王 文，周 輝，余 靜

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是中學(xué)課堂的重要目標(biāo)，也是大學(xué)課堂的重要目標(biāo)。針對(duì)師范生課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是教育部對(duì)師范專(zhuān)業(yè)師范認(rèn)證的重要指標(biāo)之一。如何培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思想解決問(wèn)題是課程改革理念的一項(xiàng)重要任務(wù)，也是師范生教學(xué)能力培養(yǎng)的重要目標(biāo)之一。而問(wèn)題是數(shù)學(xué)的靈魂，如何培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從問(wèn)題的特殊情形抽象出一般結(jié)論的能力是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，也是落腳點(diǎn)。

在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中，測(cè)度就是長(zhǎng)度概念的一個(gè)推廣，在實(shí)數(shù)集R中能夠量出長(zhǎng)度的點(diǎn)集是很少的，因此，需要把長(zhǎng)度的適用范圍擴(kuò)大，使更多的集合具有一定意義的長(zhǎng)度，也就是所謂的測(cè)度。類(lèi)比長(zhǎng)度公理，數(shù)學(xué)家Lebesgue提出了測(cè)度公理[1]，就是保留了長(zhǎng)度公理中的非負(fù)性和正則性，將其中的有限可加性推廣到可數(shù)可加性。

那么如何找出具有這些性質(zhì)的測(cè)度m以及關(guān)于m的可測(cè)集類(lèi)呢？首先引進(jìn)外測(cè)度，外測(cè)度對(duì)R中的任意點(diǎn)集都有定義，滿足非負(fù)性和正則性，但不一定滿足可數(shù)可加性。然后，對(duì)外測(cè)度的定義域加以約束，即在R中找某一集合類(lèi)μ，使得外測(cè)度在μ上滿足可數(shù)可加性。此時(shí)，μ中的元素就稱(chēng)為可測(cè)集，可測(cè)集的外測(cè)度也就是它的測(cè)度了。

本文主要探究如何引導(dǎo)學(xué)生自主探尋可測(cè)集的判定條件。

1 可測(cè)集的判斷條件

從可測(cè)集的定義出發(fā)，有目的地引導(dǎo)學(xué)生探尋集合可測(cè)的判定條件，是探尋實(shí)變函數(shù)教學(xué)改革的目標(biāo)之一，更是師范類(lèi)院校培養(yǎng)師范生教學(xué)技能、引導(dǎo)學(xué)生深挖教材的重要手段之一。下面以總結(jié)歸類(lèi)的方式進(jìn)行啟發(fā)式探討。

目標(biāo)： 探討集合可測(cè)的判定條件以及充要條件。

設(shè)計(jì)思路一從簡(jiǎn)單的可測(cè)集類(lèi)出發(fā)，先引導(dǎo)學(xué)生給出簡(jiǎn)單集合可測(cè)的判定條件，并簡(jiǎn)單給出理由，比如外測(cè)度為零的集合。

結(jié)論1外測(cè)度為零的集合可測(cè)。

證明?T?Rn，有m*T≤m*(T∩E)+m*(T∩Ec)≤m*(E)+m*(T)≤m*(T)

從而m*T=m*(T∩E)+m*(T∩Ec)，即E為可測(cè)集。

設(shè)計(jì)思路二引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比數(shù)學(xué)分析中求極限的方法之一：兩邊夾定理，那么判斷集合可測(cè)是否有類(lèi)似的方法呢？

探索過(guò)程 類(lèi)似求極限的兩邊夾定理，需要找到兩個(gè)合適的可測(cè)集，使得點(diǎn)集E包含在中間，而且兩端可測(cè)集的測(cè)度要相等。在不斷的分組探討中，學(xué)生在利用外測(cè)度單調(diào)性的推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，可以將兩端的可測(cè)集修改為兩個(gè)可測(cè)集列，即存在兩列可測(cè)集{Fn},{Gn},使得Fn?E?Gn且m(Gn-Fn)→0(n→∞)，可得到點(diǎn)集E的可測(cè)性。如是最終探究出所要的結(jié)論，如下：

