徐歡眉

1引言

2004年開始實施的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》將“注重提高學生的數(shù)學思維能力”列為高中數(shù)學課程十大基本理念之一，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》則將“直觀想象”和“邏輯推理”列入六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之中[1].直觀想象和邏輯推理（理論證明）貫穿數(shù)學學習的全過程，也是高考的重點考查方向.正如理性分析與感性認知永遠不是相互割裂的兩種能力，邏輯推理和直觀想象也能有機結(jié)合，小則提高數(shù)學思維與探究能力，大則更好地感知世界并與世界建立聯(lián)系.

如何將邏輯推理與直觀想象有機結(jié)合，本文將以《空間幾何體》中的三視圖問題為例，利用著名文學作品《福爾摩斯探案集》中使用的邏輯，對三視圖問題提出新的理解，實現(xiàn)邏輯推理與直觀想象的辯證統(tǒng)一.同時，在數(shù)學課堂中引入文學內(nèi)容，也是將文科和理科的有機結(jié)合，讓課堂更有活力，讓學生更有興趣.

2三視圖與文學作品中的邏輯推理

2.1空間幾何體的三視圖

在《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》中對《空間幾何體》的要求是“認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式”.在高考中，三視圖問題的常見類型大致有以下兩種：

1.根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，并求解幾何體的表面積和體積;

2.根據(jù)幾何體的部分視圖求剩余部分視圖.[2]

空間幾何體是學生第一次系統(tǒng)地接觸三維空間.在此之前，他們在初中階段獲得了二維空間的知識，對三維空間無限性和復雜性的認知十分有限，從平面圖形到空間幾何體的遷移對部分空間想象力薄弱的學生而言并非易事.

空間想象力是對客觀事物空間形式的抽象思維能力[3]，對應數(shù)學學科核心素養(yǎng)中的直觀想象.空間中圖形的位置關(guān)系，立體圖形的疊加與切割，都需要學生在大腦中建立起三維模型，而三視圖問題則是對這種能力的綜合考查，學生需要掌握平行投影和中心投影，學會在平面中表示空間圖形的技能[4].

2.2文學作品中的邏輯推理

“當你排除所有不可能的部分，剩下的無論多么不可能，也一定是真相.”[5]這句名言出自柯南·道爾著名中篇小說《四簽名》，其筆下的名偵探夏洛克·福爾摩斯常用此邏輯將案件解決.推理小說中就運用了大量的感性認知與理性分析，分別對應看得見的線索和看不見的推理.構(gòu)成福爾摩斯演繹法的兩大核心要素——觀察與推理.觀察是對線索的捕獲、對有效信息的發(fā)現(xiàn)，放在數(shù)學問題中即對題目信息的獲取與翻譯;推理包括兩大基本過程——歸納推理和演繹推理.

記結(jié)論的全集為，滿足條件的結(jié)論用集合表示，不滿足條件的結(jié)論用集合表示，顯然， .上述引文背后的數(shù)學知識，即排除全集U中不滿足條件的結(jié)論，剩下的就是集合B的補集，即集合A，也就是滿足條件的結(jié)論.關(guān)鍵詞為“所有”，只有所有不滿足條件的結(jié)論構(gòu)成的集合才能與滿足條件的結(jié)論構(gòu)成的集合互為補集.通過排除所有不滿足條件的結(jié)論，我們就能得到滿足條件的結(jié)論.

這種方式主要針對根據(jù)已知條件很難直接得出結(jié)論的一類問題——沒有很好的空間想象力，很難通過三視圖直接作出幾何體的直觀圖;而根據(jù)已知條件，排除掉一些結(jié)論會比較容易——以某個基本幾何體作為參照，根據(jù)三視圖排除該參照物中肯定不存在于所求幾何體上的頂點或棱，“排除所有不可能的”，關(guān)注“剩下的”，最終就能得到“真相”.這種方式結(jié)合了從三視圖中獲得的感性認知與推理過程中的理性分析，是直觀想象與邏輯推理的有機結(jié)合.

