何慧慧

[摘? 要] 文章案例將高階思維培養(yǎng)與“一題一課”教學(xué)模式有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建指向高階思維培養(yǎng)的“一題一課”教學(xué)模式，并結(jié)合教學(xué)設(shè)計，總結(jié)三點教學(xué)實踐策略.

[關(guān)鍵詞] 高階思維;一題一課;巧設(shè)追問;矩形折疊問題

隨著時代的飛速發(fā)展，我國的課程標(biāo)準(zhǔn)不斷修改，當(dāng)下各學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)都重點強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，即高階思維能力. 中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為三個方面、六大素養(yǎng)、十八個基本要點，具體如表1所示.

筆者將十八個基本要點中與高階思維相關(guān)的內(nèi)容著重標(biāo)出，可見，思維品質(zhì)作為核心素養(yǎng)的組成部分，不管從國家層面還是個人層面來說，對學(xué)生的發(fā)展都極為重要，要實現(xiàn)自我價值，就必須具備高階思維能力. 信息時代，對知識的獲取不能光停留在記憶、領(lǐng)會階段，還需要學(xué)會分析、重組知識，敢于批判、質(zhì)疑、創(chuàng)新. 如果說核心素養(yǎng)是一座金字塔，那么高階思維就是這座金字塔的塔尖.

在教學(xué)實踐中如何培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力呢？筆者認(rèn)為，教學(xué)的主陣地是課堂，因此培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的主要場所正是在課堂. 下面筆者以九年級的一堂“一題一課”教學(xué)模式下的復(fù)習(xí)課“矩形折疊問題再探究”為例，談?wù)勗诮虒W(xué)實踐中培養(yǎng)高階思維能力的幾種方法.

教學(xué)實踐

1.設(shè)置并列式問題，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在追問中指向高階思維

圖形的折疊問題是中考的熱點，以矩形為背景的折疊問題更是命題老師們愛出的題目. 這類問題主要考查學(xué)生的動手能力、空間觀念和幾何變換的思想，其內(nèi)容豐富、解法靈活，具有開放性. 折疊問題的本質(zhì)是軸對稱變換，解決這類問題的關(guān)鍵是：（1）抓住折疊前后的兩個圖形全等的性質(zhì)，把握折疊前后不變的要素;（2）在矩形背景下，折疊后通常會出現(xiàn)“一線三等角”的相似模型，利用相似的性質(zhì)即可解決問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)1：教師先用幾何畫板動態(tài)演示五種常見的矩形折疊問題：任意位置折疊、沿對角線折疊、折疊后直角頂點落在矩形的邊上、折疊后使對角線的兩個端點重合、過矩形某個頂點折疊，然后以第五個折疊模型為例，給出“探究1”：如圖1，點E是矩形紙片ABCD的邊BC上的點（不與B，C重合），將矩形的∠B沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)部的F處.

問題1：折疊前后的兩個三角形全等嗎？

眾生答：全等.

師：你可以得到哪些結(jié)論？

生1：AB=AF，BE=EF，∠1=∠2，∠B=∠F=90°，∠BAE=∠FAE.

師：你知道折疊的本質(zhì)嗎？是我們學(xué)過的哪一種變換？

生2：軸對稱變換.

問題2：若EG平分∠CEF，則∠AEG的度數(shù)為_______.

生3：因為∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以∠2+∠3=90°，即∠AEG=90°.

問題3：∠AEG的度數(shù)會隨著點E的位置變化而改變嗎？

眾生答：不會，永遠(yuǎn)為90°.

問題4：圖中有除全等以外的相似三角形嗎？

生4：△ABE∽△ECG，△AFE∽△ECG.

師：相似三角形有什么性質(zhì)？

生5：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

師：圖中有沒有我們熟悉的相似模型？

眾生答：一線三等角.

教師板書：折疊中的相似.

評析 “探究1”從“過矩形的一個頂點折疊”情境出發(fā)，設(shè)置并列式的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中重構(gòu)知識——全等的性質(zhì)、復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)，從而引出“一線三等角”的相似模型，這樣的設(shè)計體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的“建模思想”. 復(fù)習(xí)完一線三等角的性質(zhì)之后，就可以順利進(jìn)入下一環(huán)節(jié).

2.設(shè)置遞進(jìn)式問題，梳理知識方法，在追問中激活高階思維

在實際的幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)中，經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)掌握基本數(shù)學(xué)模型的解題方法，但題目稍加變化，就無法融會貫通. 主要原因是學(xué)生沒有掌握其中的本質(zhì)，不會分析、創(chuàng)新，缺乏高階思維能力，或者是教師在提煉模型的過程中只注重結(jié)果而忽視了模型的探究過程，導(dǎo)致學(xué)生“只知其然而不知其所以然”. 因此，教師在教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、高階思維能力，使其學(xué)會分析問題，特別是可以借助數(shù)學(xué)模型來解決的那些問題. 只有如此，當(dāng)這些數(shù)學(xué)模型變得更豐滿更靈活，學(xué)生面臨新的問題時，模型才會“不請自來”.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：重構(gòu)相似的數(shù)學(xué)模型之后，接著給出“探究2”：如圖2，在矩形ABCD中，點E是矩形紙片ABCD的邊BC上的點（不與B，C重合），將∠B沿AE折疊后落在矩形內(nèi)部的點F處，連接AF并延長，交CD于點G（不與C，D重合），連接EG.

