范連眾

摘要：直觀想象是發(fā)現、提出、解決問題的重要方法，是進行數學抽象和邏輯推理的思維基礎，是中考數學復習的靈魂。中考復習階段的數學教學中，要利用教科書中的典型題，豐富直觀想象的“數學表象”;合理設計問題變式，錘煉直觀想象的基本路徑;抓住學生思維的閃光點，善用一題多解，激發(fā)學生直觀想象的興趣。

關鍵詞：直觀想象;中考;數學復習

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中關于“直觀想象”有這樣的描述與要求：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng)。主要包括借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯(lián)系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，“直觀想象”是數學學科素養(yǎng)的的六個維度之一。

“直觀想象”是數學思維的基本形式，體現了數學思維的形象化特征，它不僅存在于幾何學習之中，而是存在于普遍性的數學思維中?！爸庇^想象”是學生進行數學推理和建構數學結構的思維基礎，有利于學生形成數學運算、數據分析與邏輯推理的思路;是抽象數學結論和進行邏輯推理的思維加工機制，對數學抽象、邏輯推理與數學建模等數學學科核心素養(yǎng)的形成都有影響。從當前對核心素養(yǎng)的研究現狀看，仍存在著理論分析研究多，典型案例分析和課堂行動研究少;共性研究多，結合數學學科的“個性研究”少;針對小學研究多，面向中學數學教學研究少的問題。從另一方面看，直觀想象與邏輯推理存在比較高的相關性，顯著影響學生的數學成績。下面就結合中考數學復習階段的教學，談談如何培養(yǎng)初中學生的直觀想象能力。

一、厘清課程標準表述的變化，明確直觀想象的由來

依據古德萊德對課程的分類，課程可以分為理想的課程、文件（正式）的課程、理解的課程、實施的課程和經驗的課程五個層次。正確理解直觀想象在國家文件課程中的內涵，是做好課程實施的前提。新中國成立七十年以來，共進行過八次課程改革，頒布實施了十幾個中學數學課程標準（教學大綱），這里選取了十次比較典型的課程標準（教學大綱），對直觀想象的提出過程進行厘清。（如表1，表2）

通過比較可以發(fā)現，隨著國家對教育目標定位的變化，幾何教育的主要目標之一從培養(yǎng)學生的空間想象能力，變化到培養(yǎng)學生空間觀念和幾何直觀，最后變化到培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)，體現出數學教育目標從知識傳授，到發(fā)展智能，到大眾數學，到最后培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的變化軌跡?？臻g想象能力側重于直接感知事物，建立二維平面以及三維空間內對圖形性質的理解，指向能力層面的要求?？臻g觀念是在新世紀課程改革后提出的，不僅僅是一種觀念，也反映出數學學習內容的變化。幾版課程標準（教學大綱）對空間觀念的界定雖然在不斷變化，但都是在建立空間想象的基礎上，更注重在分析和抽象層次上的表現，要求學生根據圖形的特征在邏輯上對圖形關系進行分析和操作，利用直觀進行思考。幾何直觀是一種思維形式，是指通過圖形、圖形之間的關系、圖形的運動變化等直接理解問題的本質、得到解決問題的思路、形成推斷問題的結論。直觀想象是在空間觀念和幾何直觀的基礎上發(fā)展而來，主要包括空間想象、直觀洞察、數形結合，是利用空間形式理解和思考問題的思維方式，是適應未來社會應必備的一種關鍵能力。

二、追溯直觀與想象的根源，把握直觀想象的精髓

“空間想象能力”“空間觀念”“直觀”“想象”在心理學界并不是地位并列的概念。能力是心理學中的名詞，是指一種心理特征，是順利實現某種活動的心理條件。能力既是掌握知識與技能的基礎，又是掌握知識與技能的結果?？臻g想象能力是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、認知的抽象思維能力。在數學、地理等學科體現得比較明顯。

對“觀念”的概念解釋，在辭海中有“思想，有時亦指表象或客觀事物在人腦中留下的概括的形象”的釋義。“空間觀念”與心理學中“空間知覺”的概念比較接近，空間知覺、時間知覺和運動知覺都是知覺，空間知覺是指大腦對物體的空間關系的認識，包括形狀知覺、大小知覺、深度與距離知覺、方位知覺與空間定向等。

