張冰 蔡春夢(mèng) 雷沛瑤

【摘 要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在雙新（即新課標(biāo)、新教材）課程下，滬教版新教材對(duì)函數(shù)板塊內(nèi)容的編排順序進(jìn)行了調(diào)整，對(duì)授課教師而言，需在觀念以及相關(guān)問(wèn)題的處理上都要做出相應(yīng)的改變。文章從HPM視角設(shè)計(jì)“指數(shù)函數(shù)的定義與圖像”的教學(xué)，旨在立足雙新課程，通過(guò)重構(gòu)式教學(xué)，結(jié)合數(shù)學(xué)史，幫助學(xué)生更好地理解指數(shù)函數(shù)的概念，并達(dá)成多元教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】HPM;指數(shù)函數(shù);重構(gòu)式教學(xué)

【作者簡(jiǎn)介】張冰，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究;蔡春夢(mèng)，華東師范大學(xué)在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;雷沛瑤，華東師范大學(xué)在讀博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵?shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的研究（A8） 指數(shù)函數(shù)作為重要的基本初等函數(shù)之一，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有獨(dú)特的價(jià)值，其意義不言而喻?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)[1]。在雙新（即新課標(biāo)、新教材）課程下，2020年滬教版教材對(duì)函數(shù)板塊內(nèi)容的編排順序進(jìn)行了調(diào)整，先學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)，再以它們作為具體的實(shí)例抽象出一般函數(shù)的概念。這樣的調(diào)整，體現(xiàn)了由具體到抽象、由特殊到一般的原則。對(duì)授課教師而言，則需在觀念以及相關(guān)問(wèn)題的處理上做出相應(yīng)改變。

在2020年滬教版教材中，指數(shù)函數(shù)是第4章第2節(jié)的內(nèi)容，即冪函數(shù)之后，對(duì)數(shù)函數(shù)之前。它從具體的折紙問(wèn)題入手，引出指數(shù)函數(shù)的概念，指出其“底數(shù)固定，冪隨著指數(shù)的變化而變化”的特征。通過(guò)類(lèi)比冪函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的定義隨之得出。同時(shí)，指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究也借鑒了冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)利用類(lèi)比學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義對(duì)學(xué)生而言并不是很困難，但是指數(shù)函數(shù)定義的完善和精致化過(guò)程，卻是本節(jié)課的難點(diǎn)。筆者希望通過(guò)重構(gòu)式教學(xué)，再現(xiàn)歷史的發(fā)生和發(fā)展，幫助學(xué)生更好地理解指數(shù)函數(shù)的概念。

基于以上分析，筆者從HPM視角設(shè)計(jì)“指數(shù)函數(shù)的定義與圖像”的教學(xué)，擬訂如下學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（1）理解指數(shù)函數(shù)概念及特點(diǎn)，能夠作出簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)圖像，觀察、了解指數(shù)函數(shù)圖像的基本特征。

（2）經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展、完善和應(yīng)用過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

（3）體會(huì)數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，感悟數(shù)學(xué)的德育價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

一、指數(shù)函數(shù)概念的歷史

歷史上，指數(shù)函數(shù)概念大致經(jīng)歷了四個(gè)發(fā)展階段。

第一階段：正整數(shù)指數(shù)階段。自變量（冪指數(shù)）只在正整數(shù)范圍內(nèi)取值。早在公元前2700年左右，兩河流域泥版書(shū)上就已記錄了等比數(shù)列問(wèn)題[2]。萊因德紙草書(shū)（公元前1650年左右）記載了一個(gè)首項(xiàng)和公比均為7的等比數(shù)列問(wèn)題[3]。中國(guó)古代和古印度數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都記載有許多等比數(shù)列問(wèn)題，如《孫子算經(jīng)》中的“出門(mén)望九堤”問(wèn)題、摩訶毗羅《計(jì)算方法剛要》中的“移城倍金”問(wèn)題等。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci）在《計(jì)算之書(shū)》中也提出了多個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題，其中最著名的是棋盤(pán)問(wèn)題。

