董紀(jì)華 田穎

摘? ?要：數(shù)學(xué)知識(shí)一般圍繞若干緊密相關(guān)的知識(shí)或確定的思想方法形成一定邏輯體系。因此，每一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)單元，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中有內(nèi)在邏輯關(guān)系，一方面，體現(xiàn)在單元與整體的聯(lián)系，另一方面體現(xiàn)在單元內(nèi)部的聯(lián)系。數(shù)學(xué)專(zhuān)題課是以具有一定綜合性教學(xué)內(nèi)容為載體，以數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯和思想方法為研究重點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生解決綜合數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的授課方式。以“利用數(shù)形結(jié)合研究三角函數(shù)”為例，對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)題課教學(xué)設(shè)計(jì)與過(guò)程進(jìn)行初步探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);專(zhuān)題教學(xué);三角函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2021）20/23-0059-07

新發(fā)展背景下，數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活、科技等方面的重要作用越發(fā)凸顯出來(lái)。黨的十九大報(bào)告強(qiáng)調(diào)要“落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育”。當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要回答“如何發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”這一問(wèn)題，數(shù)學(xué)教師應(yīng)深度思考：“如何把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，將單元教學(xué)目標(biāo)分解到每一節(jié)課，有計(jì)劃地引領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。

“利用數(shù)形結(jié)合研究三角函數(shù)”一課是《2017版普通高中教科書(shū)人教A版必修第一冊(cè)》，第五章“三角函數(shù)”全章知識(shí)新授課結(jié)束后的一節(jié)專(zhuān)題課，本節(jié)課以正弦型函數(shù)為主要研究對(duì)象，立足學(xué)生已經(jīng)形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)有邏輯的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，感悟研究正弦型函數(shù)的方法既有普適性，同時(shí)又有其特殊的研究方法。以數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法為主線，聯(lián)系性地、整體地應(yīng)用三角函數(shù)的一般經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)技能解決問(wèn)題，深刻理解三角函數(shù)核心性質(zhì)間的本質(zhì)聯(lián)系。

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.教學(xué)內(nèi)容：

借助圓和三角函數(shù)的解析式以及圖象，數(shù)形結(jié)合研究正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、單調(diào)性、最值、對(duì)稱(chēng)性，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的同時(shí)，深刻理解三角函數(shù)核心性質(zhì)間的本質(zhì)聯(lián)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想。

2.內(nèi)容解析：

（1）學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)：日常生活中對(duì)“周而復(fù)始”現(xiàn)象有了一定的認(rèn)識(shí);在對(duì)平面幾何中圓的性質(zhì)（特別是圓的對(duì)稱(chēng)性）、相似形的有關(guān)知識(shí)、函數(shù)的一般概念的學(xué)習(xí)研究過(guò)程中，積累了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);從函數(shù)的一般概念、表示和性質(zhì)等的學(xué)習(xí)中，了解了研究函數(shù)的一般方法;通過(guò)冪指對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，基本掌握了研究一類(lèi)函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過(guò)程與方法;一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，構(gòu)建一類(lèi)函數(shù)的研究路徑，如何從函數(shù)定義出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，如何利用函數(shù)概念和性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題等等。

（2）數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合研究三角函數(shù)，有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。

（3）育人價(jià)值：體會(huì)三角函數(shù)性質(zhì)的整體性、聯(lián)系性，可以充分發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用。

二、目標(biāo)及目標(biāo)解析

1.單元目標(biāo)：

（1）感受到三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用，體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體會(huì)三角函數(shù)的價(jià)值和功能，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

（2）感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，體驗(yàn)現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合。

（3）注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程的完整性，加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題情境和解題思路的分析，提高對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知層次，提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。

2.課堂目標(biāo)：

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）刻畫(huà)一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，認(rèn)識(shí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是刻畫(huà)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

（2）借助圓的幾何性質(zhì)，感知和研究函數(shù)

y=Asin（ωx+φ）的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，體會(huì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)也是圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的解析表示。

（3）經(jīng)歷描述、分析、理解和解決與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。

（4）建立“形”與“數(shù)”的聯(lián)系，積累運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.問(wèn)題診斷：

（1）已學(xué)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系都是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映，但三角函數(shù)不以代數(shù)運(yùn)算為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對(duì)應(yīng)，這是一個(gè)復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)情景，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

