周紅娟

摘要：從一份八年級(jí)的校級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷中的一道考查配方法的閱讀理解題的解答與評(píng)分情況說起，反思其命題的教學(xué)導(dǎo)向及暴露出的“喜好偏向”，指出：命題需要警惕網(wǎng)絡(luò)流行試題和自身教研興趣成為“喜好偏向”，可以通過重視教材“經(jīng)典問題”擺正教學(xué)導(dǎo)向。

關(guān)鍵詞：試題命制;教學(xué)導(dǎo)向;“喜好偏向”;配方法

最近，受學(xué)校教導(dǎo)處信任，筆者被安排命制一份八年級(jí)的校級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷，測(cè)試范圍包括整式乘法與因式分解。由于多年任教九年級(jí)，筆者覺得，八年級(jí)這部分內(nèi)容的教學(xué)要重視完全平方公式以及配方法，因?yàn)榕浞椒ㄔ诰拍昙?jí)一元二次方程、二次函數(shù)問題的解決中有著非常廣泛的應(yīng)用。所以，命題組卷時(shí)，筆者選用了一道考查配方法的閱讀理解題。本文從該題的解答與評(píng)分情況說起，反思其命題的教學(xué)導(dǎo)向及暴露出的“喜好偏向”，提供研討。

一、一道配方法閱讀理解試題及其解答與評(píng)分

（一）試題

我們知道，利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而對(duì)a2+2a-3這樣的二次三項(xiàng)式，則不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用配方法配出一個(gè)完全平方式，再用平方差公式分解，過程如下：

a2+2a-3=a2+2a+1-1-3=（a+1）2-4=（a+1+2）（a+1-2）=（a+3）（a-1）。

請(qǐng)用配方法解決下列問題：

（1）分解因式：a2-6a+5;

（2）已知ab=34，a+2b=3，求a2-2ab+4b2的值;

（3）若4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，試求常數(shù)m的值。

（二）預(yù)設(shè)解答和評(píng)分

第（1）、第（2）問不算太難，筆者預(yù)設(shè)學(xué)生根據(jù)閱讀材料，利用完全平方公式能夠順利解決。對(duì)第（3）問，筆者預(yù)設(shè)的解答思路是：將多項(xiàng)式4x2+12x+m局部配方，可得[（2x）2+2×2x×3+32]-9+m=（2x+3）2-9+m;因?yàn)?x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，即利用平方差公式對(duì)代數(shù)式（2x+3）2-9+m變形會(huì)產(chǎn)生因式2x+4，這樣就可逆向推導(dǎo)出（2x+3）2-9+m=（2x+3+1）（2x+3-1）;等式兩邊比較，得出-9+m=-1的結(jié)論，可得m=8的結(jié)果。為突出對(duì)配方法的考查，筆者預(yù)設(shè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：使用十字相乘法等其他方法得出正確結(jié)果的，得分減半。

（三）實(shí)際解答和評(píng)分

閱卷所見學(xué)生的解題思路很多。以下是閱卷組收集的一些學(xué)生的解法：

解法1根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，以及多項(xiàng)式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系，將多項(xiàng)式4x2+12x+m因式分解，得4x2+12x+m=（x+2）（4x+n），因而可得8+n=12，

m=2n，解得n=4，

m=8。

解法2對(duì)多項(xiàng)式4x2+12x+m局部變形，得4x2+12x+m=4x（x+2）+4x+m，分析得出4x+m這個(gè)多項(xiàng)式中含有x+2這個(gè)因式，即4x+m=4（x+2），進(jìn)而求得m=8。

解法3畫出圖1，大矩形的面積是4x2+12x+m，被分成4個(gè)面積是x2的正方形和4個(gè)面積是2x的矩形，以及A和B兩個(gè)矩形。矩形A的一邊長(zhǎng)為x，面積為12x-8x=4x，算出其相鄰的另一邊長(zhǎng)是4，因此矩形B的面積是2×4=8，即m=8。

解法44x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，說明方程4x2+12x+m=0有一根為x=-2。將x=-2代入方程4x2+12x+m=0，可得16-24+m=0，求得m=8。

解法1充分體現(xiàn)了“回到定義”的解題思想，即基于整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，設(shè)出另一個(gè)因式，求出待定的系數(shù)。解法2體現(xiàn)出對(duì)分組分解法的較好理解，即先在一部分和式中找到已知因式，得到剩下的和式中也有已知因式。解法3充分利用了二次式的幾何意義，借助矩形的拼接，以形助數(shù)直觀獲解。解法4從方程的視角看多項(xiàng)式，基于方程的根與多項(xiàng)式的因式的關(guān)系，靈活運(yùn)用方程的根的概念，采用試根法解決問題，體現(xiàn)了“高觀點(diǎn)”的解題思想。