第二階段：實(shí)數(shù)指數(shù)階段。在解決與冪相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)冪指數(shù)不是整數(shù)的情況。對(duì)于這種情況，古人采用線性插值的方式加以解決。例如，古巴比倫泥版書(shū)上記載了以下問(wèn)題：“年息20 ，一定數(shù)目的錢(qián)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間變成原來(lái)的兩倍？”[4]該問(wèn)題需要利用方程1.2x=2加以解決。泥版書(shū)上的做法是在x=3和x=4之間進(jìn)行線性插值。中國(guó)漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“盈不足”章中介紹的“蒲莞同長(zhǎng)”“兩鼠對(duì)穿”問(wèn)題[5]，也是采用類(lèi)似的方法來(lái)解決的。

指數(shù)的擴(kuò)充促進(jìn)了指數(shù)函數(shù)概念的誕生。14世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷姆（N.Oresme）在《比例算法》中表示了方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系。16世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Stifel）在《整數(shù)算術(shù)》中，將冪指數(shù)從非負(fù)整數(shù)推廣到負(fù)整數(shù)[6]。17世紀(jì)常用對(duì)數(shù)表的誕生，促進(jìn)了人們對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的認(rèn)識(shí)。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes）創(chuàng)用正整數(shù)指數(shù)符號(hào)[7]，隨后，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis）、牛頓（I.Newton）等又將負(fù)指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)加到笛卡兒的記數(shù)法中。19世紀(jì)，歐拉在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中通過(guò)類(lèi)比得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的關(guān)系[8]。

第三階段：指數(shù)規(guī)律的幾何研究。1644年，意大利數(shù)學(xué)家托里拆利（E.Torricelli）發(fā)現(xiàn)了用現(xiàn)代符號(hào)表示為y=ae-ce（x≥0）的曲線。他經(jīng)過(guò)證明后得到，該曲線上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)與該點(diǎn)處的斜率之比是一個(gè)常數(shù)[9]。之后，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（C.Huygens）于1661年繪制了新的指數(shù)曲線，并重新證明了它的幾何性質(zhì)。然而，對(duì)于指數(shù)曲線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)還無(wú)法根據(jù)給定橫坐標(biāo)計(jì)算縱坐標(biāo)，或根據(jù)給定縱坐標(biāo)計(jì)算橫坐標(biāo)。在牛頓將二項(xiàng)式定理推廣到有理數(shù)指數(shù)，從而獲得一系列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式之后，這一問(wèn)題得到了解決。之后，牛頓和萊布尼茨（G.W.Leibniz）創(chuàng)立微積分，指數(shù)函數(shù)的概念得到進(jìn)一步發(fā)展。

第四階段：指數(shù)函數(shù)的形成階段。1748年，歐拉（L.Euler）在《無(wú)窮分析引論》中對(duì)將“指數(shù)為變數(shù)的冪”稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)，他指出，這種函數(shù)是超越函數(shù)而非代數(shù)函數(shù)。歐拉還對(duì)底數(shù)做了分類(lèi)討論[10]，見(jiàn)表1。

在今天看來(lái)，歐拉的討論中還存在著一些錯(cuò)誤，如認(rèn)為00=1，當(dāng)0

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，情境引入

問(wèn)題1 在羅浮宮一張大約是公元前2000年的楔形文字泥版上，記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“年息20 ，一定數(shù)目的錢(qián)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間變成原來(lái)的兩倍？”[4]

師：設(shè)初始的錢(qián)數(shù)目為“1”，那么經(jīng)過(guò)n年后，錢(qián)數(shù)y是多少？

生：y=（1+20 ）n=65n。

師：若將由該函數(shù)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)記在坐標(biāo)系中，我們會(huì)得到怎樣的圖形？

生：（0，1），1，65，2，652，3，653，…，n，65n這些離散的點(diǎn)。

師：對(duì)。根據(jù)上面的分析，泥版上的問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：實(shí)際上就是求解方程y=65n=2。

