王鋒 潘莉

摘要：對(duì)解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果表明，2～4年級(jí)學(xué)生能夠較好地利用已有圖形表征這樣的直接經(jīng)驗(yàn)來解決遇到的問題。使用已有圖形表征解決問題，較之使用其它的表征方式有比較強(qiáng)的效果。在簡(jiǎn)約乘法豎式出現(xiàn)以后，使用其它表征來解決問題的方式被弱化。事實(shí)上，教學(xué)“乘法簡(jiǎn)約豎式”時(shí)，其它表征方式如果弱化使用或延緩一段時(shí)間使用，能更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)多元學(xué)習(xí)表征的過渡性理解，促進(jìn)多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平。

關(guān)鍵詞：圖形表征;多元學(xué)習(xí)表征;聯(lián)結(jié);轉(zhuǎn)換

小學(xué)生在解決諸如“12×4”和“12×14”等“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題時(shí)是怎樣思考的？存在著哪些不同的策略？2～4年級(jí)小學(xué)生面對(duì)同一內(nèi)容，運(yùn)用不同的表征策略解決這一計(jì)算問題，存在著怎樣的差異？經(jīng)歷過程序式的計(jì)算學(xué)習(xí)后，這種程序化學(xué)習(xí)對(duì)今后的學(xué)習(xí)進(jìn)程與能力發(fā)展是否存在一定的影響？這種影響是有益的還是個(gè)體學(xué)習(xí)過程中的一種缺失？帶著疑問，我們進(jìn)行了調(diào)查研究。即對(duì)2～4年級(jí)小學(xué)生在解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題時(shí)運(yùn)用情境、圖形、表格、橫式筆算、展開的乘法豎式與簡(jiǎn)約程序化的乘法豎式等不同表征策略解決問題的具體現(xiàn)象進(jìn)行客觀地實(shí)證調(diào)查。同時(shí)，通過對(duì)比，獲得了建立多元學(xué)習(xí)表征聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換后的學(xué)習(xí)策略發(fā)展變化的數(shù)據(jù)。

依托這些數(shù)據(jù)的獲得，我們得出了四個(gè)結(jié)論：一是建立多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)需要過渡期;二是多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn);三是多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要延緩符號(hào)表征的銜接;四是多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換決定理解的水平?；诮Y(jié)論，我們提出了教學(xué)建議。

一、基于學(xué)習(xí)表征理論，界定具體內(nèi)涵

美國(guó)學(xué)者萊什等提出五種學(xué)習(xí)表征，包括情境表征、圖形表征、操作表征、符號(hào)表征和語言表征。他們認(rèn)為，學(xué)生必須具有下列條件才算了解一個(gè)概念：學(xué)生必須能將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，學(xué)生必須能很有彈性地處理這個(gè)概念;學(xué)生必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)。

南京大學(xué)鄭毓信教授指出，按照多元表征理論，除去對(duì)于概念本質(zhì)的理解，還應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需要與情境，在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換。美國(guó)學(xué)者赫伯特-卡朋特提出了基于認(rèn)知科學(xué)觀點(diǎn)的理解模型，他認(rèn)為知識(shí)是內(nèi)部表征的，而這些內(nèi)部表征是有結(jié)構(gòu)的。內(nèi)部表征與外部表征之間具有某種關(guān)系，因此可以通過外部表征和聯(lián)結(jié)來推測(cè)其內(nèi)部表征。各種內(nèi)部表征之間是互相聯(lián)結(jié)的。各種表征之間的聯(lián)結(jié)數(shù)量與強(qiáng)度決定了理解的水平。

基于以上的理論，我們選擇了北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)第六單元“兩位數(shù)乘一位數(shù)不進(jìn)位”和三年級(jí)下冊(cè)第三單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位”兩個(gè)單元的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查研究，具體如下：

1.2～4年級(jí)小學(xué)生利用多元表征解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題過程中，有哪些原始想法？有哪些具體的學(xué)習(xí)現(xiàn)象？

