寇元哲，鄭興榮，謝凱強(qiáng)，唐 歡，鄭燕飛

(1. 隴東學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000；2. 隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院物理系，甘肅 慶陽(yáng) 745000；3. 西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715)

隨著量子領(lǐng)域的三大研究方向——量子通信、量子計(jì)算和量子精密測(cè)量的快速發(fā)展，加快發(fā)展量子科技，對(duì)促進(jìn)高質(zhì)量發(fā)展、保障國(guó)家安全具有非常重要的作用. 而這些方向和領(lǐng)域的研究基礎(chǔ)就是基本的量子理論模型，理論研究各種量子理論模型的物理特性，如諧振子、勢(shì)箱函數(shù)、氫原子的軌道和電子云圖以及零點(diǎn)振動(dòng)能等性質(zhì)[1-5]，其關(guān)鍵在于正確的模型推導(dǎo)和精確的仿真計(jì)算. 這些特殊的量子理論模型推導(dǎo)和仿真計(jì)算不但是了解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)的基石，而且是所有量子理論的基礎(chǔ)[4]. 在自然界中，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)都可以分解成若干彼此獨(dú)立的諧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子的表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等. 所以說(shuō)，諧振子作為量子理論體系中最典型、最基礎(chǔ)的量子理論模型，應(yīng)用于各種較復(fù)雜的體系和理論中，幾十年來(lái)其理論和仿真研究一直是粒子物理、強(qiáng)子物理和量子通信等研究領(lǐng)域十分重要的課題[6-9]. 隨著各學(xué)科的交叉發(fā)展，其研究在近10 年來(lái)趨于白熱化[9-14]. 如：Bezák 等[8]在薛定諤方程的傅立葉分析基礎(chǔ)上研究了線性諧振子的相關(guān)特性；張碩等[10]根據(jù)量子理論給出了球坐標(biāo)系下角動(dòng)量平方算符和三維諧振子哈密頓算符的本征值和本征波函數(shù)；張小偉[11]對(duì)電場(chǎng)中線性諧振子問題進(jìn)行了求解；張迪等[12]對(duì)量子力學(xué)中線性諧振子的可視化問題進(jìn)行了研究；沈曼等[13]給出了線性諧振子的坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系；凌瑞良[14]使用不變本征算符法求解了一維線性諧振子的量子化能譜等. 這些成果雖然很好地研究了線性諧振子的各種特性，但都是獨(dú)立地從理論上或者數(shù)值計(jì)算上進(jìn)行了研究.

為了進(jìn)一步研究n維線性諧振子的特性，本文在前期研究工作的基礎(chǔ)上[15]，重點(diǎn)研究了二、三維線性諧振子的本征波函數(shù)及其特性，并運(yùn)用數(shù)值仿真對(duì)線性諧振子的特性做了可視化的研究. 尤其是四維圖像的仿真結(jié)果對(duì)研究諧振子及其特性提供了一條便利的途徑. 本文的工作彌補(bǔ)了前期工作的一些缺陷[15]，得到了一些較好的結(jié)果，對(duì)于抽象性概念的理解具有重要意義.

1 理論模型與推導(dǎo)

1.1 二維線性諧振子根據(jù)空間理論，在直角坐標(biāo)系下二維線性諧振子的勢(shì)能函數(shù)為

由于二維諧振子的定態(tài)薛定諤方程在x和y方向上相互獨(dú)立，所以基于數(shù)學(xué)物理思想，利用分離變量法，令ψ(x，y)=φ(x)φ(y)，將其代入公式（2），得到二維諧振子的波函數(shù)為

這完全符合量子理論中的普朗克假設(shè)理論. 所以得到二維線性諧振子的0 點(diǎn)能（基態(tài)N=nx+ny=0 對(duì)應(yīng)的能量）為

所以，體系中的能級(jí)簡(jiǎn)并度為

基于計(jì)算效率和仿真結(jié)果，在后面的仿真模擬中，選擇自然單位?=μ=ω=1，則有α=1，因此歸一化系數(shù)變?yōu)?/p>

1.2 三維線性諧振子同理，根據(jù)二維線性諧振子的理論模型與推導(dǎo)，得到三維各向同性諧振子的薛定諤方程為

在后面的模擬計(jì)算中，同樣選擇自然單位?=μ=ω=1，α=1 計(jì)算各參量.

2 結(jié)果與討論

2.1 n 維線性諧振子的能級(jí)數(shù)值仿真根據(jù)能級(jí)的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)值仿真得到了一、二、三維線性諧振子的能級(jí)圖，如圖1 所示.

圖1 一、二、三維線性諧振子能級(jí)的分布Fig. 1 The distributions of energy levels of one-，two- and three-linear harmonic oscillator

從圖1 可以看出，線性諧振子能級(jí)特點(diǎn)：不論是一維、二維還是三維，線性諧振子能級(jí)是離散型，只能取分立值，能量是量子化的；諧振子的能級(jí)是均勻分布的，相鄰兩能級(jí)間隔ΔE=?ω. 這種結(jié)果符合普朗克假設(shè)，并且與理論結(jié)果完全吻合.

2.2 二維線性諧振子的數(shù)值仿真結(jié)合二維線性諧振子的理論推導(dǎo)，運(yùn)用MATLAB 軟件繪制不同能級(jí)下線性諧振子的波函數(shù)，得到了16 種情況下二維線性諧振子的波函數(shù)及其等值線圖，如圖2 所示. 圖2 中xOy平面代表二維線性諧振子波函數(shù)的等值線.