師：這是一個(gè)指數(shù)方程。簡(jiǎn)單估算之后，我們很容易發(fā)現(xiàn)1.728=653<65n=2<654=2.074，這說(shuō)明需要的時(shí)間n在什么范圍？

生：n（3，4）。

師：顯然，它不是一個(gè)自然數(shù)。用我們學(xué)過(guò)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，通過(guò)計(jì)算器還可以計(jì)算出更加精確的值，大家算出的值是多少？

生：log652≈3.8。

師：公元前2000年的古巴比倫人并不知道對(duì)數(shù)。他們?cè)诘玫竭@些離散的點(diǎn)之后，利用數(shù)量表65n，在n=3和n=4之間線性插值，得到答案為3年又949個(gè)月。由此可知，在等量關(guān)系y=65n中，n的取值不僅可以是自然數(shù)，還可以是非自然數(shù)。

師：在第3章“冪、指數(shù)與對(duì)數(shù)”中，我們了解到，根據(jù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行代數(shù)推理，冪指數(shù)可以從初中的正整數(shù)一步步拓展到零、負(fù)整數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，進(jìn)而拓展到全體實(shí)數(shù)。而從泥版問(wèn)題的解答過(guò)程中，我們又可以發(fā)現(xiàn)：冪指數(shù)的拓展不僅是代數(shù)推理的結(jié)果，還是實(shí)際問(wèn)題的需要。結(jié)合本題中變量的實(shí)際含義（時(shí)間），不難得出上面等式中n的確切范圍是什么？

生：n[0，+∞）。

問(wèn)題2 在考古界，通過(guò)碳14來(lái)測(cè)定一件生物樣本的年代已經(jīng)是一種成熟的技術(shù)手段。碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱(chēng)為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”。當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱(chēng)為衰減率）。若年衰減率為p，你能刻畫(huà)出死亡生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系嗎？

生：把剛剛死亡的生物體內(nèi)碳14的含量看成“1”，則死亡n年后，生物體內(nèi)的碳14含量為y=（1-p）n。

師：科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，大約每經(jīng)過(guò)5730年，死亡的生物體內(nèi)碳14含量會(huì)衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”，根據(jù)半衰期的時(shí)間，能確定出p嗎？

生：由y=（1-p）5730=12，可求得1-p=1215730，從而p=1-1215730。在這個(gè)問(wèn)題中，生物死亡時(shí)間x與碳14含量y之間的關(guān)系是y=1215730x。

師：這個(gè)等式中x的范圍是什么？

生：根據(jù)x的實(shí)際含義，可知x[0，+∞）。

（二）概念生成，辨析探究

師：通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題的分析，我們得到兩個(gè)等量關(guān)系：y=65x，y=1215730x。它們是函數(shù)嗎？

生：是函數(shù)。等式中的變量y隨著變量x的變化而變化。

師：我們以前見(jiàn)過(guò)它們嗎？

生：（齊答）沒(méi)有。

師：它們與冪函數(shù)的區(qū)別在哪里？

生：冪函數(shù)表示的是自變量的冪的形式，這里的等式雖然也是冪的形式，但是自變量在指數(shù)位置。

師：底數(shù)是確定的還是變化的？

生：（齊答）底數(shù)不變。

師：根據(jù)它們的特征，我們能否給它們一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿Q(chēng)？

生：（大部分）指數(shù)函數(shù)。

師：按照上面的分析，類(lèi)比冪函數(shù)的定義，我們不妨也給出指數(shù)函數(shù)的一般定義。

生：當(dāng)?shù)讛?shù)a固定，等式y(tǒng)=ax確定了變量y隨變量x變化的規(guī)律，稱(chēng)為底數(shù)為a的指數(shù)函數(shù)。

