鞏金秋

摘 要：“直線的傾斜角與斜率”是高中解析幾何的第一節(jié)課，學生通過該節(jié)課展現(xiàn)的解析幾何研究的基本方法和思路，可以了解解析幾何的研究內(nèi)容。教學設計從學生已有的知識出發(fā)，注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助已經(jīng)學習過的平面向量和三角函數(shù)的相關內(nèi)容，讓學生理解直線的傾斜角與斜率概念提出的合理性和必要性，在新舊知識的聯(lián)系與遷移中感受概念的生成。

關鍵詞：解析幾何;概念教學;傾斜角與斜率;教學設計

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：2095-624X（2021）33-0056-03

一、課前分析

（一）教材分析

本節(jié)課是《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》（人教A版）第二章第1節(jié)第1課時“直線的傾斜角與斜率”的內(nèi)容。本節(jié)課的學習是高中解析幾何內(nèi)容的開始，傾斜角與斜率是解析幾何中的重要概念，也是在平面直角坐標系中研究直線方程、兩直線的位置關系和其幾何性質(zhì)的基礎。直線是比較全面地運用解析幾何基本思想方法研究的第一個基本圖形[1]。通過本節(jié)課的教學，學生可以初步體會把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程，滲透解析幾何的基本思想和方法，提升直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)[2]。所以，本節(jié)課起著承上啟下的作用。

（二）學情分析

學生在高一已經(jīng)學習了平面向量和三角函數(shù)的相關內(nèi)容，同時初中對直線的性質(zhì)有了一定了解，這些為本節(jié)課的教學打下了基礎。針對三角函數(shù)值的計算，學生習慣將其放入直角三角形中求解。教師在教學中可以根據(jù)角的范圍分類討論，也可以引導學生聯(lián)系三角函數(shù)的定義，通過平移向量，利用點的坐標求出三角函數(shù)值。后一種處理方式更能幫助學生進一步明確三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)新舊知識之間的聯(lián)系，使學生在學習新知的過程中回憶、鞏固舊知，完善數(shù)學認知體系，促進學生知識的概括與遷移[3]。

（三）教學目標

目標一：掌握直線的傾斜角與直線斜率的概念;理解直線傾斜角的唯一性和斜率的存在性。

目標二：了解傾斜角和斜率概念的形成過程，感受分類討論的數(shù)學方法、從特殊到一般的探究思路，理解其分別從形和數(shù)兩個角度刻畫直線的傾斜程度，體會數(shù)形結合的思想。

目標三：掌握過兩點的直線斜率公式，會用斜率表示直線的方向向量，初步感知解析幾何的研究方法。

（四）教學重點、難點

重點：直線的傾斜角與斜率的概念、過兩點的直線的斜率計算公式;難點：用向量方法導出斜率定義的過程。

二、教學過程

（一）追根溯源，感受數(shù)學

在以往的幾何學習中，我們通過直觀感知、度量計算等方法研究幾何圖形的形狀、大小、位置關系，這種方法稱為綜合法。隨著17世紀以來近代科學的發(fā)展，研究復雜曲線的需求越來越強烈。伴隨代數(shù)研究的不斷深入，方程工具運用逐漸嫻熟，數(shù)學家開始探索將代數(shù)語言與幾何圖形進行結合。1637年，法國數(shù)學家笛卡爾受到在蜘蛛網(wǎng)的啟發(fā)，發(fā)明了坐標系，將幾何和代數(shù)相結合，創(chuàng)立了解析幾何學。解析幾何的基本方法是建立坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。

解析幾何是高中數(shù)學的一個重要模塊，主要包括教材第二章的直線和圓的方程、第三章圓錐曲線的方程。本節(jié)課，我們從最簡單的直線出發(fā)，探究直線的傾斜角和斜率。

設計意圖：本節(jié)課不僅是直線的傾斜角與斜率的第一課時，而且也是高中解析幾何內(nèi)容的開始。解析幾何的發(fā)展歷史和基本思想應有所體現(xiàn)，讓學生對本章和解析幾何的內(nèi)容有所了解，體現(xiàn)了內(nèi)容的整體性、綜合性，起到了凝神、起興、點題的作用。

（二）提出問題，激趣啟思

問題1：確定一條直線的幾何要素是什么？

師生活動：兩點確定一條直線。結合學過的向量知識，一個點和一個方向也可以確定一條直線。

設計意圖：教師提出問題，學生思考，回顧舊知，激發(fā)學生求知欲。

問題2：如果把方向去掉，我們在平面直角坐標系中取一點P，經(jīng)過點P可以做多少條直線？這些直線有什么區(qū)別？

師生活動：可以做無數(shù)條直線，區(qū)別是它們的方向不同。

設計意圖：學生通過觀察動圖，理解經(jīng)過點P可以做無數(shù)條直線，強調(diào)直線方向的重要性。

問題3：用什么角來描述直線的方向呢？

師生活動：可以用角來刻畫直線的方向。因為這些直線相對于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同，所以我們可以用這樣的角來表示這些直線的方向。

設計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)可以用角描述直線的方向，理解直線傾斜角定義的合理性。

（三）幾何直觀，概念形成

通過上面3個問題，可自然引出直線的傾斜角概念。

直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角。

直線傾斜角的取值范圍：規(guī)定當直線和軸平行或重合時它的傾斜角為0°。因此，直線的傾斜角0°≤α<180°。

設計意圖：通過問題串，學生討論，引導學生思考傾斜角的意義和作用，形成傾斜角的定義。借助多媒體技術，直線繞點P旋轉(zhuǎn)，引導學生觀察直角坐標系下傾斜角為銳角、直角、鈍角時直線的位置，感受傾斜角的變化，自然得到傾斜角的取值范圍。

（四）代數(shù)量化，探尋結論

直線的傾斜角是一個幾何概念，從“形”上體現(xiàn)傾斜程度，而解析幾何的基本思想為借助于“數(shù)”研究“形”，把“形”的問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)”的問題，因此，我們要找到傾斜角與點坐標的關系。

探究1：直線l經(jīng)過O（0，0），P（? ?，1）直線l的傾斜角α與O，P的坐標有什么關系？

學生活動：借助圖象，思考并討論傾斜角與坐標的關系。