這種波函數(shù)及其等值線圖既給出了波函數(shù)的三維直觀圖，更能凸顯出波函數(shù)的波峰、波谷. 從圖2 中可以看到：二維線性諧振子的簡(jiǎn)并度為N+1，但N=0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)并，如圖2(a)；波函數(shù)與Ψ=0 平面的交線數(shù)為N；從等值線中可以看出波峰波谷的總個(gè)數(shù)為(nx+1)(ny+1). 這種可視化的數(shù)值仿真結(jié)果與理論結(jié)果完全吻合. 同時(shí)，三維立體表示的波函數(shù)仿真圖與二維平面表示的等值線圖相結(jié)合的這種表示方式，既形象、直觀地模擬出二維波函數(shù)的立體圖形，又彌補(bǔ)了本文前期工作的缺陷[15].

圖2 16 種不同量子狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的波函數(shù)及其等值線的分布Fig. 2 The distributions of the wave function and isolines at 16 diffent quantum states.

同時(shí)，結(jié)合二維諧振子的理論推導(dǎo)，運(yùn)用MATLAB 軟件繪制不同能級(jí)下線性諧振子的波函數(shù)幾率密度，得到了對(duì)應(yīng)的16 種情況下二維線性諧振子的波函數(shù)幾率密度及其偽真彩圖，如圖3 所示.

從圖3 可知，一般情況下，二維線性諧振子的幾率密度分布的極大值個(gè)數(shù)為(nx+1)(ny+1)，波函數(shù)的偽真彩圖3（Ⅱ）更能直觀地顯示出幾率密度的峰值個(gè)數(shù)與大小，其與幾率密度圖形成遙相呼應(yīng)、互為補(bǔ)充的作用.

圖3 16 種不同狀態(tài)下的波函數(shù)幾率密度及其偽真彩圖的分布Fig. 3 The distributions of the wave function probability density and pseudo panel at 16 different quantum states

2.3 三維線性諧振子的數(shù)值仿真根據(jù)公式（14），結(jié)合數(shù)理方法的推導(dǎo)，運(yùn)用MATLAB 軟件的切片法，得到了三維線性諧振子的四維空間切片圖，如圖4 所示.

圖4 不同量子狀態(tài)下三維線性諧振子波函數(shù)的四維切片F(xiàn)ig. 4 Four-dimensional slice diagram of three-dimensional linear harmonic oscillator wave function at diffent quantum states

從圖4 中可以看到：三維線性諧振子的簡(jiǎn)并度為nx+ny+nz+1；以基態(tài)波函數(shù)為準(zhǔn)時(shí)，在一定范圍內(nèi)（[-3,3]），x、y、z軸上的切片數(shù)分別為nx+1、ny+1、nz+1，總的切片數(shù)為nx+ny+nz+3. 截至目前，理論上對(duì)三維線性諧振子的研究很少，尤其是對(duì)三維諧振子的四維圖形的研究處于空白，但本文的這種可視化結(jié)果不但與理論結(jié)果基本符合，而且彌補(bǔ)了四維空間圖形的研究空白. 這對(duì)于抽象性概念的理解具有重要意義.

3 結(jié)論

線性諧振子作為量子理論中最重要的模型之一，其重要性不言而喻. 基于此，本文詳細(xì)、全面地推導(dǎo)了二、三維線性諧振子的特性，如本征函數(shù)、幾率密度和能級(jí)等. 同時(shí)，運(yùn)用MATLAB 軟件對(duì)其各項(xiàng)特性進(jìn)行仿真模擬. 基于量子理論和數(shù)值計(jì)算，本文重點(diǎn)研究了量子力學(xué)中二、三維線性諧振子的基本特性，包括波函數(shù)及其能量、能級(jí)和幾率密度，得到了三維和四維空間圖像的可視化結(jié)果. 得到目前研究空白的三維諧振子的四維圖形和二維諧振子的三維圖形，彌補(bǔ)了本文前期工作的缺陷（二維波函數(shù)圖無(wú)等高線和偽真彩圖，導(dǎo)致波函數(shù)圖形看不清楚；三維波函數(shù)圖的空缺）. 從理論推導(dǎo)和仿真圖中可以得到：線性諧振子能量只能取分立值，能量是量子化的；諧振子的能級(jí)是均勻分布的，相鄰兩能級(jí)間隔ΔE=?ω. 二維情況下，諧振子的簡(jiǎn)并度為N+1，但N=0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)并；波函數(shù)與Ψ=0 平面的交線數(shù)為N；幾率密度圖更能直觀地顯示出幾率密度的峰值個(gè)數(shù)與大小，且?guī)茁拭芏确植嫉臉O大值個(gè)數(shù)為(nx+1)(ny+1). 三維情況下，以基態(tài)波函數(shù)為準(zhǔn)時(shí)，在一定范圍內(nèi)（[-3,3]），x、y、z軸上的切片數(shù)分別為nx+1、ny+1、nz+1，總的切片數(shù)為nx+ny+nz+3. 另外，本文通過(guò)MATLAB 軟件首次得到了三維線性諧振子的四維空間切片圖，彌補(bǔ)了前期工作的一些缺陷，而且填補(bǔ)了四維空間圖像的空白. 通過(guò)這種可視化的研究，更加形象地理解了抽象的線性諧振子的一些特性，對(duì)線性諧振子有了更加深入的認(rèn)識(shí). 這種可視化的結(jié)果與理論結(jié)果完全一致，這對(duì)于抽象性概念的理解具有重要意義.