（2）學(xué)生使用的是舊版教材，對(duì)于借助單位圓為媒介建立正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象之間的豐富關(guān)聯(lián)較為欠缺，對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）刻畫(huà)一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律也并不熟悉。

（3）研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法也有特殊性，即利用三角函數(shù)的定義，將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系，研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)所使用的數(shù)形結(jié)合，與前面的通過(guò)觀察函數(shù)圖象而得出性質(zhì)，有較大的不同。

（4）三角函數(shù)概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，與單位圓建立了非常緊密的聯(lián)系，有利于學(xué)生理解三角函數(shù)的本質(zhì)的同時(shí)，也帶來(lái)不利影響?，F(xiàn)實(shí)中的周期性運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題并不一定以角為自變量，因此在用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要有更復(fù)雜的分析與轉(zhuǎn)化工作，使得研究更具有一般性。

2.教學(xué)難點(diǎn)

借助圓的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合研究三角函數(shù)，建立三角函數(shù)的不同性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)。

四、教學(xué)支持條件分析

1.教學(xué)策略分析

（1）實(shí)際問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生自主探究實(shí)際問(wèn)題。

（2）問(wèn)題探究為主線：?jiǎn)栴}探究，層層遞進(jìn)。自主分析實(shí)際問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型并解決實(shí)際問(wèn)題。反思不同表達(dá)形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合地研究圓的幾何性質(zhì)與三角函數(shù)之間的豐富聯(lián)系。

（3）教學(xué)中采用問(wèn)題探究式教學(xué)模式，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探究活動(dòng)、小組討論修正、全班展示交流，展示探究方法和思維活動(dòng)，教師通過(guò)交流追問(wèn)、課堂評(píng)價(jià)，達(dá)成問(wèn)題的解。

2.媒體分析

黑板：板書(shū)教學(xué)流程及知識(shí)要點(diǎn)。

多媒體投影：顯示教學(xué)環(huán)節(jié)，快速及時(shí)展示學(xué)生解決問(wèn)題的切入點(diǎn)、思維過(guò)程、解答結(jié)果;暴露學(xué)生解題過(guò)程中的知識(shí)缺陷和思維漏洞。

五、教學(xué)實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)有邏輯的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生明確研究路徑：

三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。

我們借助單位圓建立了三角函數(shù)的概念，這就決定了三角函數(shù)和單位圓產(chǎn)生了天然的聯(lián)系。

而函數(shù)圖象是函數(shù)的另一種表示方法，能夠幫助我們直觀地理解性質(zhì)。圓和三角函數(shù)圖象是我們研究三角函數(shù)的兩種圖形工具。

今天，我們就從古老的筒車(chē)入手，繼續(xù)感受三角函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合。

【任務(wù)1】

筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用。

某地筒車(chē)轉(zhuǎn)輪半徑為5m，轉(zhuǎn)輪中心位于水面的上方，且轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為2.5m. 盛水筒繞轉(zhuǎn)輪中心逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s.

如圖，將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形——圓，盛水筒M視為圓周上的質(zhì)點(diǎn).以筒車(chē)轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，平行于水面的半徑所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)經(jīng)過(guò)ts 后，盛水筒 M 從P0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P（x，y）.

試比較t=9和t=42兩個(gè)時(shí)刻，盛水筒M 位置的高低，并說(shuō)明從t=9到t=42，盛水筒幾次到達(dá)最高點(diǎn).

問(wèn)題1-1（審題）：在動(dòng)手解決問(wèn)題之前，你想用什么方法措施展開(kāi)研究呢？

學(xué)生1：筒車(chē)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此可以通過(guò)研究點(diǎn)在圓上的位置來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)生2：因?yàn)槿呛瘮?shù)可以刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)，因此，可以建立三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)生3：既然可以建立三角函數(shù)解析式，還有可能可以通過(guò)畫(huà)出三角函數(shù)圖象解決問(wèn)題。

問(wèn)題1-2：你是怎么想到三角函數(shù)圖象的？

學(xué)生3：因?yàn)閳D象也是函數(shù)的一種表示方法，而我們?cè)瓉?lái)研究函數(shù)的時(shí)候，往往都是通過(guò)函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，更加直觀。

教師：這些同學(xué)結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為我們提供了三個(gè)研究問(wèn)題的角度。