問題5：若E是BC的中點，求∠AEG的度數(shù).

問題6：在“問題5”的條件下，若AB=3，BC=4，求CG的長.

利用“探究1”得出的結(jié)論，學(xué)生很容易解決這兩個問題.

問題7：我們把三個三角形互相相似稱為“兩兩相似”，若E是BC的中點，△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似嗎？

生6：兩兩相似. 由翻折及中點的性質(zhì)可得BE=EF=EC，∠B=∠AFE=∠C=90°，再用HL可以證明△EGF≌△EGC，于是就有∠5=∠6，又∠EFG=∠C=90°，所以∠3=∠4，由前面問題2的結(jié)論可知∠AEG=90°，所以△AEG∽△ECG，所以△ABE∽△AEG∽△ECG.

問題8：生6回答得非常好！你再思考一下，若△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似，點E一定是BC的中點嗎？

生6：一定. 由翻折的性質(zhì)可得∠1=∠2，BE=EF. 由△AEG∽△ECG及“點G不與D，C重合”可知只可能∠5=∠6（若∠5=∠4，則AG∥BC，點G與D，C重合，與題意不符），再加上∠EFG=∠C=90°，根據(jù)“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”可得EF=EC，所以BE=EF=EC.

師：同學(xué)們有發(fā)現(xiàn)什么有趣的結(jié)論嗎？

生7：在“點G不與D，C重合”這個前提下，“△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似”與“點E是BC的中點”可以互推.

師：同學(xué)們非常有探究精神，說明大家的思維又上升了一個高度. 我們利用熟悉的“一線三等角”進(jìn)一步探究之后，得到了一個有趣的結(jié)論，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的模型思想.

教師板書：兩兩相似？圳點E是BC的中點（一線三等角，不與端點重合）;模型思想.

評析 問題5和問題6是“探究1”的延伸，有了“探究1”的基礎(chǔ)，學(xué)生很容易得到答案. 問題7和問題8的設(shè)計是為了讓學(xué)生感受“先猜想再論證”這種常用的數(shù)學(xué)推理方法，同時也是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類折疊模型的一個有趣的結(jié)論：“點E是BC的中點？圳△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似”，但這個結(jié)論的前提是“點G不與C，D重合”.

3.設(shè)置探索式問題，拓展解題技能，在追問中拓寬高階思維

“兩個人交換蘋果，各得一個蘋果;兩個人交換思想，各得兩種思想. ”課堂上需要思維的碰撞與交換. 思維的行為表現(xiàn)就是學(xué)生將信息經(jīng)過分析、重組來加深理解，若此時學(xué)生能展開討論、深入思考、積極參與，必定有意想不到的效果.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：不改變題設(shè)條件，在“探究2”的基礎(chǔ)上，教師給出以下追問.

問題9：若點E是BC的中點，△ADG，△ABE，△AEG，△ECG有可能兩兩相似嗎？

眾生通過小組合作得出結(jié)論：當(dāng)△ADG≌△AEG時，這四個三角形兩兩相似;若這四個三角形兩兩相似，必有△ADG≌△AEG.

問題10：在問題9的條件下，對這四個三角形中的銳角有何要求？請求出此時AB：AD的值.

眾生小組合作之后，派代表回答.

生8：∠BAE=∠FAE=∠DAG=30°，此時AB∶AD=∶2.

師：我們在探究四個三角形兩兩相似時，將問題轉(zhuǎn)化為前面探究過的“三個三角形兩兩相似”來解決，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

教師板書：轉(zhuǎn)化思想.

評析 本環(huán)節(jié)是“探究2”的延伸，問題9從“三個三角形兩兩相似”拓展到“四個三角形兩兩相似”，但在解決問題時，又將“四個三角形兩兩相似”的問題轉(zhuǎn)化為“三個三角形兩兩相似”，從而回歸到“探究2”，這樣的設(shè)計體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化思想”. 問題10引導(dǎo)學(xué)生得出30°和∶2的結(jié)論.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：運用前面探究得出的結(jié)論完成下題.

如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC邊上的一點（不與B，C重合），F(xiàn)是CD邊上一點（不與C，D重合）. 若△AEF和△EFC是相似三角形，則CF的長為________.

評析 本題的難點是分類討論，由題意可知△EFC是直角三角形，要使△AEF與△EFC相似，則需要分類討論：∠AEF為直角或∠AFE為直角. 分好類之后，可以直接利用“探究2”中得出的結(jié)論“點E是BC的中點？圳△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似”進(jìn)行求解.

（1）如圖4，當(dāng)∠AEF=90°時，由前面的探究可知，點E為BC的中點，所以BE=EC=2. 因為∠B=∠AEF=∠C，所以△ABE∽△ECF，可得所以CF=.