2.2～4年級(jí)學(xué)生在解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題過程中，利用點(diǎn)子圖、橫式、表格與豎式等表征解決問題的策略差異，尋找差異產(chǎn)生的原因。

3.教材呈現(xiàn)的與學(xué)生呈現(xiàn)的多元學(xué)習(xí)表征對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)進(jìn)程有哪些影響？調(diào)查中又發(fā)現(xiàn)了哪些不同的學(xué)習(xí)現(xiàn)象？

根據(jù)調(diào)查研究的需要，討論、界定本調(diào)查研究中涉及的具體學(xué)習(xí)表征是：情境表征，包括“螞蟻?zhàn)霾佟钡那榫澈汀瓣?duì)列表演”的情境等;圖形表征，由具體情境抽象成的點(diǎn)子圖，由點(diǎn)子圖進(jìn)一步抽象成的表格（分解），視為圖形表征;符號(hào)表征，簡(jiǎn)約的乘法豎式和展開的乘法豎式視為符號(hào)表征。簡(jiǎn)約的乘法豎式，是指便于學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)的最簡(jiǎn)單的乘法豎式。如，“12×4=”的簡(jiǎn)約豎式為：

[? ?1? ?2×? ? ?4? ?4? ?8]

展開的乘法豎式指對(duì)應(yīng)點(diǎn)子圖的圈畫過程和表格分解乘數(shù)相乘的過程，呈現(xiàn)的完整計(jì)算過程，是簡(jiǎn)約豎式理解的基礎(chǔ)。如，“12×4= ”的展開豎式有兩種主要的記錄方式。第一種方式是先從高位乘起。

[? 十 個(gè)? 位 位? ?1? ?2×? ? ?4? ?4? ?0+? ? ?8? ? 4? ?8]

第二種方式是先從個(gè)位乘起。

[? 十 個(gè)? 位 位? ?1? ?2×? ? ? 4? ? ? ? ?8+4? ?0? ? 4? ?8]

語言表征，指乘法豎式的計(jì)算法則（規(guī)則），用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述。這里暫時(shí)對(duì)操作表征不做案例研究和解釋。

二、基于觀察探索，了解學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

我們用了兩年的時(shí)間，針對(duì)所在區(qū)域內(nèi)23所普通農(nóng)村小學(xué)和2所縣城小學(xué)1137名學(xué)生做了調(diào)查。選取其中有代表性的、檢測(cè)信度高的7個(gè)班級(jí)（3所農(nóng)村學(xué)校，1所縣城學(xué)校）小學(xué)生，重點(diǎn)是2～4年級(jí)即年齡在8～10歲之間的，兼顧五至六年級(jí)的學(xué)生做輔助研究。

這些學(xué)生當(dāng)中，二年級(jí)的學(xué)生僅學(xué)習(xí)過用乘法口訣解決一位數(shù)乘法，有用點(diǎn)子圖理解口訣的經(jīng)驗(yàn)。三年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生要學(xué)習(xí)運(yùn)用點(diǎn)子圖和表格等圖形表征和符號(hào)表征（橫式口算）解決“兩位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算”問題，以及用多元表征（“螞蟻?zhàn)霾佟鼻榫?、點(diǎn)子圖、表格、展開的乘法豎式、簡(jiǎn)約的乘法豎式等）解決“乘法計(jì)算”問題。三年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生要學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式和豎式計(jì)算。四年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生要在三年級(jí)基礎(chǔ)上運(yùn)用多元學(xué)習(xí)表征解決“兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題。

（一）課堂觀察

1.設(shè)計(jì)課堂觀察量表

說明：要獲得學(xué)生的試卷才能填寫并比對(duì)分析前測(cè)和后測(cè)情況。“教師策略”主要記錄重點(diǎn)環(huán)節(jié)教師采取的方式，“學(xué)生具體表現(xiàn)”則要通過觀察填寫每一個(gè)學(xué)生在重點(diǎn)環(huán)節(jié)教師策略下的不同反應(yīng)。建議教師拍照或錄小視頻，聽課后利用時(shí)間整理。表內(nèi)（ ）均用“√”或“×”標(biāo)記。