3例題分析

3.1根據(jù)三視圖還原簡單幾何體

3.1.1三視圖中無虛線

例1（2020年高考全國卷理科III卷第8題）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

在該題中，由于三個視圖均為三角形，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識，空間想象力好的學生可以直接判斷出該幾何體為三棱錐并畫出其直觀圖，進而求得該三棱錐的各條棱長及其表面積.倘若學生無法在大腦中建立起該幾何體的三維模型，我們能否利用本文2.2中講述的邏輯點，推理出該幾何體原本的形狀呢？

結(jié)合三視圖“長對正，高平齊，寬相等”的原則，我們必能得到該幾何體恰好能被放置在棱長為2的立方體中（圖3-1），且該幾何體的頂點均為此立方體的頂點，至于是哪些頂點構(gòu)成了該幾何體，我們“排除一切不可能的”，關(guān)注“剩下的”，看看是否與“真相”接近.

若規(guī)定垂直于平面為主視方向，首先，根據(jù)主視圖可以判斷，立方體中的頂點和不存在于該幾何體中;同理，根據(jù)側(cè)視圖可以判斷，頂點也不是該幾何體的頂點;最后，由俯視圖可知，頂點A也不存在于該幾何體中，將“不可能的”點去掉，將“剩下的”點連接起來（圖3-2），得到三棱錐，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，符合題干中的三視圖.

除此之外，還可通過另一種方式判斷剩余四個頂點確實是該幾何體的頂點.由主視圖和側(cè)視圖可知，棱和（不含端點）均不在該幾何體中，為了滿足主視圖中位于上方的三角形頂點存在，則立方體中的頂點必然存在，同理可推理出其余三個頂點也必然存在.

3.1.2三視圖中有虛線

根據(jù)有虛線的三視圖還原幾何體一直是學生不知從何入手的一類問題，對空間想象力的要求更高，往往信息量越大，題目越復雜.原則是看得見的線用實線，看不見的線用虛線.但即便知道這一原則，多數(shù)學生也不知該如何利用.如果無法想象出幾何體的形狀，我們依然可以試試邏輯推理的方法.

例2下圖為某多面體的三視圖，則該多面體的體積為________.

易知該幾何體必能被放置在棱長為4的立方體中（圖3-1），如上一個例子，我們首先排除不可能的點.根據(jù)主視圖和俯視圖可以排除頂點.同時可排除棱（不含端點）（圖3-3）.在剩下的頂點中，我們可以通過同例1相似的推理，得到必然是該幾何體的頂點，否則無法滿足三視圖.剩下暫時無法判斷的頂點D，再看信息量最大的側(cè)視圖.根據(jù)“看得見的用實線”這一原則，若頂點D是該幾何體的頂點，那么四邊形是側(cè)視圖中能被看到的圖形，也就意味著題干中側(cè)視圖的實對角線將無法體現(xiàn)，因此頂點D不是該幾何體的頂點.至此，我們已排除了所有不可能的頂點，僅剩，這四點構(gòu)成的三棱柱經(jīng)檢驗滿足題目條件（圖3-4）.我們發(fā)現(xiàn)，利用邏輯推理得到幾何體的過程中，側(cè)視圖中虛線的信息僅在檢驗時用到，大大降低了難度.

3.2根據(jù)三視圖還原組合體

空間中的組合體有疊加式、切割式和綜合式三種基本形式.疊加式組合體由多個基本幾何體疊加而成，按照幾何體之間接觸方式的不同，可細分為相接、相切、相貫三種類型.切割式組合體可視為在基本幾何體上進行切割、鉆孔、挖槽后剩余部分所形成的幾何體.綜合式組合體為多個基本幾何體的疊加及切割，是組合體中最為常見的形式.

疊加式和切割式在高考中考查得比較多，其中疊加式組合體為中低難度，考生能夠根據(jù)三視圖較為容易地判斷出構(gòu)成組合體的基本幾何體的類型，進而還原出組合體的形狀，判斷幾何特征，求解表面積與體積.切割式組合體對考生的空間想象能力要求更高，需要利用三視圖中虛線實線的特征，判斷出該幾何體是對何種基本幾何體做了怎樣的切割，進而還原出組合體的形狀.它與疊加式組合體不同的是，我們能從疊加式組合體的三視圖中迅速辨認出常見的基本幾何體，而切割式組合體的三視圖無法給我們直觀的信息，在運用空間想象力的同時還需要一定的邏輯推理.