師：很好。其中底數(shù)a的取值范圍是什么？

生1：一切實(shí)數(shù)。

生2：應(yīng)該是a>0。

師：為什么a≤0不可以？

生3：a=0時(shí)，00沒(méi)有意義。

生4：不僅如此，a=0時(shí)，對(duì)所有x<0都沒(méi)有意義。

生5：a<0時(shí)的情況似乎也是這樣，當(dāng)變量x變化時(shí)，變量y的值有時(shí)為正數(shù)，有時(shí)為負(fù)數(shù)，甚至有的時(shí)候式子本身是沒(méi)有意義的，情況十分復(fù)雜，此時(shí)作為一個(gè)函數(shù)來(lái)研究是不合適的。

師：有道理。通過(guò)剛才的分析，我們可以確定底數(shù)a>0。

例1 若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，27），求該指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式。

生：設(shè)指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為y=ax，將點(diǎn)（3，27）代入，解得y=3x。

（三）圖像研究，完善定義

師：知道指數(shù)函數(shù)的一般定義后，接下來(lái)我們?cè)撗芯窟@個(gè)函數(shù)的什么呢？

生：函數(shù)的圖像。

師：函數(shù)圖像是直觀理解函數(shù)中變量關(guān)系的重要手段。回顧之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，作出函數(shù)圖像的步驟是什么？

生：列表、描點(diǎn)、連線。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，按照以上步驟，作出引例中兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖像。為方便大家作圖，老師將這兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式稍加處理為：y=2x，y=12x。

教師巡視查看學(xué)生作的圖，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題主要集中在以下兩個(gè)方面。

1.圖像不完整，只有部分圖像。引例中的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)因?yàn)樽宰兞康膶?shí)際含義，定義域均為[0，+∞），但是拋開(kāi)情境，單純從這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式來(lái)看，自變量的取值范圍應(yīng)為R。

2.學(xué)生能理解圖像的連續(xù)性，但在連點(diǎn)成線的過(guò)程中，部分學(xué)生對(duì)是否應(yīng)該畫(huà)成光滑的曲線存有疑惑。

教師通過(guò)幾何畫(huà)板，展示描點(diǎn)、對(duì)點(diǎn)加密、最終連線的作圖過(guò)程，讓學(xué)生直觀感受到指數(shù)函數(shù)的圖像是一條光滑的曲線（如圖1）。同時(shí)，在學(xué)生作圖的基礎(chǔ)上，教師通過(guò)GeoGebra軟件作出更多的指數(shù)函數(shù)圖像（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生歸納出指數(shù)函數(shù)圖像的類(lèi)別與特征。

師：根據(jù)前面同學(xué)們給出的指數(shù)函數(shù)定義，是不是所有指數(shù)函數(shù)的圖像都是這種形狀呢？

生：并不是。當(dāng)a=1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像顯然不符合圖中這些指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)。

師：所以，關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義，對(duì)底數(shù)a的取值，需要進(jìn)一步修正嗎？

生：a>0，且a≠1。

（四）實(shí)驗(yàn)探索，升華認(rèn)知

問(wèn)題3 一張紙，將之對(duì)折，厚度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，請(qǐng)問(wèn)對(duì)折幾次后，與課本的厚度相當(dāng)？（課本約為70頁(yè)）

生：對(duì)折6次即可。

師：假設(shè)一張紙的厚度大約0.1毫米，不斷對(duì)折后會(huì)發(fā)生什么？

（教師播放相關(guān)視頻，呈現(xiàn)以下數(shù)據(jù)：一張紙對(duì)折20次，厚度突破100米;對(duì)折35次，厚度100千米;對(duì)折42次，厚度44萬(wàn)千米。）

師：在折紙實(shí)驗(yàn)中，其實(shí)蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們知道是什么嗎？

生：可以抽象成一個(gè)函數(shù)關(guān)系，即設(shè)對(duì)折次數(shù)為x，紙的層數(shù)為y，則有y=2x。

師：在視頻中，我們看到了這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值有什么特征？

生：函數(shù)值呈現(xiàn)出爆炸式的增長(zhǎng)。

師：沒(méi)錯(cuò)，這正是指數(shù)函數(shù)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值呈現(xiàn)出爆炸式的增長(zhǎng)。當(dāng)?shù)讛?shù)a=1時(shí)，顯然不具備這樣的特征，這也許是我們的數(shù)學(xué)家將a=1剔除出指數(shù)函數(shù)的重要原因吧。