閱卷組覺得，這些解法各有各的精彩，各有各的價(jià)值，如果因?yàn)闆]有采用配方法而被扣去較多的分，對(duì)學(xué)生而言是不公平的。于是，閱卷組討論決定修改評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：不使用配方法，而使用其他方法得出正確結(jié)果的，只扣1分——之所以還扣分，是因?yàn)轭}目提出了使用配方法的要求。

二、關(guān)于命題的“喜好偏向”及教學(xué)導(dǎo)向的思考

檢索一些搜題網(wǎng)站、組卷網(wǎng)站，可以找出海量的名校試卷、縣區(qū)期末試卷以及全國(guó)各地中考試卷。前兩類試卷普遍存在“拿來主義”的命題現(xiàn)象：幾乎所有試題全部可以在網(wǎng)上檢索到原題（數(shù)字、字母、圖形都是原樣）。這樣命題的教學(xué)導(dǎo)向就是“逼著”師生走進(jìn)“題海”、大量“刷題”，誰做得多，誰就可能碰到原題、得到高分。雖然中考試卷較少存在“拿來主義”的命題樣態(tài)，但是，其中依然存在“喜好偏向”的命題現(xiàn)象。對(duì)此，命題人需要自我審視，提高警惕，以進(jìn)一步擺正教學(xué)導(dǎo)向。

（一）警惕“喜好偏向”：不可追逐“網(wǎng)絡(luò)流行”和“個(gè)人興趣”

1.網(wǎng)絡(luò)流行試題常常成為命題的“喜好偏向”。

目前，由于自媒體（如微信公眾號(hào)）的內(nèi)容在微信群或朋友圈的傳播，各地一些熱點(diǎn)試題很快會(huì)成為網(wǎng)絡(luò)流行的試題，特別是經(jīng)過一些地區(qū)中考試卷的“強(qiáng)力推薦”，往往就會(huì)成為命題的“喜好偏向”。茲舉兩例：

1.（2018年北京市中考數(shù)學(xué)卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=kx（x>0）的圖像G經(jīng)過點(diǎn)A（4，1），直線l：y=14x+b與圖像G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求k的值。

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)。記圖像G在點(diǎn)A、B之間的部分與線段OA、OC、BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W。

①當(dāng)b=-1時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);

②若區(qū)域W內(nèi)恰好有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，求b的取值范圍。

2018年之后，這類考題就在北京市各個(gè)區(qū)九年級(jí)階段（月考）練習(xí)、期中（期末）試卷中流行起來。這類試題的出現(xiàn)，改變了有些地區(qū)以反比例函數(shù)圖像（雙曲線）為背景的幾何綜合題命題方式，對(duì)于引導(dǎo)師生關(guān)注反比例函數(shù)的本質(zhì)有著較好的導(dǎo)向作用。

2.（2018年蘭州市中考數(shù)學(xué)卷）如圖2，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=BN，連接AC，交BN于點(diǎn)E，連接DE，交AM于點(diǎn)F，連接CF。若正方形的邊長(zhǎng)為6，則線段CF的最小值是。

解決此題，需要利用一系列已知的或由三角形全等得到的角相等，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AD為直徑的半圓。2018年之后，很多喜歡動(dòng)點(diǎn)軌跡的命題人就不斷圍繞這個(gè)題目進(jìn)行各種改編，并拓展到了“定角定弦”問題。這類考題通常解法比較單一，且具有一定的技巧性，使得師生不斷歸納、提煉解題技巧或模型，把教學(xué)帶向?qū)?xì)枝末節(jié)的關(guān)注。其實(shí)，這類題的很多解題技巧價(jià)值不大：高中學(xué)習(xí)平面解析幾何知識(shí)后，很容易通過“建系，設(shè)點(diǎn)（或其他量），表示長(zhǎng)度，確定最值”的路徑和方法解決。

可見，網(wǎng)絡(luò)流行試題本身的教學(xué)導(dǎo)向有好有壞。但是，一旦這樣的試題經(jīng)常出現(xiàn)，就會(huì)被師生發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”，從而“逼著”師生花費(fèi)較多時(shí)間去收集、研究，進(jìn)而使解題教學(xué)成為“題?！苯虒W(xué)、“刷題”教學(xué)，至少是題型教學(xué)，造成學(xué)生基礎(chǔ)不實(shí)。從這個(gè)意義上看，命題者需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)流行試題提高警惕：可以適當(dāng)挑選好的網(wǎng)絡(luò)流行試題改編組卷，但是不宜過分?jǐn)D占經(jīng)典問題的考查空間。

2.自身教研興趣常常成為命題的“喜好偏向”。

相對(duì)于網(wǎng)絡(luò)流行試題，命題人自身的教研興趣更容易成為命題的“喜好偏向”——實(shí)際上，很多網(wǎng)絡(luò)流行試題也是因?yàn)槊}人自身的教研興趣而成為命題的“喜好偏向”的。比如，命題人偏好幾何模型，往往試卷中關(guān)鍵位置的考題多是幾何綜合題;命題人喜歡繁雜運(yùn)算，往往試卷中有不少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算，或者不少試題的運(yùn)算結(jié)果 “不好看”。