問(wèn)題1-3：怎么理解位置的高低和最高點(diǎn)？

學(xué)生4：函數(shù)的最大值和函數(shù)值的大小。

問(wèn)題1-4：又怎么理解在一段時(shí)間內(nèi)盛水筒可能多次到達(dá)最高點(diǎn)呢？

學(xué)生（眾人）：與函數(shù)的周期有關(guān)。

教師：根據(jù)幾位同學(xué)分享的不同策略和對(duì)具體問(wèn)題的分析，請(qǐng)大家嘗試解決問(wèn)題吧。

【設(shè)計(jì)意圖】：設(shè)計(jì)蘊(yùn)含著問(wèn)題與核心知識(shí)的情境，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是學(xué)生在將情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題抽離出來(lái)并探索解決問(wèn)題的方法時(shí)，自然建立了數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題間的橋梁，學(xué)生在與問(wèn)題情境有效溝通的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，形成研究問(wèn)題的一般方法。

2.在一定的觀念指引下大膽嘗試，解決問(wèn)題：

解法一（學(xué)生分享）：

t=9，旋轉(zhuǎn)形成的圓心角為9×=.

t=42與t=12時(shí)盛水筒M的位置相同，t=12時(shí)旋轉(zhuǎn)形成的圓心角為12×=.

在圓周上標(biāo)出這兩個(gè)位置，以O(shè)P0為始邊，和的終邊都在x軸上方，角的終邊更靠近y軸，其終邊與圓的焦點(diǎn)更高，所以，t=9時(shí)盛水筒的位置較高.

同時(shí)，通過(guò)計(jì)算可以知道從t=9到t=42，盛水筒兩次到達(dá)最高點(diǎn).

問(wèn)題2-1：圓的什么性質(zhì)起到了關(guān)鍵性的作用？

學(xué)生：圓的對(duì)稱(chēng)性。

教師：圓心在原點(diǎn)的圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的特殊對(duì)稱(chēng)性起到了關(guān)鍵性作用.

問(wèn)題2-2：怎么計(jì)算周期？

學(xué)生：點(diǎn)在圓上旋轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間為==30s.

【設(shè)計(jì)意圖】：三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，圓周運(yùn)動(dòng)是常見(jiàn)的周期運(yùn)動(dòng)，在利用圓解決問(wèn)題的過(guò)程中，感悟三角函數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和基本原理。

解法二（學(xué)生分享）：函數(shù)解析式為y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin=5sin，f（9）=5sin

9×

-=5sin

因?yàn)?<<<，函數(shù)y=sinx在0

，上單調(diào)遞增，所以f（9）>（12），所以t=9時(shí)盛水筒的位置較高.

t-=+2kπ?t=10+30k（k∈Ζ），k=0，t=10;k=1，t=40.

所以從t=9到t=42，盛水筒兩次到達(dá)最高點(diǎn).

問(wèn)題3-1：為什么不直接比較這兩個(gè)函數(shù)值的大?。?/p>

學(xué)生：因?yàn)椴皇翘厥饨?，所以不能手?dòng)計(jì)算出函數(shù)值，要借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較。

問(wèn)題3-2：借助函數(shù)的什么性質(zhì)？

學(xué)生：周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性。

問(wèn)題3-3：你在計(jì)算出了f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin，f（9）=

9×

-=5sin兩個(gè)值，為了比較大小，你用了哪個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

學(xué)生：正弦函數(shù)y=sinx

教師：研究正弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到研究一般的正弦型函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);通過(guò)教師的追問(wèn)，促使學(xué)生反思解決問(wèn)題時(shí)所用到的核心概念與核心性質(zhì)，形成知識(shí)遷移的同時(shí)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，深入體會(huì)相關(guān)概念間的本質(zhì)聯(lián)系。

解法三（學(xué)生分享）：函數(shù)解析式為y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

五點(diǎn)法作圖

∵周期T=30，∴f（42）=f（12）.

又∵函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=10，∴f（9）=f（11）

由圖像可知，函數(shù)y=5sin

t

-，t∈[0，+∞）在t∈[10，25]上單調(diào)遞減，∴f（42）=f（12）

結(jié)合圖像觀察從t=9到t=42，盛水筒2次到達(dá)最高點(diǎn).

學(xué)生提出質(zhì)疑：t=42秒時(shí)，函數(shù)y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）圖象上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)似乎不太對(duì).