我國著名數學家徐利治認為：“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產生的對事物關系直接的感知與認識?！睎|北師范大學史寧中教授認為：“直觀借助基因和大腦而存在，是先天存在，又借助后天經驗表達出來。幾何直觀就是利用圖形、圖形的關系、圖形的變化和運動的軌跡等思維經驗直接認識問題，理解問題的本質，找到解決問題的思路，推斷出問題的結論?！痹谥行W數學中，幾何直觀具體表現為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀等四種形式。

思維是人腦對輸入的刺激進行更深次的加工，是人類認識的高級活動。思維可以從不同的角度進行分類，其中一類可以分為直觀動作思維、形象思維和邏輯思維。直觀動作思維面臨的思維任務具有直觀的形式;形象思維則指人們利用大腦中的具體形象（表象）來解決問題;邏輯思維則需要運用概念、理論知識來解決問題。思維也可以分為直覺思維、靈感與邏輯思維，直覺是一種沒有經過嚴密推理與論證而徑直地猜度問題關鍵的思維，常表現為一種大膽的猜想、預測。而靈感則是一種頓悟性的思維。直覺和靈感都具有非分析性、非規(guī)則性、非程式化的特點。顯然，“直觀”與“思維”密不可分。直觀是直觀動作思維、形象思維的典型特征，也對直覺思維、靈感的形成有重要的促進作用。

“想象”是另一種高級的認識活動，是在感知的基礎上，對頭腦中已有的表象進行加工改造，創(chuàng)造新形象的心理過程。由于想象主要處理圖形信息，而不是詞或符號，因此與“直觀”密不可分。日常生活中，當人們在面對問題情境、需要尚未得到滿足時，頭腦中常常會出現需要得到滿足、問題得到解決的情境，這種情境是對現實的一種超前反應，是對未來的一種預見。若問題的原始材料是已知的，解決問題的方向是明確的，那么解決問題的進程則主要服從于思維規(guī)律;反之，如果問題情境具有很大的不確定性，情境提供的信息不充分時，解決問題的進程將主要依賴于想象。想象可以跳過某些思維階段，具有黏合、夸張、典型化、聯(lián)想等幾種形式。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，本身具有鮮明的特性，如抽象、結構、模式、數據、直覺。而數學直覺的本質是某種美的意識或美感，其實是對數學對象間存在著的某種隱微的和諧性與秩序的直覺認識。人的直覺更多的是來源于視覺，直觀為直覺的產生起到了關鍵的、不可替代的作用。在數學發(fā)展歷程中，數學家的靈感往往發(fā)端于直觀。很多數學問題的發(fā)現與解決，其結果都是先“看”出來的，而不是先“證”出來的。所謂的“看”是一種直接判斷，這種判斷是建立在長期有效的觀察和思考的基礎之上。而數學教育的目標之一就是幫助學生積累這方面的經驗，包括感性經驗和邏輯經驗。

通過以上的分析可以看到，數學與直觀、想象有著密切的聯(lián)系，數學對象的直觀性和想象的心理過程對啟發(fā)人的思維，特別是對形象思維的發(fā)展有著重要的作用。“那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學公式來表述，但是它們卻是任何數學成就的核心，即使在最抽象的領域里也是如此”。反之，在“學習數學理論、方法或數學定理時，只有做到了直觀上懂才算‘真懂，所謂‘真懂的意思是指對數學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的”。通過數學教育，可以培養(yǎng)學生的直觀和想象，從而具備適應未來社會所必備的關鍵能力，直觀想象可以看成是運用形象思維來理解和解決數學問題時表現出來的一種素養(yǎng)。具體而言，就是指借助具有邏輯支撐的直覺，在頭腦里對已儲存的各種數學表象（圖形、數學概念、數學符號、圖像、圖表以及公式、法則、基本結論等）進行類比、聯(lián)想等加工改造，在感知數量關系和空間形式的形態(tài)與變化中，獲得事物的新形象、新觀念或得出創(chuàng)新性的新結論。直觀想象是發(fā)現和提出數學命題、探索解決問題思路的重要手段，是建構數學抽象和進行邏輯推理的思維基礎。