2.觀察實(shí)施

全面觀察：對(duì)78節(jié)相關(guān)課例進(jìn)行課堂觀察（用時(shí)兩年的時(shí)間），對(duì)學(xué)生原始學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行大數(shù)據(jù)的記錄和分析。

重點(diǎn)觀察：對(duì)四節(jié)同課異構(gòu)的課堂教學(xué)進(jìn)行觀察。觀察時(shí)，40名實(shí)驗(yàn)教師分10組坐在學(xué)生身邊，在不干擾學(xué)生正常學(xué)習(xí)狀態(tài)的情況下，錄像、拍照、記錄，填寫觀察量表。每組中兩位教師分別觀察兩名學(xué)生，另兩位教師照相和攝錄學(xué)生學(xué)習(xí)全過程，對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)象進(jìn)行真實(shí)記錄。

3.記錄分析

觀察量表記錄;（記錄表圖略）現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)與分析。

以觀察小組為單位，課后對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如學(xué)生在用多元表征解決兩位數(shù)乘法過程中，最原始的想法是什么？（以下簡(jiǎn)稱為“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn)”）運(yùn)用哪些學(xué)習(xí)表征解決問題？習(xí)慣應(yīng)用哪種表征解決問題？

4.研究視角的變化

在課堂觀察至調(diào)查研究的推進(jìn)過程中，研究視角經(jīng)歷了五個(gè)階段的變化。第一階段關(guān)注的是學(xué)生原始、自然、本真的學(xué)習(xí)現(xiàn)象;第二階段關(guān)注的是學(xué)生學(xué)習(xí)背景的分析;第三階段關(guān)注的是如何搭建不同學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié);第四階段關(guān)注的是多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)是否能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)走得更遠(yuǎn)，關(guān)注教材的改進(jìn)。如延緩簡(jiǎn)約豎式乘法的出現(xiàn)是否能夠更好地建立起學(xué)生多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié);第五階段關(guān)注的是尋找證據(jù)以驗(yàn)證多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)，是促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系，形成創(chuàng)新思維的必要基礎(chǔ)。如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算，在沒有建立多元表征聯(lián)結(jié)時(shí)，豎式計(jì)算過程出現(xiàn)了問題，即發(fā)現(xiàn)學(xué)生該方面的學(xué)習(xí)斷層。

（二）問卷設(shè)計(jì)

根據(jù)研究需要，設(shè)計(jì)出相關(guān)課例的前測(cè)、中測(cè)（當(dāng)堂測(cè)試）、后測(cè)和延后測(cè)的問卷，以深入了解學(xué)習(xí)現(xiàn)象。問卷信息采集，均來自被調(diào)查學(xué)校2～6年級(jí)的學(xué)生。問卷設(shè)計(jì)的內(nèi)容隨著研究的推進(jìn)發(fā)生著變化，如研究開始時(shí)，問卷內(nèi)容就是直接將教材內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)這樣的內(nèi)容沒有把多元表征之間的聯(lián)系呈現(xiàn)出來，于是我們做了相應(yīng)的改進(jìn)。這樣的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)出了以下兩個(gè)特點(diǎn)：一是用不同的表征方式“盡可能”呈現(xiàn)出同一思考過程;二是不作解釋和規(guī)定，使學(xué)生明確要先圈畫，通過圈畫，與豎式計(jì)算的思考聯(lián)系起來。

此外，對(duì)剛升入五年級(jí)和六年級(jí)的學(xué)生做問卷調(diào)查即延后測(cè)，以發(fā)現(xiàn)和研究在兩至三年后學(xué)生應(yīng)用圖形表征等解決乘法計(jì)算問題的現(xiàn)象以及策略差異的表現(xiàn)。

（三）個(gè)體訪談

在課堂觀察、問卷的基礎(chǔ)上，進(jìn)行個(gè)別訪談，記錄訪談內(nèi)容。對(duì)于二年級(jí)學(xué)生，只要求嘗試用點(diǎn)子圖解決問題。在測(cè)試過程中，本班39名學(xué)生，有4人獨(dú)立解決問題。課后，教師及時(shí)對(duì)4名學(xué)生進(jìn)行訪談。一個(gè)學(xué)生先得到了如圖1中的答案。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。[? ?100+? 30? ?130+? 30? ?160+? ? 8? ?168]，100+30+30+8=168（個(gè)）。