學(xué)生思維碰撞：t=42秒時(shí)，函數(shù)y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）圖象上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)應(yīng)該如圖所示：與y軸左側(cè)的等高的點(diǎn)相對(duì)應(yīng).

教師：原因是什么？

學(xué)生思維碰撞：t=42秒附近，y的值的變化趨勢(shì)是單調(diào)遞減，所以在圓周上應(yīng)該相應(yīng)的具有相同的變化趨勢(shì)，即，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，盛水筒呈下降趨勢(shì)。

教師：其實(shí)時(shí)間每取一個(gè)值，比如說(shuō)t=9，都對(duì)應(yīng)著圓上的一個(gè)位置，也對(duì)應(yīng)著解析式中的一個(gè)取值，在函數(shù)圖象上也對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)，它們都有兩個(gè)幾何呈現(xiàn)方式和一個(gè)代數(shù)值;反過(guò)來(lái)，最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，在圓上體現(xiàn)為轉(zhuǎn)過(guò)這個(gè)角的時(shí)間，就是解相位等于時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，當(dāng)然在函數(shù)圖象上我們也能直觀看到對(duì)應(yīng)的自變量.

【設(shè)計(jì)意圖】：發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是促使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并解決問(wèn)題的最佳時(shí)機(jī)，教師傾聽(tīng)、觀察學(xué)生的思維困惑，抓住課堂教學(xué)關(guān)鍵時(shí)刻，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、思考、交流，在思維碰撞過(guò)程中，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟“三角函數(shù)解析式”“三角函數(shù)圖象”和“三角函數(shù)的研究背景——圓”之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，這才是深度的合作學(xué)習(xí)。

3.反思數(shù)學(xué)核心概念、性質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系：

問(wèn)題4-1：為了比較函數(shù)值的大小，我們調(diào)動(dòng)了三角函數(shù)的哪些性質(zhì)解決問(wèn)題？

學(xué)生：周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性

問(wèn)題4-2：三種方法各自側(cè)重什么角度？你能評(píng)價(jià)一下三位同學(xué)的做法么？

學(xué)生：第一種方法側(cè)重圖形的幾何性質(zhì)，使用了少許計(jì)算;第二種方法側(cè)重建立函數(shù)模型，利用函數(shù)解析式精確計(jì)算;第三種方法先建立函數(shù)模型刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)，再借助三角函數(shù)的圖象觀察函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題，側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合。

學(xué)生：三種解法中，解析式計(jì)算精準(zhǔn)，利用圖形工具解決問(wèn)題非常直觀，它們相互配合，為我們解決問(wèn)題提供了多種角度，各有優(yōu)勢(shì)。

教師：圓心與原點(diǎn)重合的圓上的點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以用三角函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，也可以用它的圖象直觀感受變化規(guī)律，而圓和函數(shù)的圖象，它們本質(zhì)相連。

剛才的研究可以給我們一些啟發(fā)，當(dāng)研究對(duì)象，例如問(wèn)題中的位置高低既有幾何特征，又有數(shù)的解釋時(shí)，就有了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，我們有邏輯的相互轉(zhuǎn)化，以數(shù)解形，以形助數(shù)，這就是數(shù)和形能夠結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的契機(jī)。

【設(shè)計(jì)意圖】：反思才能更好地出發(fā)！教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)生生評(píng)價(jià)，抓住核心知識(shí)，整體、全面、系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)正弦型函數(shù)，反思并深入理解數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)基本思想方法應(yīng)用的契機(jī)，讓解題成為解決問(wèn)題，讓解決一個(gè)問(wèn)題成為解決一類(lèi)問(wèn)題。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：能把書(shū)讀厚，又能把書(shū)讀薄，讀薄就是抓住本質(zhì)，抓住重點(diǎn)。抓住本質(zhì)，才能更好地理解和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.借助數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引申探索：

【任務(wù)二】已知ω>0，函數(shù)y=5sin（ωx+φ）.

若φ∈0

，，且f（0）+f

=0，則ω的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? .

