曹海霞

[摘? 要] 文章以“有理數(shù)與無理數(shù)”為載體，以“三個理解”為主線設(shè)計教學過程，并結(jié)合筆者自身的教學經(jīng)驗，強調(diào)在教學中踐行“三個理解”應做到以下三點：認真貫徹理解數(shù)學，確立合適的教學目標;努力做到理解學生，設(shè)計合理的探究途徑;真正執(zhí)行理解教學，設(shè)計真實、合情的情境，實現(xiàn)師生深層次對話.

[關(guān)鍵詞] 三個理解;理解數(shù)學;理解學生;理解教學;課堂教學;無理數(shù)

章建躍教授所指的“三個理解”，包含理解數(shù)學、理解學生、理解教學，是提高課堂教學有效性的根本保證，是將數(shù)學冰冷的美麗演繹成火熱的美麗的前提條件，也是課改大潮中數(shù)學教師“以不變應萬變”的真正法寶. 因而，從“三個理解”的角度設(shè)計課堂教學是十分必要的. 在此思想的指導下，筆者近期設(shè)計并講授了“有理數(shù)與無理數(shù)”一課，感觸良多，現(xiàn)就無理數(shù)的概念探究部分與大家一起探討.

課堂實錄

1. 提出問題

問題1：如圖1，如何將這兩個面積都是1的小正方形拼成一個面積較大的正方形？

教室里氣氛異?；钴S，學生在動手操作后，有了以下成果展示.

生1：可拼成圖2.

生2：還可拼成圖3.

生3：還可拼成圖4.

師：那你們拼出的圖形是正方形嗎？

生4：根據(jù)正方形定義的描述，再結(jié)合全等三角形的知識，可以得出圖2、圖3、圖4都是正方形.

設(shè)計說明：此處將概念的背景展現(xiàn)出來，自然產(chǎn)生新概念，有力推進探究活動，同時，通過操作探究，培養(yǎng)了學生的動手操作能力和發(fā)散性思維，以及學生的探究意識，提升了數(shù)學核心素養(yǎng)，這也是教學的一大亮點.

2. 深入探究

問題2：那拼出來的大正方形的邊長又是多少？為什么？

生5：由于大正方形的面積是2，設(shè)邊長為a，則a2=2.

問題3：a到底有多大？

生6：比1大，比2小.

師：如何得出的？

生7：當a=1時，S=1;當a=2時，S=4. 而S=2，所以a在1和2之間.

師：非常精彩的思路，那是否可以做出更加精確的估計呢？（學生展開討論，但依然無果）

師：那我們一起來算一算，當a=1.4和a=1.5時S的值，可以得出什么結(jié)論？

生8：因為1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4

師：那是否可以精確到小數(shù)點后的兩位、三位、四位呢？（學生利用計算器展開探索，并得出如表1所示的探究過程）

問題4：還可以繼續(xù)探究嗎？

生：可以.

師：a是有限小數(shù)嗎？（學生繼續(xù)思考）

生9：經(jīng)過觀察，我認為a好像是有限小數(shù). （其他學生表示不一定）

師：那a到底是什么樣的小數(shù)？剛才我們已經(jīng)知道了有理數(shù)的概念，知道了有理數(shù)都能表示成（m、n為整數(shù)，且n≠0）的形式，下面的數(shù)都是有理數(shù)，我們不妨把下面這些數(shù)表示成小數(shù)形式：3，，，，. （學生經(jīng)過計算，得出3=3.0，=0.8，=0.55555……，=0.177777……，=0.1818181818……）

師：判斷一下上面這些數(shù)是什么小數(shù)？

生10：3，是有限小數(shù)，，，是無限循環(huán)小數(shù).

問題5：由此你認為有理數(shù)是什么樣的小數(shù)？

生11：有理數(shù)可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示，反之，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

師：那a2=2中a是什么小數(shù)？（學生猶豫了一下，之后有學生很快給出答案“無限不循環(huán)小數(shù)”）

3. 形成概念

師：無限不循環(huán)小數(shù)即為無理數(shù). 除了剛才探究的a，如0.010010001……和圓周率π=3.14159265……同樣也是無限不循環(huán)小數(shù)，它們均為無理數(shù).

生12：為什么是無限不循環(huán)小數(shù)呢？

師：目前我們所學的知識還沒有辦法進行證明，但是老師可以先給大家講個故事. 畢達哥拉斯是古希臘偉大的數(shù)學家，他證明了許多重要的定理. 公元前500年，畢達哥拉斯學派的一位弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，如果正方形的邊長為1，則對角線的長度不是一個有理數(shù)，這與畢達哥拉斯學派“萬物皆為數(shù)”（有理數(shù)）的哲理大相徑庭. 希帕索斯的發(fā)現(xiàn)首次揭示了有理數(shù)系的缺陷，引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機，希帕索斯也因此被沉入大海. 1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機. （觀看視頻：無理數(shù)的由來）

設(shè)計說明 通過本環(huán)節(jié)的探究，以教師的引導為源泉，在師生合作和生生交流的過程中，依據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)的對比，使得學生對無理數(shù)的理解逐步深入，從而真正意義上感知到數(shù)域的擴充，為無理數(shù)概念的形成奠定堅實的基礎(chǔ). 同時，通過視頻讓學生了解數(shù)學發(fā)展史，感受數(shù)學發(fā)展歷程中所經(jīng)歷的波折.