師：能說說你為什么這樣算嗎？

生：我先把10個(gè)圈起來，這里有10個(gè)10，就是100。再加上這里我圈出來的30個(gè)就是130，這里也是30個(gè)，加起來是160。最后還剩下8個(gè)，一共是168個(gè)。

另外一個(gè)學(xué)生得到了如圖2中的答案。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。因?yàn)?×10=70（個(gè)），7×10=70（個(gè)），4×7=28（個(gè)），70+70=140（個(gè)），所以140+28=168（個(gè)）。

師：你是怎么算出來的？

生：我先把7個(gè)圈起來，這里有十個(gè)7，我知道10個(gè)7是70。下邊這個(gè)和上面的一樣，所以也是70。70加70等于140，最后還有四七二十八，140加28，一共是168個(gè)。

僅有一個(gè)學(xué)生出示了如圖3的算法。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。

師：你又是怎么算出來的？

生：這里是100個(gè)。（交流過程中學(xué)生標(biāo)出來的數(shù)100）

師：你怎么知道這是100的呢？

生：這一行是10個(gè)，有10個(gè)10一共就是100。再加上這邊的40，和下面的20等于160。最后還有8個(gè)，加起來是168。

接下來，還有一個(gè)學(xué)生出示了如圖4的不同算法。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。14×12=168（個(gè)），也就是12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12=168（個(gè)）。

師：能說說你是怎么算出來的嗎？

生：我是這樣圈的，一排是12個(gè)，一共有14排，所以就是168。

師：你可以把過程寫下來嗎？

這樣，在教師的提議下，大多數(shù)學(xué)生自己寫出了加法算式，通過個(gè)別訪談，我們了解了學(xué)生最真實(shí)的解決問題的方法和能力。

（四）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與質(zhì)性分析

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，便于對(duì)學(xué)生的各種表現(xiàn)做出量化比對(duì)。質(zhì)性分析，則是通過記錄師生對(duì)話和學(xué)生外在表征呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，結(jié)合數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)進(jìn)行判斷分析與解釋說明。

三、基于圖形表征經(jīng)驗(yàn)，思考多元表征聯(lián)結(jié)的建立

（一）建立多元表征之間的聯(lián)結(jié)需要過渡期

通過課堂觀察我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于小學(xué)2～3年級(jí)的學(xué)生來說，要建立多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)，仍然是一個(gè)較難的問題，需要有一個(gè)過渡期。

結(jié)合“兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算”內(nèi)容，我們搜集了本區(qū)域縣城及農(nóng)村小學(xué)178名三年級(jí)學(xué)生的前測(cè)、中測(cè)與后測(cè)的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：最初有58.4%的學(xué)生不能建立點(diǎn)子圖、表格、豎式即多種表征之間的聯(lián)結(jié);如果教師有意識(shí)地引導(dǎo)，會(huì)有48.3%學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)并感受它們之間的聯(lián)系，但仍然有部分學(xué)生無法建立聯(lián)結(jié)，當(dāng)然，這里面會(huì)涉及教師引導(dǎo)策略的影響因素;經(jīng)歷過一段時(shí)間的內(nèi)化吸收后，有87.6%（包括前期已經(jīng)建立聯(lián)系的）學(xué)生能夠較為清晰地掌握聯(lián)系，但在具體應(yīng)用中，部分學(xué)生仍是學(xué)習(xí)原點(diǎn)的表現(xiàn)。

（二）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)

1.學(xué)生缺乏表征聯(lián)結(jié)的意識(shí)，呈現(xiàn)出“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的現(xiàn)象

在第一階段對(duì)“螞蟻?zhàn)霾伲▋晌粩?shù)乘一位數(shù)）”課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生做練習(xí)14×2和12×3時(shí)，發(fā)生“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”即圈畫點(diǎn)子圖計(jì)算的現(xiàn)象。

