【摘 要】學科核心素養(yǎng)的提出為課堂教學帶來了新的挑戰(zhàn)。教師在進行數學新授課教學設計時，要立足單元教學，關注相關學習內容在不同課時教學之間的整體設計，關注教學內容的本質、蘊含的思想以及學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。研究者以“同底數冪的除法”教學為例，闡述單元教學視域下的數學新授課的設計理念：形成結構式的知能系、生成啟發(fā)式的問題鏈、設計進階式的活動序。

【關鍵詞】單元教學;知能系;問題鏈;活動序;核心素養(yǎng)

【作者簡介】徐賢凱，高級教師，上海市青浦區(qū)實驗中學東校區(qū)數學教研組組長，青浦區(qū)初中數學學科兼職教研員，上海市雙名工程“攻關計劃”后備人選。 數學素養(yǎng)是當前數學教育研究的一項重要課題，學科核心素養(yǎng)的提出為課堂教學帶來了新的挑戰(zhàn)[1]。數學教學活動是一個預設與生成相結合的過程，而教學設計是預設的主要形式表現[2]。但在實際教學中，很多教師往往只關注單一課時內容的教學設計，而容易忽視不同課時內容之間的關聯(lián)，缺少立足于單元教學視域的教學設計。相關學習內容在不同課時教學之間缺乏整體設計，以單元、主題、模塊為單位的結構化研究與實踐關注的較少，不利于學生形成完整的知識鏈條和結構體系，不利于學生學科核心素養(yǎng)的發(fā)展[3]。單元教學倡導在單元整體內容中把握教學內容，關注教學內容的本質、蘊含的思想以及學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對拓展教師教學視野，提高教學效益具有重要作用。筆者以滬教版數學七年級第一學期“同底數冪的除法”教學為例進行研究。

一、形成結構式的知能系

每個數學知識都不是孤立存在的，它們之間存在著一定的邏輯性和關聯(lián)性。教師在進行教學設計時需對數學教學內容進行結構化的梳理，關注教學內容與學生已學的知識、后續(xù)需要學習的知識之間的聯(lián)系。根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》和初中數學教材的內容分布，梳理學科、單元、單課的三級結構式知識體系，厘清學習內容的知識脈絡，建立具有結構式相關聯(lián)的知識體系。同時，厘清數學知識背后所隱含的數學思想與方法，掌握數學學習的能力要求，在日常的教學過程中有意地加以落實，形成具有結構和相關聯(lián)的知能體系，實現數學學科教學的價值。

（一）關注教材單元的前后關聯(lián)

基于單元教學視域的知識梳理，教師要根據教材中數學知識內容的編排，將幾節(jié)內容組成教材單元，不僅要關注本節(jié)教學內容在該單元下的教學地位，還要關注同一教材單元下的幾節(jié)課之間的前后關聯(lián)，從單元教學的視角分析這一單元的教學重點、難點和關鍵點。

從數學知識內容的編排來看，“同底數冪的除法”“單項式除以單項式”“多項式除以單項式”都屬于“整式的除法”這一單元的內容。本單元的主要問題是如何進行整式的除法。

要解決“多項式除以單項式”的問題，比如計算（9a6-6a4+12a3）÷3a3時，就需要先解決“單項式除以單項式”9a6÷3a3的問題;要解決“單項式除以單項式”的問題，就需要先解決“同底數冪的除法”的問題。本單元的三節(jié)內容其實就是一個逐步轉化深入的過程（如圖1）。整式的除法法則是以冪的運算性質為基礎的，所以學好本單元內容的關鍵是正確掌握冪的除法運算性質。理解冪的除法運算和其指數運算間的聯(lián)系是學習本單元內容的難點。

（二）厘清學習專題單元的前后關聯(lián)

由于數學知識的邏輯性，在編排教學內容時需按照一定的章節(jié)順序開展教學。但在教學中，教師需從中觀的視角跨單元、跨章節(jié)地對本節(jié)知識所關聯(lián)的內容進行研究，抓住這些跨單元、跨章節(jié)的核心問題，以問題解決活動為主線進行教學設計。

滬教版數學七年級“整式”這一章分為“整式的概念”“整式的加減”“整式的乘法”“乘法公式”“因式分解”“整式的除法”六個單元。其中整式的加減、乘法、除法都屬于整式的運算。而“同底數冪的乘法”“同底數冪的除法”“整數指數冪及其運算”這三節(jié)課分別屬于第九章“整式的乘法”“整式的除法”和第十章分式下的“分式的運算”的教學內容，雖然這三節(jié)課不屬于同一個教學單元，但這三節(jié)課完整展現了整數指數冪從正整數的和的運算到正整數的差的運算，最后到整數的逐步擴展的過程。整數指數冪運算法則的符號表述，以及為了讓運算法則在更廣范圍內適用而做的規(guī)定都是與這三節(jié)教學內容有關聯(lián)的，而研究這兩點有助于學生深度理解知識。因此，在設計“同底數冪的除法”這一課時的教學時，就不能孤立的來看，需要關注這三節(jié)課的前后關聯(lián)。教師可以從以下這兩方面設置探究性問題，形成學習小專題，培養(yǎng)學生解決問題的能力。

