。因此，若每個(gè)分組初始時(shí)刻輔助變量的均值互不相同，且系統(tǒng)能夠達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同，那么最終各個(gè)分組的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度仍將保持互不相同。

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1若通信拓?fù)錇闊o向拓?fù)涞亩嗪教炱飨到y(tǒng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，那么給定如式(8)的控制輸入，多航天器系統(tǒng)能夠達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。

證明選定Lyapunov函數(shù)為：

V=sTs/2

(18)

顯然有V≥0成立。

對(duì)Lyapunov函數(shù)V沿式(14)求導(dǎo)，得到：

(19)

Ω={s|sTL?I3s=0}

(20)

即系統(tǒng)(14)是漸近穩(wěn)定的。而sTL?I3s=0意味著s=0或者L?I3s=0。當(dāng)s=0時(shí)，有：

s1=s2=…=sN=0

(21)

而根據(jù)si=0可知：

由于L1N=0成立，因此當(dāng)L?I3s=0時(shí)，有：

Ls1=Ls2=Ls3=0

(22)

式(22)中，s1、s2和s3分別為向量s在第1、第2和第3個(gè)方向上的分量。即：

(23)

因此可知若Γ(i)=Γ(j)，那么將有

si=sj

(24)

綜上所述，在本文設(shè)計(jì)的控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)能夠達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。證畢。

4 仿真結(jié)果與驗(yàn)證

多航天器系統(tǒng)的無向通信拓?fù)淙鐖D1所示。

以一個(gè)包含19個(gè)航天器與4個(gè)分組的系統(tǒng)為例，基于MATLAB平臺(tái)進(jìn)行仿真。其中航天器1～4組成分組g1，航天器5-8組成分組g2，航天器9～14組成分組g3，航天器15～19組成分組g4。根據(jù)圖1可以確定，在鄰接矩陣A中，元素a15=a26=-1，a16=a25=1，a710=a89=-1，a79=a810=1，a1215=a1314=-1，a1214=a1315=1。因此，多航天器系統(tǒng)的無向通信拓?fù)錆M足入度平衡。

圖1 多航天器系統(tǒng)的無向通信拓?fù)涫疽鈭D

設(shè)定航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J=I3，仿真時(shí)長(zhǎng)共100 s，并設(shè)定參數(shù)μ=1。航天器的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)和角速度時(shí)間響應(yīng)分別如圖2和圖3所示。縱坐標(biāo)的上角標(biāo)1、2和3表示第1、第2和第3個(gè)方向上的分量，下角標(biāo)i表示航天器的編號(hào)。

根據(jù)圖2結(jié)果可知，分組g1和分組g2中，航天器的姿態(tài)分別達(dá)到了協(xié)同，并且2個(gè)分組的協(xié)同姿態(tài)并不相同。在3個(gè)分量上，2個(gè)分組的協(xié)同姿態(tài)各自穩(wěn)定在一個(gè)常值。

圖2 航天器的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線在3個(gè)方向上的分量

根據(jù)圖3結(jié)果可知，分組g1和分組g2中，航天器的角速度都收斂到零，這意味著最終多航天器系統(tǒng)是靜態(tài)的。

圖3 航天器的角速度時(shí)間響應(yīng)曲線在3個(gè)方向上的分量

圖2和圖3的結(jié)果表明，在本文給定的控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)達(dá)到了靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

與本文基于滑模變量提出的控制輸入不同，文獻(xiàn)[12]直接利用姿態(tài)和角速度信息設(shè)計(jì)了控制輸入。采用同樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和初始條件，對(duì)文獻(xiàn)[12]提出的控制輸入進(jìn)行仿真復(fù)現(xiàn)，與本文提出的控制輸入進(jìn)行比較。

圖4表明，在文獻(xiàn)[12]控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)中2個(gè)分組的姿態(tài)也能夠分別達(dá)到協(xié)同，并且協(xié)同姿態(tài)是時(shí)變的。

圖4 航天器的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線在3個(gè)方向上的分量(文獻(xiàn)[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

圖5表明，2個(gè)分組的角速度也分別達(dá)到了協(xié)同，并且協(xié)同角速度均不為零，即多航天器系統(tǒng)最終達(dá)到了動(dòng)態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖5 航天器的角速度時(shí)間響應(yīng)曲線在3個(gè)方向上的分量(文獻(xiàn)[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

對(duì)于以衛(wèi)星編隊(duì)為代表的多航天器系統(tǒng)來說，由于大多數(shù)時(shí)候需要衛(wèi)星保持在期望的姿態(tài)以朝向地面，因此靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同相比動(dòng)態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同更具有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用意義。

通過對(duì)比圖2、圖3和圖4、圖5可知，在控制效果上，本文及文獻(xiàn)[12]的控制輸入都能夠使多航天器系統(tǒng)達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。從最終的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度來看，文獻(xiàn)[12]中的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達(dá)到動(dòng)態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，而本文的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達(dá)到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，更貼近工程應(yīng)用需求；從達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同的速度來看，本文提出的控制輸入能夠使系統(tǒng)更快達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同，控制效率上更具優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

1) 通過設(shè)計(jì)輔助變量，能夠?qū)⒎纸M姿態(tài)協(xié)同控制問題轉(zhuǎn)化為分組一致問題；

2) 本文提出的控制輸入是分布式的；

3) 本文提出的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達(dá)到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，并且在控制效率上更具優(yōu)勢(shì)。