在我們對(duì)178名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)中，有74.16%學(xué)生出現(xiàn)“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的現(xiàn)象。在后測(cè)時(shí)，教師明確任務(wù)要求以后，有19.10%學(xué)生出現(xiàn)“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”現(xiàn)象。

通過此現(xiàn)象可以驗(yàn)證如下結(jié)論：學(xué)生自然、本真的想法占據(jù)解決問題方法的首要位置，然后才是在教師或同伴的干預(yù)下，逐漸學(xué)會(huì)改變?cè)敕?，建立另類想法?/p>

2.教師缺乏表征轉(zhuǎn)換策略的研究，更多地關(guān)注豎式結(jié)論

我們對(duì)一線教師也做了訪談（結(jié)合“螞蟻?zhàn)霾佟边@節(jié)課），內(nèi)容摘錄如下。

【問題1】您認(rèn)為，本節(jié)課中學(xué)生多元表征與轉(zhuǎn)換方面的表現(xiàn)如何？

一位教師這樣認(rèn)為：絕大多數(shù)學(xué)生都能夠有表征轉(zhuǎn)換的意識(shí)，但是不能保證轉(zhuǎn)換的正確性。學(xué)生就是基于這樣不斷的轉(zhuǎn)換形成了數(shù)學(xué)理解，最終使得數(shù)學(xué)問題得以解決。

另一位教師認(rèn)為，學(xué)生有怎樣的表現(xiàn)更多的是源于教師的教學(xué)方式。如果教師在教學(xué)過程中有針對(duì)性地引導(dǎo)，那么學(xué)生的表現(xiàn)應(yīng)該會(huì)更好些。比如，本節(jié)課，我會(huì)明確提出需要點(diǎn)子圖、表格轉(zhuǎn)換成豎式形式。對(duì)于豎式，我也會(huì)明確提出豎式向點(diǎn)子圖、表格形式轉(zhuǎn)化。那么，面對(duì)相類似的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生自然而然地想到。所以學(xué)生可能在教師強(qiáng)調(diào)過的問題會(huì)表現(xiàn)不錯(cuò)。

【問題2】您認(rèn)為，在平常的練習(xí)中，考察哪種表征方式的數(shù)學(xué)問題會(huì)多一些？

一位教師認(rèn)為，這個(gè)應(yīng)該基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容而定。比如，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，更多地依賴于圖形表征;而在解決單純的計(jì)算題目時(shí)，則更多地傾向于使用符號(hào)表征。但是，數(shù)形結(jié)合，也就是符號(hào)表征與圖形表征之間的相互轉(zhuǎn)換總是會(huì)更多些。

另一位教師認(rèn)為，練習(xí)題的重點(diǎn)基本上放置在圖形表征與符號(hào)表征這兩個(gè)方面，學(xué)生在這兩個(gè)表征方式及其轉(zhuǎn)換上最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，即使教師平常在這方面一直強(qiáng)調(diào)。

【問題3】在教學(xué)中，您是否從符號(hào)、圖形、語言三個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題題意進(jìn)行描述？

一位教師認(rèn)為，如果這個(gè)數(shù)學(xué)問題解決依賴于多種表征方式，那么我會(huì)要求學(xué)生這么做。但并不是所有的數(shù)學(xué)問題解決都有做這一步的必要。畢竟多元表征屬于隱性層面的東西，學(xué)生的層次也參差不齊，教學(xué)更多地還是以考試為導(dǎo)向，這些因素使得教師上課似乎不允許將時(shí)間過多地花費(fèi)在這上面。

另一位教師認(rèn)為，對(duì)于一些特定的數(shù)學(xué)問題可能會(huì)這么做，比如本節(jié)課中符號(hào)（豎式）到圖形（點(diǎn)子圖以及表格）表征以及語言（豎式乘法的算法）表征的轉(zhuǎn)換，在教學(xué)過程中我會(huì)特意強(qiáng)調(diào)，更多的是要看這個(gè)數(shù)學(xué)問題是否適合用多種表征方式來解釋。

