李 進(jìn)

（浙江工商大學(xué)金融學(xué)院，浙江 杭州 310000）

一、引言

GDP平減指數(shù)（GDP Deflator），又稱GDP縮減指數(shù)，是指名義GDP與真實(shí)GDP之比，該指數(shù)被廣泛用于測(cè)度價(jià)格水平。對(duì)比消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（CPI），GDP平減指數(shù)考慮本國(guó)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品和服務(wù)，只反映國(guó)內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)品價(jià)格變動(dòng)對(duì)價(jià)格水平的影響，且計(jì)算時(shí)對(duì)價(jià)格的加總方式更加合理。因此，GDP平減指數(shù)可以更真實(shí)的反映國(guó)家物價(jià)水平，研究該指數(shù)可以更合理的測(cè)度宏觀價(jià)格水平變動(dòng)。

在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的ARMA模型（Autoregressive Moving Average Model，自回歸滑動(dòng)平均模型）在時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方面運(yùn)用甚廣，但是使用ARMA模型的前提條件是分析的序列必須為平穩(wěn)序列。基于差分運(yùn)算的確定性信息提取能力，許多非平穩(wěn)時(shí)間序列在差分后會(huì)顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，因此Box和Jenkins將差分運(yùn)算與ARMA模型組合后就衍生了ARIMA模 型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，求和自回歸滑動(dòng)平均模型），ARIMA模型在時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用更為廣泛。本文截取1978年至2017年我國(guó)的GDP平減指數(shù)信息作為時(shí)間序列訓(xùn)練集，截取2018年至2020年我國(guó)的GDP平減指數(shù)作為測(cè)試集，建立ARIMA模型。使用擬合的模型預(yù)測(cè)未來(lái)三期數(shù)據(jù)，并與測(cè)試集中的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，分析ARIMA模型的實(shí)際預(yù)測(cè)效果。

二、ARIMA模型

1.ARMA模型

ARMA（p， q）模型一般表示為：

其具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

引進(jìn)延遲算子，ARMA（p， q）模型可以簡(jiǎn)記為：

2.ARIMA模型

結(jié)合差分運(yùn)算和ARMA模型，具有以下表達(dá)形式的模型被稱為求和自回歸滑動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），簡(jiǎn)記為ARIMA（p， d， q）模型：

三、ARIMA模型建模過(guò)程

本文采用以下建模過(guò)程：獲取GDP平減指數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)建時(shí)間序列，對(duì)構(gòu)建的時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果顯示序列平穩(wěn)，則繼續(xù)對(duì)序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)；若結(jié)果顯示序列不平穩(wěn)，則對(duì)序列進(jìn)行差分運(yùn)算，再重新檢驗(yàn)差分后序列的平穩(wěn)性。若序列通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，則說(shuō)明序列中沒(méi)有值得提取的可用信息，建模結(jié)束；若白噪聲檢驗(yàn)提示序列非白噪聲，則對(duì)序列采用ARMA模型建模（如圖1）。

圖1 ARIMA模型建模過(guò)程

如果原序列或經(jīng)差分運(yùn)算后得到的新序列被驗(yàn)證為平穩(wěn)非白噪聲序列，則對(duì)其采用如下的過(guò)程進(jìn)行ARMA建模：首先計(jì)算自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF），結(jié)合ACF圖、PACF圖的拖尾、截尾性質(zhì)以及最小AIC準(zhǔn)則為ARMA模型定階，之后估計(jì)模型的相關(guān)參數(shù)，再對(duì)擬合的ARMA模型進(jìn)行模型檢驗(yàn)。如果未通過(guò)模型檢驗(yàn)，則對(duì)模型重新定階并重新估計(jì)參數(shù)；如果通過(guò)模型檢驗(yàn)，則對(duì)模型優(yōu)化后完成ARMA模型構(gòu)建過(guò)程（如圖2）。

圖2 ARMA模型建模過(guò)程

1.數(shù)據(jù)選取

截取1978年至2020年我國(guó)的GDP平減指數(shù)信息，數(shù)據(jù)來(lái)源為同花順iFinD數(shù)據(jù)庫(kù)（指標(biāo)名稱：“GDP：平減指數(shù)”；頻率：“年”；1978=100）。采用R軟件，建立GDP平減指數(shù)的時(shí)間序列，并繪制時(shí)序圖（如圖3），時(shí)序圖顯示觀察值序列顯然不平穩(wěn)，應(yīng)進(jìn)行差分運(yùn)算。