問(wèn)題4 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《無(wú)窮分析引論》一書(shū)中提到了著名的人口增長(zhǎng)問(wèn)題，將原題稍加改編得到：一場(chǎng)洪水使得某地只剩下6個(gè)人，如果洪水幸存者的數(shù)量以每年116的速度增長(zhǎng)，那么200年后，6個(gè)洪水幸存者將有多少個(gè)后代？400年以后呢？

生：200年以后，有6×1+116200≈106個(gè)后代;400年以后，有6×1+116400>2×1011個(gè)后代。

師：僅僅400年，人數(shù)就已經(jīng)超過(guò)了地球所能維持的數(shù)量。當(dāng)然，這也只是歐拉在一種理想狀態(tài)下的估算，實(shí)際情況會(huì)更復(fù)雜多變，但是這個(gè)模型本身是有意義的。

（很多學(xué)生對(duì)此計(jì)算結(jié)果表示懷疑，并在課后展開(kāi)了熱烈的討論。）

（五）歸納提煉，浸潤(rùn)德育

師：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)的圖像。關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義，我們從兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，得到了兩個(gè)特殊的指數(shù)函數(shù)，進(jìn)而歸納出指數(shù)函數(shù)的定義。其中，我們對(duì)底數(shù)a的取值范圍進(jìn)行了探討。對(duì)于指數(shù)函數(shù)的圖像，這節(jié)課重點(diǎn)講了描點(diǎn)作圖的過(guò)程，圖像性質(zhì)我們留在下節(jié)課探討。

最后，借用指數(shù)函數(shù)所蘊(yùn)含的積極的教育意義，教師用幾句贈(zèng)言激勵(lì)學(xué)生樹(shù)立積極向上的價(jià)值觀和持之以恒的學(xué)習(xí)信念。

師：勤學(xué)如春起之苗，不見(jiàn)其增，日有所長(zhǎng);輟學(xué)如磨刀之石，不見(jiàn)其損，日有所虧。我們今天學(xué)的知識(shí)可以很好地詮釋這兩句詩(shī)的含義。若用指數(shù)函數(shù)表達(dá)，1.01365≈37.8（如圖3），說(shuō)明每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，一年以后，結(jié)果會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1;0.99365≈0.03（如圖4），說(shuō)明每天退步一點(diǎn)點(diǎn)，一年以后，結(jié)果會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。若是你再努力一點(diǎn)點(diǎn)，1.02365≈1377.4（如圖5），那么你會(huì)有更多的收獲。

三、學(xué)生反饋

在教學(xué)中，筆者設(shè)置了課前和課后學(xué)習(xí)單，共收集到全班45名學(xué)生的反饋信息。

（一）課前學(xué)習(xí)單分析

在課前學(xué)習(xí)單中，對(duì)于“提到指數(shù)冪，你會(huì)想到什么？”的問(wèn)題，學(xué)生的回答主要集中在以下幾個(gè)方面。

1.指數(shù)冪的定義：82.2 （37名）的學(xué)生都能較為準(zhǔn)確地表達(dá)指數(shù)冪的定義，其中有3名學(xué)生強(qiáng)調(diào)了冪指數(shù)的取值范圍為全體實(shí)數(shù)。

2.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)等。

3.a0=1（a≠0）。

4.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。

對(duì)于“細(xì)胞每10分鐘分裂一次（一次分裂成兩個(gè)），兩小時(shí)后一個(gè)細(xì)胞可分裂成多少個(gè)？”的問(wèn)題，38名學(xué)生都給出了正確答案，說(shuō)明該班絕大多數(shù)學(xué)生能夠通過(guò)抽象、建模解決特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（二）課后學(xué)習(xí)單分析