很多教師在中考復習階段，仍存在著“僅從字面意義上理解直觀想象的現象，使直觀想象逐漸被窄化為一種識圖策略”的問題，并且由于考試評價的局限而沒有引起師生足夠的重視。也有很多教師對數學教學目的的認識還是停留在傳統(tǒng)的“三大能力”的層面。教學中更多的都是側重于解題訓練，單純的機械模仿、低效復習充斥著課堂，教學也離開了數學抽象的思維基礎。抓不住直觀想象這一核心，課堂就猶如失去了“靈魂”。

三、用好教科書中的基本習題，建立豐富的數學表象

想象是對表象的加工創(chuàng)造，直觀想象離不開豐富的“數學表象”。練習題是教科書的重要組成部分，是使學生理解概念、鞏固知識、學會應用的必備構件。數學教科書中的練習題設計注重循序漸進和情境運用，教師應該充分重視。在要求學生正確解答的同時，應深入挖掘基本習題的聯(lián)系和所蘊含的數學思想方法，幫助學生認識問題的本質特征，豐富直觀想象所必需的數學表象。

如在復習“軸對稱圖形的性質”時，應以閱讀理解的方式將基本圖形進行組合，引導學生發(fā)現軸對稱圖形的共性和對稱軸的作用，并通過直觀想象發(fā)現解決問題的路徑，做到復習時“不炒冷飯”，不斷提升直觀想象素養(yǎng)。

第一步，情境回憶。

等腰（邊）三角形是常見的軸對稱圖形。利用圖形的對稱性，我們可以發(fā)現很多結論，也可以得到解決問題的思路。

如圖1，在△ABC中， AB=AC，D、E分別在AC、AB上，且AD=AE，容易發(fā)現△ABD和△ACE關于△ABC的對稱軸對稱，并且容易證得BD=CE。

如圖2，在△ABC中， AB=AC，D、E是邊BC上的點，且AD=AE，也容易發(fā)現△ABD和△ACE關于△ABC的對稱軸對稱，進而容易證得BD=CE。

第二步，問題探究。

如圖3，△ABC中，點D、F在邊AB上，點E在BC上，BD=BE，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延長CA、EF交于點G，且GA=GF，求證AD=EF。

第三步，提升拓展。

如圖4，等邊△ABC中， D是AC上一點，連接BD，E為BD上一點，AE=AD，過點C作CF⊥BD交BD的延長線于F，∠ECF=60° ，若BE=a，DF=b，求DE的長（用含a，b的式子表示）。

閱讀材料將兩個典型圖通過強調對稱軸的作用而巧妙地聯(lián)系起來，并分別為后兩個問題的解決提供了圖形想象的基礎和思考方向，學生如果發(fā)現圖3與圖1存在著密切的聯(lián)系，將條件“BD=BE”與問題1中的“AD=AE”進行比較，就可以構造等腰三角形，即要么在BC上取點H，使BH=BF，容易證得EF=DH;要么在BA的延長線上取點H，使BH=BC，容易證得EH=DC，進而發(fā)現解決問題的路徑。而問題4的圖形又與問題2的圖形聯(lián)系緊密，構造與△ABE對稱的三角形成為解題的關鍵?？梢?，學生在復雜的圖形中能否發(fā)現基本圖形的 “影子”，成為能否解題的關鍵。上面的復習設計，既加強了對基本圖形的認識，又發(fā)展了直觀想象素養(yǎng)。正可謂抓住了培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)這一靈魂，才抓住了中考復習的關鍵。

四、合理設計問題變式，錘煉直觀想象的基本路徑

變式教學是我國“雙基”教學的基本特征，其基本方法是用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。幾何圖形變式在發(fā)展學生“雙基”方面的作用十分明顯。直觀的經驗需要大量的實踐，想象需要類比、聯(lián)想和猜測，合理的問題變式不應僅僅局限在發(fā)展學生 “雙基” 的層面，還應注意引導學生反思如何形成直觀，如何合理想象。