方法一：解函數(shù)方程.為使得ω最小，須使周期最大，所以考慮0和在同一個(gè)周期內(nèi).f（0）+f

=0?sinφ+sin

πω+φ=0?sin

πω+φ=-sinφ=sin（-φ）所以πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）

所以ω的最小值為

問(wèn)題5-1：兩個(gè)代數(shù)式怎么取舍？取舍的依據(jù)是什么？

學(xué)生：哪個(gè)對(duì)應(yīng)的周期大。

問(wèn)題5-2：怎么挖掘哪個(gè)周期大呢？

學(xué)生：可以代數(shù)運(yùn)算，但這個(gè)式子πω+φ=-φ+2kπ（k∈Ζ）中的變量比較多，我們可能一時(shí)還不能很快確定.

教師：我們可以帶著困惑看一看另外一種解法。由圖像可知

==?ωmin=.

問(wèn)題5-3：如圖確定圖象和y軸的交點(diǎn)？為什么y軸右側(cè)的第一個(gè)單調(diào)區(qū)間為增區(qū)間？

學(xué)生：因?yàn)棣铡?

，，所以x=0時(shí)，y>0且w>0，x>0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在圓周上的位置先上升.

教師：初相不僅決定了圖象和y軸的交點(diǎn)位置，還決定了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化趨勢(shì)。

問(wèn)題5-4：能不能借助圖象來(lái)理解剛才代數(shù)運(yùn)算中的取舍呢？

學(xué)生：為使ω最小，須使周期最大，也就是0和應(yīng)該在一個(gè)周期內(nèi)，結(jié)合圖象，同一個(gè)周期內(nèi)，滿足f（0）+f

=0的有兩個(gè)位置，顯然靠左時(shí)所對(duì)應(yīng)的周期更大，在πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）兩個(gè)式子中，舍掉前者（如圖所示）.

問(wèn)題5-5：f（0）+f

=0這個(gè)代數(shù)式，在圖形中對(duì)應(yīng)著0，f（0），

，f

兩個(gè)點(diǎn)，它們能夠反映出函數(shù)的什么性質(zhì)？

學(xué)生：周期性和對(duì)稱(chēng)性。

教師：本題中是這樣的，如果更加直觀地看，我們可以把這一小段函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)過(guò)來(lái)（如圖），最大值點(diǎn)與右側(cè)相鄰最小值點(diǎn)之間的水平距離，其實(shí)就是兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離，就是半個(gè)周期，有的時(shí)候也可以表述為單調(diào)區(qū)間。這就是三角函數(shù)核心性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

縱觀這兩個(gè)問(wèn)題，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候往往能從圖象上獲得很多的性質(zhì)的信息，而函數(shù)解析式又能?chē)?yán)謹(jǐn)刻畫(huà)函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)和形相互映照，幫助我們深刻理解相關(guān)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)反思—遷移—循環(huán)—提升的解題過(guò)程，不僅感悟數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)將和三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)看成一個(gè)有機(jī)整體，用聯(lián)系的觀點(diǎn)整體認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的背景、概念和性質(zhì)，在解題中拎出知識(shí)結(jié)構(gòu)，這是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)。

5.課堂小結(jié)

問(wèn)題6-1：研究正弦型函數(shù)你有哪些經(jīng)驗(yàn)體會(huì)？

學(xué)生：研究函數(shù)從形上多分析。數(shù)形結(jié)合幫了大忙。

研究了正弦型函數(shù)我就會(huì)研究余弦型函數(shù).

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是拿來(lái)就算的，要先觀察分析，先要有數(shù)學(xué)的眼光，數(shù)學(xué)的推理分析。能畫(huà)圖的畫(huà)畫(huà)圖。大膽嘗試。

解決問(wèn)題的時(shí)候遇到困難不能放棄，要找一找知識(shí)概念之間的聯(lián)系。

教師：學(xué)習(xí)就是不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。

三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在研究正弦型函數(shù)時(shí)，我們可以借助研究正弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，利用函數(shù)解析式和圖形工具，以數(shù)解形，以形助數(shù)，借助代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律，同時(shí)用數(shù)和形相互結(jié)合理解規(guī)律，這就是數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的三部曲。

六、教學(xué)反思：

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，絕不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與核心素養(yǎng)也不是孤立的，教師應(yīng)該將每一章節(jié)視為一個(gè)有機(jī)整體，精心設(shè)計(jì)每一堂課，注重?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，注重問(wèn)題引領(lǐng)，推動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主反思，多設(shè)置啟發(fā)學(xué)生思考的好問(wèn)題，在把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法上下功夫，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，大膽猜想、大膽嘗試。