以上文提及的考查配方法的閱讀理解題為例，其設(shè)問“強(qiáng)制”學(xué)生使用配方法解答，多少也是筆者的教研興趣導(dǎo)致的。其實(shí)，盡管配方法是一種非常重要的變形技能，但是對(duì)于因式分解問題而言，“回到定義”去思考，直接分析出另一個(gè)因式的系數(shù)特點(diǎn)，反而是更簡(jiǎn)單和自然的解法。可見，基于教研興趣命制的試題，同樣可能帶來不好的教學(xué)導(dǎo)向，需要命題者提高警惕。

（二）擺正教學(xué)導(dǎo)向：重視教材“經(jīng)典問題”

為了切實(shí)防范命題的“喜好偏向”（這是一件“知易行難”的事），擺正命題的教學(xué)導(dǎo)向，筆者以為，命題人要重視對(duì)教材的研究，挑選出教材中的“經(jīng)典問題”（一般是指那些經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間檢驗(yàn)保留下來的數(shù)學(xué)問題）進(jìn)行改編，從而引導(dǎo)教學(xué)充分關(guān)注教材，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，發(fā)展思維，“以不變應(yīng)萬變”。限于篇幅，也舉兩例：

1.圍長(zhǎng)方形問題。

（1）（面積最大問題）用定長(zhǎng)l的繩子圍矩形，怎樣設(shè)定長(zhǎng)、寬能使圍出的矩形的面積最大？

（2）（周長(zhǎng)最小問題）當(dāng)圍成的矩形的面積一定時(shí)，怎樣設(shè)定長(zhǎng)、寬能使圍成的矩形的周長(zhǎng)最?。?/p>

“圍長(zhǎng)方形”問題是教材中的“經(jīng)典問題”。這類問題的結(jié)論“顯而易見”，學(xué)生在小學(xué)就已熟知，但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明卻需要使用初中階段的數(shù)學(xué)工具。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這類問題設(shè)計(jì)成考題后，難度系數(shù)都在0.5—0.6，具有很好的區(qū)分、測(cè)評(píng)功能，又有很好的教學(xué)導(dǎo)向。

2.正方形邊上的點(diǎn)（非頂點(diǎn)）引出的直角問題。

（1）如圖3，E為正方形ABCD的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F。請(qǐng)指出圖中互余的角有幾對(duì)？

（2）在（1）的條件下，求證：∠BAE=∠CEF。

（3）如圖4，點(diǎn)E、F、G分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD上，且AE=BF=CG，連接EF、FG，求證：EF=GF。

（4）如圖5，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連接AE，作EF⊥AE，交正方形ABCD的頂點(diǎn)C處的外角平分線于點(diǎn)F，求證：AE=EF。

正方形是接近完美的直邊圖形，其四條邊相等，四個(gè)角均為90°。以一條邊上任意一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）為頂點(diǎn)在正方形內(nèi)作直角，直角的邊與正方形的邊相交（相當(dāng)于作出正方形的一個(gè)“形周角”，類比“圓周角”可叫“方周角””），結(jié)合正方形的邊形成的平角以及頂點(diǎn)處的直角，可以得到很多角互余、很多角相等以及很多（直角）三角形相似;如果加上一些線段相等的條件，可以得到很多（直角）三角形全等，進(jìn)而得出更多的線段相等。上述4個(gè)小題便是基于這一“經(jīng)典問題”的改編，從角互余到角相等，再到直角三角形全等（得到線段相等），最后到非直角三角形（即最大的角為135°的鈍角三角形）全等（得到線段相等），自然深入。特別值得一提的是，相比于上述蘭州市中考題，本題考查的圖形更為簡(jiǎn)潔、基本，命制并不顯得刻意，解答無須復(fù)雜技巧，尤其是第（4）小題，即使想不到構(gòu)造鈍角三角形全等，也可以發(fā)現(xiàn)A、E、C、F四點(diǎn)共圓，得到∠AFE=∠ACE=45°，或者利用正方形和外角平分線設(shè)出有關(guān)線段的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形相似（相似很容易得出，全等比較難得出）得到線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，通過解方程的手段解決問題（這是算的方法，比較好想，其實(shí)體現(xiàn)了解析幾何的思想，也體現(xiàn)了張景中院士改造歐氏幾何的“教育數(shù)學(xué)”思想）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉東升.學(xué)測(cè)命題要重視“關(guān)鍵題”的教學(xué)導(dǎo)向——有感于一道九年級(jí)“糾錯(cuò)題”[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（4）.

[2] 王小林.關(guān)注經(jīng)典問題教學(xué)：值得重視的教研主題——從李大潛院士“懷念徐質(zhì)夫老師”說起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（8）.

[3] 郭文欣.求聯(lián)求變：讓經(jīng)典問題從“快思”到“慢想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（10）.

[4] 徐章韜.從全等、相似到面積、三角——教育數(shù)學(xué)研究之七[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（1）.