中考復習是在學生完成了九年義務教育的課程學習之后進行的，是在對所學知識進行梳理的基礎之上，使相關知識能融會貫通，并能解決問題，因此在選擇復習內容時就要注意相關知識的聯(lián)系與綜合性，并通過科學的圖形變式，引導學生進行類比、聯(lián)想和猜想。例如，在復習等腰三角形和全等三角形時，可以先讓學生掌握人教版教材八年級上冊中66頁的第14題，再進行系列的圖形變化。

已知：在圖5中，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點，延長BC到點E，使CE=CD。

求證：DB=DE。

此題的圖形由一個等邊三角形和一個等腰三角形構成，要證明△DBE是等腰三角形，需要學生靈活運用等邊三角形、等腰三角形的性質和判定，因此方法也比較多。

在學生積累了基本習題的解題經驗之后，可以先改變已知條件中“CE=CD”為“CE=AD”，看看結論是否成立。再改變點D的位置，讓學生獲得猜想后再尋找解題的方法。得到的變式如下：

已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點，F是BC邊延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF。

1.如圖6，若E是AC邊的中點，猜想BE與EF的數量關系為。

2.如圖7，若E是線段AC上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數量關系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

3.如圖8，若E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數量關系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

第2問中點E的位置由線段的中點改變?yōu)锳C上任一點，圖形中沒有兩個三角形直接全等，學生自然會產生這樣的猜想，即構造全等三角形來解決問題。利用已知條件，當然就有了構造與△ECF全等或與△ABE全等兩種解決問題的思路，然后再進行推理證明。而問題（3）中點E的位置由“線段上的點”變成了AC延長線的點，直觀上可以看出結論并沒有發(fā)生變化。學生既可以類比問題（2），也可以直接通過構造法做出輔助線求解。

再如人教版教材八年級上冊56頁第9題和八年級下冊62頁第15題如下：

教材中兩道題的背景和題型雖然不同，但本質都是利用等腰直角三角形和正方形等基本圖形的性質，利用直角三角形全等的判定和性質解決問題，對發(fā)展學生的“雙基”十分有益。在學生掌握了基本問題的解法之后，可以改變圖形的位置，通過直線AD繞等腰直角三角形的直角頂點旋轉，得到以下兩個變式練習。

變式1：如圖11，∠BAC=90° ，AB=AC，BE⊥AD，CD⊥AD，垂足分別為E，D，探究BE、CD、AD的數量關系并證明。在圖12中，條件不變，結論發(fā)生改變嗎？

變式2：如圖13，已知正方形ABCD，直線GH過點B，過點A、C、D分別作AE⊥GH于點E，CF ⊥GH于點F，DQ⊥GH于點Q，試判斷線段AE、DQ、CF三者之間關系。

將靜態(tài)的幾何圖形運動起來，通過平移、旋轉、軸對稱等變換方式，可以得到系列的全等圖形，挖掘其中的不變規(guī)律，可以發(fā)展學生的直觀想象和學習興趣，加深對圖形的深刻認識。而對圖形的變式不止是橫向的水平變式，還應進一步進行深度挖掘，并通過從特殊到一般等數學思考過程，進一步提升學生的想象能力和思維能力。在學生對上題有了系列認識之后，還可以為他們提供如下的變式練習。

變式3 ：如圖14，已知正方形ABCD的邊長為2，E是線段AB上一點（含端點），作射線DE，分別過點A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最值。

變式4 ： 如圖15，已知平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60° ，E是線段AB上一點（含端點），作射線DE，分別過點A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最大值。

學生有了變式1、變式2的解題經驗，對正方形和全等三角形有了進一步的認識，也能得到三條線段長度之間的關系，但并不一定能引起對圖中所蘊藏的相似三角形的關注。變式4是求三條線段和的最值，發(fā)現圖中的四個直角三角形都是相似的，就可以找到解決問題的方法。同時，通過對圖形運動的研究，想象特殊位置的情況，也可以得到解決問題的方程。而變式5則將正方形改為平行四邊形，體現了在從特殊到一般的變化過程中，蘊含著不變的規(guī)律。

參考文獻：

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（責任編輯：楊強）