1.法則的符號表述

這三節(jié)課在運算法則的符號表述上是有一定區(qū)別的，教師在進行“同底數冪的除法”這一課的教學設計時，需要關注三個法則表述的不同。

①同底數冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n都是正整數）。

②同底數冪的除法法則：am÷an=am-n（m、n都是正整數，且m>n，a≠0）。

③整數指數冪及其運算：am·an=am+n（m、n為整數，a≠0）。

從以上式子可以看出，②式的學習可以由①式類比、猜想、論證得到，而③式是對①②式的推廣。值得注意的是，③式并沒有再給出新的同底數冪的除法法則am÷an=am-n（m、n為整數，a≠0），因為am·an=am+n已包含了同底數冪的除法法則，這里m、n為整數。

在這三節(jié)課的教學過程中，由于學生已經學習了同底數冪的乘法法則，有了一定的冪的運算的學習基礎，因此比較容易理解從乘法到除法的運算。而對于字母m、n取值的限制是與之前的同底數冪的乘法有區(qū)別的，這是在后兩節(jié)課的教學中需要關注的地方。厘清三節(jié)課的區(qū)別與聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學生推理論證能力，形成嚴謹的思維。

2.兩種規(guī)定的由來

為了讓運算法則能在更廣的范圍內使用，“同底數冪的除法”“整數指數冪及其運算”都對一些特殊情況做了規(guī)定。在教學“同底數冪的除法”這一課的內容時，教師需關注以下規(guī)定的由來。

①同底數冪的除法：a0=1（a≠0）。

②整數指數冪及其運算：a-p=1ap（a≠0，p是自然數）。

教師引導學生觀察同底數冪的除法法則am÷an=am-n（m、n都是正整數，且m>n，a≠0），并引發(fā)學生思考：m是否可以不大于n，即當m=n時會怎么樣？當m

事實上，這就產生了上述的兩個規(guī)定。

①當m=n時，根據同底數冪的除法法則am÷an=am÷am=am-m=a0，由除法的意義可得am÷am=1。要使這兩種不同的計算方法所得的結果一樣，于是就產生了如下規(guī)定：任何不等于零的數的零次冪為1，即a0=1（a≠0）。為幫助學生理解和應用此規(guī)定，在教學中，教師讓學生體會這樣的過程是很有必要的。同時，對學生學習②式也起到鋪墊作用。

②當m

綜上所述，m、n可以擴展為整數指數冪。

二、生成啟發(fā)式的問題鏈

按知能內容體系生成學生學習問題，根據初中數學各模塊的學習要求，形成數學學科整體的核心問題為第一層級問題，將整體性的問題分解成與學習相關的數學學科單元的主干問題為第二層級問題，在此基礎上深入研究各單元下每節(jié)課的學習的關鍵問題為第三層級問題，這三個層級問題由大到小逐步深入，形成相關聯(lián)問題鏈。

在單元教學視域下，問題鏈的設計需關注以下三個方面：一是要有關聯(lián)性，每一節(jié)課依據學習內容形成相關的關鍵問題，關鍵問題間要有思維和邏輯的關聯(lián)，有利于學生由點到面、由表及里、由淺入深、由表象到本質地理解學習內容;二是要有趣味性，以問題激發(fā)學生學習的好奇心，以問題引導學生思考;三是要有探究性，以問題的深入導向學生思維的深入，提升學生的思維品質，指向深度的學習。

例如在教學“同底數冪的除法”時，當學生能給出同底數冪的除法的符號表示為am÷an=am-n（m、n都是正整數）后，可以設置以下問題鏈，探索m、n的限制條件，引發(fā)學生對m、n大小關系的探索，最后得出零次冪的規(guī)定。

問題1：對于m、n還有其他的限制嗎？

問題2：除了對于m、n的限制，還有其他限制嗎？

問題3：除法法則的條件為m>n，如果m=n時，能得到什么結果？

問題4：am÷am其實是兩個相同的數相除，其結果是什么呢？

問題5：要使這兩種不同的計算方法所得的結果一樣，應如何規(guī)定呢？

以上問題鏈的設計關注同底數冪的除法法則中指數m、n的限制條件，這與之前學習的同底數冪的乘法法則，和后續(xù)要學習的整數指數冪及其運算在知識上有前后關聯(lián)。問題鏈的設計激發(fā)學生的學習興趣，同時該問題的研究指向法則的推廣應用，讓學生在問題3與問題4的探究過程中體會a0=1這一規(guī)定由來的合理性，培養(yǎng)學生的數學推理和理性思維。這樣依據知能體系形成基于單元教學本質學習的問題，能從小到大、由淺入深建立起具有邏輯關系的啟發(fā)式的問題鏈。