從訪談中反映出這樣的兩種情況：一是在教學(xué)過程中，教師更多地關(guān)注結(jié)論性知識(shí)的落實(shí)，相對(duì)淡化多元學(xué)習(xí)表征之間聯(lián)結(jié)的指導(dǎo)。二是對(duì)不同學(xué)習(xí)表征在學(xué)習(xí)過程中的重要價(jià)值，教師的觀點(diǎn)也不盡相同，如果教學(xué)方式和學(xué)習(xí)背景出現(xiàn)差異，教師會(huì)具體問題具體分析，在不同的表征方式之間做權(quán)衡，而后教師會(huì)把自己認(rèn)為會(huì)是最適合的表征方式教給學(xué)生以強(qiáng)調(diào)。

（三）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要延緩符號(hào)表征的銜接

在縣城和鄉(xiāng)村學(xué)校的兩次嘗試中，三位實(shí)驗(yàn)教師分別對(duì)“螞蟻?zhàn)霾佟边@節(jié)課進(jìn)行四次授課（其中一位實(shí)驗(yàn)教師采用兩種策略上了兩節(jié)同一內(nèi)容的課），兩次是常規(guī)授課，兩次是延緩符號(hào)表征的出現(xiàn)。（即暫緩簡(jiǎn)約豎式乘法的出現(xiàn)）

在對(duì)178名學(xué)生進(jìn)行的問卷調(diào)查與訪談中我們發(fā)現(xiàn)，采用常規(guī)授課模式，有58.42%學(xué)生能夠順應(yīng)點(diǎn)子圖和表格的計(jì)算策略，但不能在這個(gè)基礎(chǔ)上建立與橫式口算之間的聯(lián)結(jié);有46.06%學(xué)生呈現(xiàn)出簡(jiǎn)約豎式的形態(tài)，但并不能真正體會(huì)并說清楚其中的思維過程。

當(dāng)選擇延緩符號(hào)表征課堂教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，有78.65%學(xué)生可以很好地建立起點(diǎn)子圖、表格、橫式口算、復(fù)雜豎式以及簡(jiǎn)約豎式之間的聯(lián)結(jié)。

（四）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換決定理解的水平

延緩符號(hào)表征的出現(xiàn)和語言表征的敘述，搭建多元學(xué)習(xí)表征之間聯(lián)結(jié)的“橋”，在聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換過程中給足探索的時(shí)間和空間，有助于對(duì)新問題的發(fā)現(xiàn)、解決與建構(gòu)。

學(xué)生在第一次解決“14×12”問題時(shí)，豎式思維會(huì)出現(xiàn)斷層。通過研究我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在這個(gè)階段仍然沒有真正建立起點(diǎn)子圖、表格和豎式之間的聯(lián)系，點(diǎn)子圖是“點(diǎn)子圖”，橫式計(jì)算僅僅對(duì)應(yīng)“口算的思考過程”，表格雖然和橫式計(jì)算、點(diǎn)子圖有相似之處。但是，暫時(shí)還是無法通過回憶點(diǎn)子圖、橫式計(jì)算與表格建立聯(lián)系，更不用說與豎式計(jì)算結(jié)合起來。這說明，由圖形表征到符號(hào)表征的過渡，是一個(gè)艱難的過程。表2就是我們?cè)谘芯窟^程中得到的一些數(shù)據(jù)，能夠有效說明問題。

學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，也是導(dǎo)致多元表征無法建立聯(lián)結(jié)的主要因素。多元表征的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，不是多種方法、策略的學(xué)習(xí)。而應(yīng)該是在多元表征的認(rèn)識(shí)過程中，實(shí)現(xiàn)用“數(shù)學(xué)的眼光”進(jìn)行選擇。