圖3 GDP平減指數(shù)時(shí)序圖

2.差分運(yùn)算并在差分后檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性

加載R軟件中的“aTSA”包。對(duì)序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算后，通過(guò)adf.test（）函數(shù)對(duì)差分后的序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示無(wú)漂移項(xiàng)無(wú)時(shí)間趨勢(shì)、有漂移項(xiàng)無(wú)時(shí)間趨勢(shì)、有漂移項(xiàng)有時(shí)間趨勢(shì)三種情況的P值。在無(wú)漂移項(xiàng)無(wú)時(shí)間趨勢(shì)下滯后0階、1階，有漂移項(xiàng)無(wú)時(shí)間趨勢(shì)下滯后0階、1階、3階，有漂移項(xiàng)有時(shí)間趨勢(shì)下滯后2階，在以上幾種情況下，P值都小于α＝0.05的置信水平。綜合考慮，可以認(rèn)為原序列在一階差分后實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)（如圖4）。

圖4 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

3.差分后序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)

構(gòu)建LB統(tǒng)計(jì)量對(duì)差分后的序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，R語(yǔ)言中使用Box.test（）函數(shù)進(jìn)行序列的白噪聲檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的原假設(shè)為：H0：序列是白噪聲序列。結(jié)果顯示，在6階和12階延遲下LB統(tǒng)計(jì)量的P值均小于α=0.05的顯著性水平，應(yīng)拒絕原假設(shè)，說(shuō)明差分后的序列不是白噪聲序列。因此可以對(duì)差分后的序列擬合ARMA模型（如圖5）。

圖5 白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果

4.繪制序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖為ARIMA模型定階

樣本自相關(guān)圖顯示1階顯著不為0，2階之后近似為0；偏自相關(guān)圖顯示4階之后近似為0，因此可以在1至4之間選擇p，q的具體取值（如圖6）。

圖6 自相關(guān)圖（左上）、偏自相關(guān)圖（右上）及最小 AIC 準(zhǔn)則定階結(jié)果

R語(yǔ)言中的arima（）函數(shù)的輸出結(jié)果包含AIC值，因此可以通過(guò)編寫(xiě)R的循環(huán)迭代函數(shù)分別計(jì)算ARIMA（1， 1， 1）、ARIMA（1， 1， 2）、ARIMA（1， 1， 3）、ARIMA（1， 1， 4）、……、ARIMA（4， 1， 1）、ARIMA（4， 1， 2）、ARIMA（4， 1， 3）、ARIMA（4，1， 4）等16個(gè)模型的AIC值并輸出最小AIC所對(duì)應(yīng)的p， q值。最終確定最優(yōu)的系數(shù)為p=1，q=2，即對(duì)序列建立ARIMA（1， 1，2）模型。

5.建立ARIMA（1， 1， 2）模型

根據(jù)定階結(jié)果，調(diào)用R語(yǔ)言“forecast”包中的Arima（）函數(shù)，擬合帶漂移項(xiàng)的ARIMA（1， 1， 2）模型，估計(jì)模型中的各參數(shù)結(jié)果如圖 7。

圖7 帶漂移項(xiàng)ARIMA（1，1，2）模型參數(shù)擬合結(jié)果

因此ARIMA（1， 1， 2）模型的擬合結(jié)果為：

再使用tsdiag（）函數(shù)對(duì)該ARIMA（1， 1， 2）模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，tsdiag（）函數(shù)會(huì)輸出模型的殘差序列時(shí)序圖、殘差序列自相關(guān)圖和殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)圖（如圖8）。殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)圖顯示，各階延遲下白噪聲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都顯著大于0.05（圖中虛線為0.05參考線），該ARIMA（1， 1，2）模型顯著成立。