在課后學(xué)習(xí)單中，35名學(xué)生能夠正確求得給定指數(shù)函數(shù)的定義域，41名學(xué)生能夠區(qū)分指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，所有學(xué)生都能抽象出古文“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，即指數(shù)函數(shù)y=12x，說(shuō)明從總體上看，該班學(xué)生基本能夠理解指數(shù)函數(shù)的定義;而對(duì)于指數(shù)函數(shù)的作圖，只有30名學(xué)生能準(zhǔn)確描繪y=3x，y=4x，y=3-x的圖像，學(xué)生的錯(cuò)誤多為圖像未經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），這說(shuō)明他們對(duì)于指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)還不是很了解，需要在下節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

在問(wèn)及對(duì)本節(jié)課印象深刻的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生的回答主要集中在指數(shù)函數(shù)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的特點(diǎn)、指數(shù)函數(shù)優(yōu)美和新穎的圖像以及數(shù)學(xué)史的融入等方面。其中，多名學(xué)生表示對(duì)“歐拉人口增長(zhǎng)問(wèn)題”印象深刻。

四、結(jié)語(yǔ)

本節(jié)課借鑒指數(shù)函數(shù)的發(fā)生和發(fā)展歷史，采用順應(yīng)式和重構(gòu)式的方式融入數(shù)學(xué)史，以發(fā)生的方法引入數(shù)學(xué)概念，以符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的方式編排教學(xué)內(nèi)容，共分為以下四個(gè)階段（如圖6）：底數(shù)為具體數(shù)值，冪指數(shù)為自然數(shù);底數(shù)為具體數(shù)值，冪指數(shù)為任意實(shí)數(shù);指數(shù)函數(shù)的初步構(gòu)建;指數(shù)函數(shù)定義的完善。

筆者通過(guò)古巴比倫泥版利息問(wèn)題以及碳14的衰減問(wèn)題及其變式，實(shí)現(xiàn)了階段1到階段2的演變。雖然在第3章中冪指數(shù)從代數(shù)推理的層面完成了拓展，但是此處從歷史的角度和實(shí)際問(wèn)題的層面來(lái)分析，更加符合冪指數(shù)拓展的需求和學(xué)生的認(rèn)知水平;階段2到階段3的演變，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，指數(shù)函數(shù)完成了初步構(gòu)建。之后，學(xué)生對(duì)底數(shù)a的取值范圍進(jìn)行探討，逐步完善了指數(shù)函數(shù)的定義。此次教學(xué)，旨在立足雙新課程，結(jié)合數(shù)學(xué)史，達(dá)成了多元教育價(jià)值。

（1）知識(shí)之諧。本節(jié)課基于學(xué)生的認(rèn)知心理，重構(gòu)了指數(shù)函數(shù)概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，符合學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建過(guò)程，揭示了知識(shí)之諧。

（2）能力之助。通過(guò)對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（古巴比倫泥版問(wèn)題、碳14衰減等）的分析，讓學(xué)生以特殊的函數(shù)形式為邏輯起點(diǎn)，抽象、推理出一般的函數(shù)規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。在建模之后，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。之后，對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)，建立了數(shù)與形的聯(lián)系，提高了學(xué)生直觀想象的能力。這五種核心素養(yǎng)的相互滲透，實(shí)現(xiàn)了能力之助。

（3）文化之魅。本節(jié)課運(yùn)用的數(shù)學(xué)史料內(nèi)容豐富，對(duì)利息問(wèn)題、人口增長(zhǎng)問(wèn)題等的探究能很好地聯(lián)系到現(xiàn)實(shí)生活，課堂從新知到應(yīng)用，充滿文化的氣息，體現(xiàn)了文化之魅。

（4）探究之樂(lè)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（對(duì)折紙張）結(jié)合短視頻的直觀性，在幫助學(xué)生更好地理解指數(shù)函數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的特點(diǎn)的同時(shí)，營(yíng)造了探究之樂(lè)。

（5）德育之效。教師借用古詩(shī)以及幾個(gè)特殊的指數(shù)函數(shù)，激勵(lì)學(xué)生樹(shù)立積極向上的價(jià)值觀和持之以恒的學(xué)習(xí)信念，達(dá)成了德育之效。

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（責(zé)任編輯：陸順演）