（2）如圖5，當(dāng)∠AFE=90°時，由前面的探究可知，點F為CD的中點，所以CF=2.

4. 設(shè)置開放式問題，發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，在追問中提升高階思維

從抽象到具體，從低階到高階，是思維發(fā)展的必然趨勢. 如果說低階思維是一種被動的、機(jī)械性的思維，那么高階思維就是一種主動的、創(chuàng)造性的思維. 課堂中，設(shè)置開放性問題可以提升學(xué)生的高階思維能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)5：老師留給同學(xué)們一道課后思考題：如果去掉“探究2”中“不與C，D重合”的條件，當(dāng)題中的三個三角形兩兩相似時，點E的位置又將如何？矩形的長和寬應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系？請同學(xué)們參考例題：

如圖6，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC邊上至少存在一點P，使△ABP，△APD，△CDP兩兩相似，則a，b間的關(guān)系式一定滿足（? ）

評析 前面提到，沿矩形某個頂點折疊這類模型的結(jié)論“點E是BC的中點？圳△ABE，△AEG，△ECG兩兩相似”是有局限性的，這個結(jié)論的前提是“點G不與C，D重合”，那么當(dāng)點G與C，D重合時會發(fā)生什么呢？課后思考題就留給學(xué)生這樣的思考空間，通過一道題目的練習(xí)，學(xué)生自然而然就能明白其中的“奧秘”.

教學(xué)反思

思維本身是一個復(fù)雜的過程，不同的研究者從不同的角度審視思維本質(zhì)，其中著名哲學(xué)家、教育家杜威對思維過程的解釋堪稱經(jīng)典：“思維是連貫有序的，思維的過程是一種事件的序列鏈，思維的每一個階段就是思維的一個‘項，每一項都留下供后一項利用的存儲. ”他將哲學(xué)與教育學(xué)緊密聯(lián)系在一起，認(rèn)為思維不是自然發(fā)生的，是由一系列“問題或困惑”引發(fā)的，要解決這些問題或困惑，需要經(jīng)過“反思——問題生成——探究、批判——解決問題”的過程. 這個思維過程，實為高階思維過程.

1. 用思維驅(qū)動課堂

數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展就是由問題引起的，數(shù)學(xué)就是在不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中前進(jìn)的. 本堂課從一個簡單的幾何圖形出發(fā)，圍繞這個圖形設(shè)置一系列問題引發(fā)學(xué)生思考. “環(huán)節(jié)1”中設(shè)置了并列式的問題，幫助學(xué)生重構(gòu)“一線三等角”的數(shù)學(xué)幾何模型，利用“兩個三角形相似”來解決數(shù)學(xué)問題;“環(huán)節(jié)2”中設(shè)置了遞進(jìn)式問題，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)此類折疊模型中一個有趣的結(jié)論，并在“環(huán)節(jié)4”中利用這個結(jié)論解題;“環(huán)節(jié)3”設(shè)置了探索式問題，將“三個三角形兩兩相似”拓展到“四個三角形兩兩相似”，在探索過程中，又將“四個三角形兩兩相似”的問題回歸到“三個三角形兩兩相似”“兩個三角形相似”，兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，還是回歸到了最初的相似，不知不覺，課堂的教學(xué)任務(wù)完成，學(xué)生的高階思維能力也得到了提升.

2. 用思維延伸課堂

思維是一堂課的核心，是動力所在. 本堂課的思維量較大，單單利用一堂課的時間將知識點“吃透”不太可能，因此課堂需要雙向延伸. 課前，需要給學(xué)生足夠的時間思考，課后利用“環(huán)節(jié)5”拓展學(xué)生思維，并讓學(xué)生明白，本堂課涉及的幾何模型是有前提的，那就是“點G不與C，D重合”. 那么，在“點G與C，D重合”的前提下，又該如何思考？在對該問題的分析與解決過程中不僅讓學(xué)生提煉出了數(shù)學(xué)思想方法，還幫助學(xué)生實現(xiàn)了知識的重構(gòu)、方法的遷移.

3. 用思維串聯(lián)知識

作為一線數(shù)學(xué)教師，要更關(guān)注核心知識的發(fā)生發(fā)展過程，注重數(shù)學(xué)的通性、通法. 本堂課以矩形折疊為背景，若想進(jìn)一步拓展學(xué)生高階思維，串聯(lián)所學(xué)知識，還可以將矩形背景改為以正三角形為背景的折疊問題：如圖7，以DE為軸，折疊等邊△ABC，頂點A恰好落在BC邊上的F處. 如果△DBF，△FCE，△DEF這三個三角形兩兩相似，點F的位置如何？反過來呢？

實踐表明，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力有利于他們的成長與發(fā)展，這也是時代發(fā)展的需要. “數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)”，我們的課堂教學(xué)不能只停留在知識和方法的機(jī)械傳授上，更應(yīng)該多關(guān)注課堂的思維含量、思維品質(zhì)和課堂效益等問題，讓學(xué)生的思維向高階發(fā)展.