圖8 帶漂移項(xiàng)模型殘差序列的時(shí)序圖（上）、自相關(guān)圖（中）及白噪聲檢驗(yàn)圖（下）

考慮不帶漂移項(xiàng)建模的情況，重復(fù)以上建模過(guò)程。不帶漂移項(xiàng)建立的ARIMA（1， 1， 2）模型的殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)圖顯示，在各階延遲下白噪聲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值不能顯著大于0.05，也即應(yīng)該拒絕殘差序列為白噪聲的原假設(shè)，認(rèn)為殘差序列不是白噪聲序列，還存在值得提取的信息。因此不帶漂移項(xiàng)的ARIMA（1， 1， 2）模型不顯著成立，最終選擇帶漂移項(xiàng)的模型為擬合結(jié)果：

四、ARIMA模型預(yù)測(cè)

基于擬合的ARIMA（1， 1， 2）模型，選擇1978年至2017年的GDP平減指數(shù)為訓(xùn)練集，選擇2018年至2020年的GDP平減指數(shù)為測(cè)試集，對(duì)序列進(jìn)行未來(lái)3期的預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與測(cè)試集中的真實(shí)值進(jìn)行比較，計(jì)算預(yù)測(cè)誤差（如圖9）。再繼續(xù)建立未來(lái)10期的預(yù)測(cè)（2021年至2030年），共同繪制模型預(yù)測(cè)效果圖（如圖10）。在預(yù)測(cè)效果圖中，實(shí)線是序列觀察值，虛線是模型擬合值，深色陰影是序列的80%置信空間，淺色陰影是序列的95%置信區(qū)間。從結(jié)果來(lái)看，我國(guó)的GDP平減指數(shù)存在走高的趨勢(shì)，也即反映出了我國(guó)的物價(jià)水平預(yù)期會(huì)上漲，這與我國(guó)經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展的國(guó)情以及通貨膨脹等經(jīng)濟(jì)學(xué)原理相契合，符合預(yù)期，可以通過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)。基于預(yù)測(cè)誤差、預(yù)測(cè)效果圖以及經(jīng)濟(jì)學(xué)判斷，可以認(rèn)為該ARIMA（1， 1， 2）模型的擬合與預(yù)測(cè)效果都不錯(cuò)，可以通過(guò)檢驗(yàn)。

圖9 未來(lái)三期預(yù)測(cè)值、真實(shí)值及預(yù)測(cè)誤差

圖10 模型預(yù)測(cè)效果圖

五、研究結(jié)論

從模型預(yù)測(cè)效果圖可以看出，未來(lái)10年的GDP平減指數(shù)預(yù)計(jì)將會(huì)持續(xù)上漲。雖然ARIMA模型通常只在短期預(yù)測(cè)中有較高的精確度，隨著時(shí)間跨度的增大其準(zhǔn)確率會(huì)不斷降低，但即使采用預(yù)測(cè)值95%置信區(qū)間的下限（圖中灰色區(qū)域的下緣），我國(guó)GDP平減指數(shù)估計(jì)仍然會(huì)增大，我國(guó)的物價(jià)水平預(yù)計(jì)會(huì)不斷上漲。這也意味著我國(guó)大概率會(huì)保持溫和的通貨膨脹以及穩(wěn)定的經(jīng)濟(jì)發(fā)展。

六、結(jié)語(yǔ)

本文基于ARIMA模型，以R語(yǔ)言為分析軟件，對(duì)我國(guó)GDP平減指數(shù)序列進(jìn)行時(shí)間序列建模。整體思路為：首先選取GDP平減指數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)建時(shí)間序列，然后對(duì)該序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，在序列不平穩(wěn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一階差分得到平穩(wěn)序列。在序列非白噪聲的基礎(chǔ)上通過(guò)序列的自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)和最小AIC準(zhǔn)則確定模型的滯后階數(shù)。最后用R語(yǔ)言估計(jì)模型的未知參數(shù)，用擬合的ARIMA（1， 1， 2）模型對(duì)未來(lái)3期的GDP平減指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與真實(shí)值對(duì)比驗(yàn)證模型的可靠性。

綜上，利用ARIMA模型可以在短期很好的預(yù)測(cè)GDP平減指數(shù)的走向，得到的預(yù)測(cè)值比較理想，同時(shí)擬合的模型也符合經(jīng)濟(jì)學(xué)原理檢驗(yàn)。為學(xué)者監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和了解我國(guó)物價(jià)水平、經(jīng)濟(jì)發(fā)展走勢(shì)提供了一定的參考。