甘肅 何少杰

二級(jí)結(jié)論源于教材中的基礎(chǔ)知識(shí),它是利用基本概念、基本定理,經(jīng)過(guò)歸納、推理、證明,總結(jié)出來(lái)的結(jié)論;它是特定條件下一些解題步驟的有序整合.

圓錐曲線(xiàn)是高中階段解析幾何的重要內(nèi)容,坐標(biāo)法建立了方程與曲線(xiàn)之間的聯(lián)系,為“數(shù)形結(jié)合”架起了橋梁.雖然在教學(xué)中我們一直強(qiáng)調(diào)通性通法,但在解答選擇題或者填空題時(shí),如果利用通性通法聯(lián)立方程,就可能會(huì)陷入繁雜的運(yùn)算,如果能夠靈活地利用好二級(jí)結(jié)論,就可以規(guī)避掉大量重復(fù)的計(jì)算,節(jié)省時(shí)間,提高解題效率,巧妙地解決問(wèn)題.在高考中,焦點(diǎn)弦問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)考查中的熱點(diǎn),圓錐曲線(xiàn)中的二級(jí)結(jié)論很多,下面以一道示范性較強(qiáng)的焦點(diǎn)分弦問(wèn)題為例,通過(guò)多種解法對(duì)比,來(lái)說(shuō)明利用圓錐曲線(xiàn)中常用的二級(jí)結(jié)論解決問(wèn)題的高效性,體會(huì)由一題多解到多解歸一的過(guò)程.

一、試題呈現(xiàn)

評(píng)析:代數(shù)方法求解此題時(shí),為避免反復(fù)計(jì)算,使用韋達(dá)定理與向量知識(shí)整合是一種不錯(cuò)的方法,而且也是通性通法,但這樣的解答并無(wú)亮點(diǎn),有些同類(lèi)題目可能運(yùn)算量會(huì)比較大,浪費(fèi)時(shí)間.

解法2:

評(píng)析:本題雖然使用了數(shù)形結(jié)合的方法,但未找到解題的捷徑,顯然比較煩瑣.

評(píng)析:這一解法使用了兩個(gè)公式:焦半徑公式、弦長(zhǎng)公式,解法很有技巧,滲透了函數(shù)與方程思想,與圓錐曲線(xiàn)中常用的設(shè)而不求方法,看似巧妙,但事實(shí)上仍是通性通法的靈活運(yùn)用,雖然回歸了定義,但仍顯煩瑣,除了函數(shù)方程思想外,解析幾何還講究“數(shù)形結(jié)合”,巧妙使用平面幾何知識(shí)往往能加快解題速度.

評(píng)析:借助圓錐曲線(xiàn)的第二定義,同時(shí)使用了數(shù)形結(jié)合的方法,直觀易懂,在解決選擇、填空一類(lèi)題型時(shí)較好.

得cos2α·t2-4sinα·t-4=0,

設(shè)|AF|=|t1|,|BF|=|t2|,可知t1>0,t2<0,t1=-2t2.

評(píng)析:以上解法除解法1外,其余方法技巧性較強(qiáng),不是通性通法,適用范圍受到限制,而解法1為通性通法,以代數(shù)方法為主,運(yùn)算較為煩瑣,解法4是最為巧妙的方法,那么能否借助解法4找到一種普遍使用的公式解決圓錐曲線(xiàn)中焦點(diǎn)分弦一類(lèi)問(wèn)題呢?

二、利用二級(jí)結(jié)論,高效解題

以此題為背景,對(duì)圓錐曲線(xiàn)進(jìn)行進(jìn)一步的探索,利用已有的二級(jí)結(jié)論,獲得求解焦點(diǎn)分弦一類(lèi)題型的一般性方法,從而有效避免繁雜的計(jì)算.

1.對(duì)于橫向型圓錐曲線(xiàn)

2.對(duì)于縱向型圓錐曲線(xiàn)

下面對(duì)這一二級(jí)結(jié)論進(jìn)行證明.

1.對(duì)于橫向型圓錐曲線(xiàn)

(1)當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí),以橢圓為例進(jìn)行證明:

(2)當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí),此時(shí)曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn).

2.對(duì)于縱向型圓錐曲線(xiàn)

(2)當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí),曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn).

根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程易得以下結(jié)論:

1.對(duì)于橫向型圓錐曲線(xiàn)

2.對(duì)于縱向型圓錐曲線(xiàn)

這一結(jié)論的證明這里不再贅述.結(jié)論1,2揭示了圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)分弦的一些性質(zhì)及特征,對(duì)于求解圓錐曲線(xiàn)中焦點(diǎn)分弦一類(lèi)問(wèn)題大有裨益,不妨運(yùn)用結(jié)論1,2,繼續(xù)求解此題.

評(píng)析:與前面五種解法相比,結(jié)論1,2的使用大大的減少了此類(lèi)題目的運(yùn)算量,可以起到化繁為簡(jiǎn)的作用,達(dá)到事半功倍的效果,而且也是求解此類(lèi)題目的統(tǒng)一簡(jiǎn)解,是通性通法的使用.