教學感悟

1. 認真貫徹理解數(shù)學，確立合適的教學目標

理解數(shù)學，自然是從理解教材談起，正確理解編者的意圖，掌握教材的編排體系，了解學生認知結(jié)構(gòu)與教材的關(guān)聯(lián)等，從而確立合適的教學目標[1].

本節(jié)課是有理數(shù)與無理數(shù)的概念教學，引導學生了解數(shù)域的擴充，是研究有理數(shù)的運算、二次根式、實數(shù)等知識的基礎(chǔ). 本課的教學難點是“用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”，體驗“無限不循環(huán)小數(shù)”的含義，對于“有多大”這個問題，是學生十分關(guān)注的具有挑戰(zhàn)性的問題，需要教師引起足夠重視. 對于無理數(shù)這一概念，我們不能期望通過一節(jié)課就使學生形成深刻的認識，在后面相關(guān)知識的學習中，學生對無理數(shù)的了解將會越來越深刻. 本節(jié)課我們要立足于重難點進行有效的教學設(shè)計，讓學生學有所得.

2. 努力做到理解學生，設(shè)計合理的探究途徑

理解學生，就需要充分關(guān)注具體學情，了解學生的認知特點、知識基礎(chǔ)和學習方式等. 只有明晰這些問題，才能真正在教學的過程中做到有的放矢，進而發(fā)揮學生在課堂教學中的主體地位. 教師需要理解新知與學生已有知識經(jīng)驗間的聯(lián)系，需要理解新知與學生已有認知結(jié)構(gòu)之間的距離，從而設(shè)計出合理而有效的探究途徑. 授課前，筆者自然對本班的學生做了充分的了解. 為了充分調(diào)動學生的學習積極性，教師多次鼓勵小組合作探究，激活學生的探究意識，以低起點、小跨度、高立意的問題引發(fā)學生的深度思考和探究[2].

很多時候，一些教師追求教學內(nèi)容的完整性，卻忽視了學生的需求，這是不正確的. 面對學生的質(zhì)疑和困惑時，教師更需要有所作為，牢牢把握教學活動中產(chǎn)生的閃光點，適時引導，從而使課堂教學變得更靈動. 本課中，針對“a是什么數(shù)”，教師引導學生通過計算器計算出結(jié)果的方法進行推導還是不夠謹慎，從而使得后面學生產(chǎn)生困惑“為什么a是無限不循環(huán)小數(shù)”. 這里需要利用分式的性質(zhì)，用反證法來證明，但無論是分式還是反證法，學生都還沒有學習過，所以無法從根本上解決這一問題. 筆者經(jīng)過思考，課前預設(shè)到了學生對無理數(shù)a的認知可能會出現(xiàn)困難，因此設(shè)計了教學視頻，將無理數(shù)的故事講給學生聽，讓他們了解數(shù)學的發(fā)展史，初步感知無理數(shù)與有理數(shù)本質(zhì)上的區(qū)別，進而解決認知上的困惑.

因此，我們不僅需要理解教材中所呈現(xiàn)的數(shù)學知識，還需把握學生在習得概念時出現(xiàn)的困惑，并及時引導，讓新知的學習留下思維的烙印，從而實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展[3].

3. 真正執(zhí)行理解教學，設(shè)計真實、合情的情境

理解教學，就是從教學規(guī)律出發(fā)，選擇適當?shù)慕虒W組織方式，及時調(diào)控教學過程，使學生在問題解決的過程中思維變得流暢，獲得較好的活動體驗，培養(yǎng)思維能力. 當然，數(shù)學教學的過程就是數(shù)學探究的過程，而設(shè)計真實、合情的問題情境是探究和學習的前提. 本節(jié)課的教學中，教師以“正方形的問題”導入，學生經(jīng)過操作和思考給出了圖2、圖3、圖4，呈現(xiàn)了數(shù)學探究的過程. 而新的問題又出現(xiàn)了：圖2、圖3、圖4是正方形嗎？教師在這里自然地拋出這個問題，合理展示了無理數(shù)的探究背景，從而使得本課的知識結(jié)構(gòu)得以自然發(fā)展，使得探究活動有力推進，進而引領(lǐng)學生學會有條理地思考.

總之，對于數(shù)學課而言，理解數(shù)學，自然是從理解教材談起，確立合適的教學目標;理解學生，就需要充分關(guān)注具體學情，設(shè)計合理而有效的探究途徑;理解教學，就是從教學規(guī)律出發(fā)，設(shè)計真實、合情的情境，從而指引學生走向知識的數(shù)學本質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 徐淮源. 基于教材理解下的高中數(shù)學概念教學設(shè)計——以“三角函數(shù)的周期性”為例[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2010（02）.

[2] 袁永春. 注重知識形成過程的初中數(shù)學教學案例研究[J]. 中學數(shù)學，2019（02）.

[3] 夏炳文. 強化“三個理解” 打造活力課堂——以一節(jié)試卷講評課為例[J]. 中國數(shù)學教育，2016（10）.