三、設計進階式的活動序

教師依據各問題鏈，精心設計探究與解決問題的學習活動。按照數學學科學習的知識內容體系，生成學生學習問題，幫助學生解決學習問題，進而設計與之對應的探究發(fā)現式的學習活動。學生的探究學習活動可以由大到小，逐步細化;由數學學科學習的外圍走向內核，逐級推進;以活動體驗為主要抓手推進學生的學科學習，進階深入。學生在這樣的活動中可以不斷積累經驗，發(fā)展創(chuàng)新意識?；顒臃绞娇梢圆扇€人思考與小組合作相結合的方式，也可以利用學習單或者表格等作為支持工具，促進不同學習層次的學生積極參與活動，提高學習的效益。

在代數教學中，教師應讓學生經歷運算法則、公式的形成過程，使學生領悟法則、公式的意義。同時，教師還應將教材中所隱含的數學思想方法逐漸滲透在教學中，使學生在學習數學知識的同時領悟其中的數學思想方法。以下以“同底數冪的除法”的活動設計為例。

練習：計算下列各式。

（1）（-2）12÷（-2）10

（2）a7÷（-a）5

（3）（-ab）5÷（ab）2

（4）（a-b）8÷（b-a）3

以上教學設計除了讓學生熟練掌握同底數冪的除法法則，還讓學生體會到法則中的字母a不僅可以代表一個數，還可以代表一個整式，體現字母“代”數的一個漸進的過程。在具體的活動中滲透數學思想方法，學生逐步體會到代數的思想，提高了抽象表述和抽象思維的能力。

數學課程目標的集中體現是數學學科核心素養(yǎng)，數學學科核心素養(yǎng)是在數學學習和應用中逐步形成的，它不僅需要學科知識，還需要有不同情境下的實踐經驗與智慧，具有階段性、連續(xù)性和整合性[4]。在教學中，教師需要對本單元知識有整體的認識，關注各章節(jié)之間的相互聯(lián)系。在單元教學視域下，挖掘每一節(jié)教學內容所蘊含的培育數學學科核心能力的素材。數學教學的實質就是數學學習過程的教學，在教學中需突出過程，以課堂典型活動的設計作為關鍵，體現數學學科核心能力的培育。如何在有限的課時內為學生創(chuàng)設必要的活動，提供必要的學習經歷，這直接關系到學生數學學科核心素養(yǎng)的形成。

在“同底數冪的除法”的教學中，涉及用文字語言和符號語言來表達同底數冪的除法法則，讓學生用數學語言和符號語言來展示自己的思維方式，有助于培育學生的數學表達的核心素養(yǎng)。在該教學內容的應用環(huán)節(jié)，學生合理運用法則、公式，依據算理進行運算求解，并能根據問題條件，尋求合理的求解途徑與方法，提高了學生運算的核心素養(yǎng)。

每節(jié)教學設計需要關注知識從何而來、知識是什么、知識從何而去，讓學生在教學活動中經歷這三個完整的階段，感知知識的來龍去脈[5]。正如數學教育家傅種孫先生所說的：“不在知其然，而在知何由以知其所以然?！焙诵乃仞B(yǎng)統(tǒng)領下的數學教育注重數學的整體性、思想的一致性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性，這也是單元教學設計的初衷[6]。

在單元教學視域下，梳理學科的知能結構，挖掘知識背后的思想方法。在學習中尋找問題，設計環(huán)環(huán)相扣的啟發(fā)式問題鏈，問題的深度指向學生思維的深度。學生核心素養(yǎng)的提升不可能一蹴而就，需要教師在每節(jié)課的教學中有意識地滲透，以及學生在親身體驗、不斷感悟和創(chuàng)新中逐漸形成[7]，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學思想，積累數學思維的經驗，形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)[8]。

參考文獻：

[1]上海市教育委員會教學研究室.初中數學單元教學設計指南[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]黃華.類比舊知探新知，實踐“單元教學”：以“一元一次不等式”起始課教學為例[J].中學數學（初中版），2016（18）：8-10.

[3]季蘋.如何落實三維教學目標？（一）：對教學“單元”的再理解[J].基礎教育課程，2005（8）：18-25.

[4]方耀華.加強單元教學設計，踐行漸進核心素養(yǎng)[J].上海中學數學，2020（11）：1-3.

[5]喻平.如何通過知識學習實現數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].中小學課堂教學研究，2020（8）：3-8.

[6]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數學教育變革[J].數學通報，2017（4）：1-4.

[7]王振平，宋洪英.促進學生數學運算素養(yǎng)提升的課堂教學改進研究：以“直線與圓錐曲線的綜合問題”為例[J].中小學課堂教學研究，2018（1）：16-21.

[8]史寧中.試論數學推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J].數學教育學報，2016（4）：1-16.

（責任編輯：陸順演）