如建立“點(diǎn)子圖、表格和乘法豎式之間是有聯(lián)系的”這種思想，是需要在多次觀察、多種比較的環(huán)境背景下，學(xué)習(xí)用不同的表征方式去解決問題，以建立問題解決的思維結(jié)構(gòu)，構(gòu)建起個(gè)人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完形或模型。這會(huì)為后續(xù)在新問題解決中獨(dú)立尋找方法和路徑提供好的經(jīng)驗(yàn)與思維架構(gòu)。因此，教師應(yīng)設(shè)計(jì)、引領(lǐng)和指導(dǎo)學(xué)生明確指向多元表征建立聯(lián)結(jié)的這一學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程中有意識(shí)地實(shí)現(xiàn)多元表征的聯(lián)結(jié)。

四、基于多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，探索教學(xué)策略

（一）教材內(nèi)容的呈現(xiàn)與教學(xué)要求應(yīng)更利于多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換

在教材內(nèi)容呈現(xiàn)上，北師版數(shù)學(xué)教材強(qiáng)調(diào)利用點(diǎn)子圖（圈畫）和表格（分解）解決“12×4”問題，給學(xué)生留有個(gè)性化解決問題的機(jī)會(huì)，注重了圖形表征在該階段學(xué)習(xí)的地位。

在小學(xué)階段的教材內(nèi)容呈現(xiàn)上，不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)約乘法豎式的唯一價(jià)值。在教學(xué)評(píng)價(jià)、課程標(biāo)準(zhǔn)要求上，將幾種學(xué)習(xí)表征放在同等價(jià)位上去認(rèn)識(shí)，對(duì)多元學(xué)習(xí)表征進(jìn)行整體研究與平等對(duì)待，這樣有助于后續(xù)更好地建立多元表征之間的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換。

（二）圖形表征作為一種學(xué)習(xí)策略應(yīng)在提高現(xiàn)有地位的同時(shí)重視多元表征的聯(lián)結(jié)

當(dāng)學(xué)生理解了用表格解決乘法計(jì)算問題后，在點(diǎn)子圖和表格的選擇上，學(xué)生會(huì)習(xí)慣于用表格解決乘法計(jì)算問題。這說明，用表格解決乘法計(jì)算，對(duì)于初學(xué)超出乘法口訣直接計(jì)算以外的乘法計(jì)算的三年級(jí)學(xué)生來說，更簡(jiǎn)便、更易于操作，理解起來也更易接受。

展開的乘法豎式，是點(diǎn)子圖、橫式口算（筆算）和表格三種表征形式的進(jìn)一步抽象。最初，學(xué)生能夠用展開的乘法豎式和其他表征建立聯(lián)結(jié)。但是，當(dāng)簡(jiǎn)約的乘法豎式出現(xiàn)，并形成程序化學(xué)習(xí)之后，學(xué)生很難再現(xiàn)展開的乘法豎式的心象，同時(shí)放棄了利用點(diǎn)子圖解決類似12×4乘法問題的表征過程。這種因程序化學(xué)習(xí)掩蓋圖形表征解決問題的現(xiàn)象，在四年級(jí)有所升高，5～6年級(jí)甚至忘記了圖形表征解決問題的策略，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一種缺失。

圖形表征應(yīng)該是小學(xué)階段問題解決的一個(gè)基本策略，其作為問題解決的策略之一，不能只是起到輔助理解算理的作用，應(yīng)該作為一種基本技能掌握。同時(shí)，應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中重視多元表征的聯(lián)結(jié)，這可以為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下很好的基礎(chǔ)。

（三）思維的發(fā)展方面應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”

學(xué)生每一階段學(xué)習(xí)過程中原始、自然的想法即“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”，是受前置學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)影響的，與個(gè)體的學(xué)習(xí)背景有直接關(guān)系。要改變學(xué)生的原生想法，讓學(xué)習(xí)走得更遠(yuǎn)，讓思考力更廣，需要教師和同伴的一定的干預(yù)，需要通過獨(dú)立觀察、比較、分析、反思，以實(shí)現(xiàn)概念化的自我建構(gòu)。

教師更應(yīng)在學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)上，關(guān)注“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的同時(shí)關(guān)注每一階段多元表征呈現(xiàn)的方式及其相互聯(lián)結(jié)的價(jià)值，促進(jìn)兒童在學(xué)習(xí)過程中能夠更好地遷移前置經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）