3.2.1疊加式組合體

例3（2020年高考全國卷理科II卷第7題）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為M，在俯視圖中對應的點為，則該端點在側(cè)視圖中對應的點為（ ）

不難發(fā)現(xiàn)，在該題中，組成三視圖的基本幾何圖形為矩形，由此可辨別出該幾何體由兩個四棱柱相接而成，此幾何體為疊加式組合體.需要注意的是，在疊加式組合體中，若分處兩個幾何體的兩個平面共面，則相接部分的棱在三視圖中無法體現(xiàn)（對應主視圖內(nèi)部并無實線）.而側(cè)視圖中的實線與虛線則告訴我們兩個四棱柱的相對位置，進而得到還原后的幾何體（圖3-5）.因此答案為A.

3.2.2切割式組合體

例4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________.

在該題中，由于三視圖中實線虛線數(shù)量較多，乍看之下無法辨認出構(gòu)成該組合體的基本幾何體類型，但根據(jù)三視圖的知識可以判斷，該幾何體定能被放置在高為4、底面是邊長為4的等邊三角形的三棱柱中（圖3-6）.接下來，我們借助三視圖中蘊含的信息，一步一步推理出該幾何體的頂點.

首先，根據(jù)主視圖外部圖形可視為矩形切去左上角以及俯視圖內(nèi)部實線可知，三棱柱中的頂點不存在于該幾何體中;其次，根據(jù)側(cè)視圖外部圖形可視為矩形切去右下角以及俯視圖內(nèi)部虛線可知，三棱柱中的頂點A不存在與該幾何體中.而其余四個頂點均可推理得出存在于該幾何體中.

“排除一切不可能的，關(guān)注剩下的部分”.從整體上看，所求的幾何體應為三棱柱切去分別以A和為頂點的兩個三棱錐.至于兩個三棱錐中其余三個頂點位于三棱柱的什么位置，我們再通過三視圖中的實線和虛線加以判斷.

先考慮以為頂點的三棱錐，其余三個頂點應當分別位于上.由俯視圖內(nèi)部的實線可知，和的中點都是該幾何體的頂點，即這兩點為切去的三棱錐的兩個頂點;由主視圖可知， 的中點也為該幾何體的頂點，即為被切去的三棱錐的最后一個頂點.至此，切去的第一個三棱錐的形狀和位置已確定（圖3-7）.

再考慮以為A頂點的三棱錐，其余三個頂點應當分別位于上.由俯視圖內(nèi)部的虛線以及主視圖內(nèi)部的實線可知，AB和的中點都是該幾何體的頂點，即這兩點為切去的三棱錐的兩個頂點;有側(cè)視圖可知，C為切去的三棱錐的最后一個頂點.至此，切去的第二個三棱錐的形狀和位置也已確定（圖3-8）.

因此，最終得到的幾何體為三棱柱切去兩個三棱柱所剩下的部分（圖3-9），體積為

4結(jié)語

世間萬物緊密聯(lián)系，我們想知道某件事物的本質(zhì)，未必只能通過研究該事物，還可通過了解與其相關(guān)聯(lián)的一切事物來探尋它的本質(zhì).知識結(jié)構(gòu)是網(wǎng)狀的，知識正遷移是快速掌握新知識的有效途徑.而在知識遷移的過程中，也要充分利用核心素養(yǎng)之間的聯(lián)系.

我們身處的世界充滿了可探尋的事物，需要我們?nèi)ビ^察，去推理.要善于發(fā)現(xiàn)并利用事物之間的聯(lián)系，建立起感性認知與理性分析之間的橋梁.

正如柯南·道爾在小說《五個橘核》中所說，“因世間的一切就像根鏈條，我們只需瞧見其中一環(huán)，就可知全體的性質(zhì)”

（作者單位：杭州市余杭區(qū)杭州英特外國語學校）