結(jié)論2設(shè)E?Rm，存在兩列可測(cè)集{Fn},{Gn},使得Fn?E?Gn且m(Gn-Fn)→0(n→∞)，則E可測(cè)。

(G-E)?(Gn-E)?(Gn-Fn)，

由單調(diào)性得0≤m*(GE)≤m*(Gn-E)≤m*(Gn-Fn)=m(Gn-Fn)→0(n→∞)，

因此，m*(G-E)=0，則G-E可測(cè)，故E=G-(G-E)可測(cè)。

設(shè)計(jì)思路三引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比數(shù)學(xué)分析探尋函數(shù)可積時(shí)，證明上和的下確界與下和的上確界相等，那么判斷集合可測(cè)是否有類(lèi)似的方法呢？

與探索過(guò)程 (1)類(lèi)似求曲邊梯形面積的內(nèi)填外包法，需要構(gòu)造能夠覆蓋點(diǎn)集E的可測(cè)集測(cè)度的下確界，以及包含點(diǎn)集E的可測(cè)集測(cè)度的上確界；(2)根據(jù)開(kāi)集和閉集是可測(cè)集，以及Rm中有界閉集和緊集的等價(jià)性，構(gòu)造inf{mG:G是開(kāi)集，E?G}和sup{mH:H是緊集，H?E}；(3)假設(shè)兩者相等，嘗試能否得到點(diǎn)集E的可測(cè)性？最終探究出所要的結(jié)論，如下：

結(jié)論3若有界集E?Rm滿足條件：

inf{mG:G是開(kāi)集，E?G}=sup{mH:H是緊集，H?E}，則E是可測(cè)集。

證明記inf{mG:G是開(kāi)集，E?G}=sup{mH:H是緊集，H?E}=c，由上下確界的定義，對(duì)任意的自然數(shù)n，存在開(kāi)集Gn，緊集Hn，使得Hn?E?Gn,且

即存在可測(cè)集列{Hn},{Gn},使得Hn?E?Gn，且

由結(jié)論2可得E可測(cè)。

此外，還有同學(xué)直接通過(guò)開(kāi)集和閉集的可測(cè)性，也能直接利用開(kāi)集或閉集直接來(lái)刻畫(huà)可測(cè)集，得到下面充要條件：

結(jié)論4設(shè)E?Rm，E是可測(cè)集?對(duì)任意ε>0，存在開(kāi)集G，使得G?E且m*(G-E)<ε。

結(jié)論5設(shè)E?Rm，E是可測(cè)集?對(duì)任意ε>0，存在閉集F，使得F?E且m*(E-F)<ε。

2 解題中的應(yīng)用

通過(guò)總結(jié)歸類(lèi)的方式進(jìn)行啟發(fā)式探討，讓學(xué)生自主總結(jié)判斷集合可測(cè)的一些判定條件，老師緊接著給出幾道練習(xí)題，讓大家合理應(yīng)用判定條件來(lái)解題，最終讓學(xué)生真正領(lǐng)悟并掌握這些重要的結(jié)論。

例1設(shè)A1,A2?Rn,A1?A2，A1是可測(cè)集且有m(A1)=m*(A2)<∞，試證明A2是可測(cè)集。

證明由于A1是可測(cè)集，根據(jù)Caratheodory條件，取T=A2，則

由于m(A1)=m*(A2)<∞，因此m*(A2-A1)=0。則由結(jié)論1知A2-A1可測(cè)。所以，A2=(A2-A1)∪A1是可測(cè)集。

例2設(shè)E?Rm，對(duì)任意ε>0，存在開(kāi)集G1,G2，使得E?G1,Ec?G2,m(G1∩G2)<ε，則E是可測(cè)集。

證明對(duì)任意n∈，存在開(kāi)集An,Bn，使得

由結(jié)論2得E可測(cè)。

注本題的解答合理運(yùn)用了判定條件2，事實(shí)上，此題反過(guò)來(lái)也是成立的，也就是說(shuō)，這也是一個(gè)充要條件。

3 結(jié)語(yǔ)

在本節(jié)課的教學(xué)中，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，使他們?cè)诶蠋煹倪m當(dāng)引導(dǎo)下積極參與探索，也成功融入了翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念，讓學(xué)生成為課堂的主體，在整個(gè)過(guò)程中，也體現(xiàn)著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，激發(fā)他們的求知欲，也可以增強(qiáng)學(xué)生提出問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象、批判性思維的能力。