張宏杰，芮偉國

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

分數(shù)階微積分的概念與經(jīng)典的整數(shù)階微積分的概念幾乎誕生于同一個時代，即Leibniz 時代，然而分數(shù)階微積分由于長期缺乏應(yīng)用背景和相應(yīng)的數(shù)學運算方法，其發(fā)展歷程異常艱辛且非常緩慢，但隨著幾代科研人員和數(shù)學家們的不斷投入研究，該境況得到了極大的改善. 特別是近幾十年以來，隨著分數(shù)階微積分在反常擴散研究領(lǐng)域，信號和圖像處理領(lǐng)域、控制理論、粘彈性力學、流變學以及生物科學等眾多領(lǐng)域和學科之中得到了非常廣泛的應(yīng)用，人們對分數(shù)階微分系統(tǒng)的研究越來越感興趣，而且這類研究倍受國內(nèi)外學者的關(guān)切，從文獻[1～16]以及這些文獻中所引用的其他大量文獻可窺其一斑. 從另外一個層面來講，由于自然界和工程中存在大量的分數(shù)維現(xiàn)象，經(jīng)典整數(shù)維理論已經(jīng)不再適用于這些問題的描述和解決，故人們只好引入分數(shù)階微積分理論取而代之，使之不再受整數(shù)維度的限制，這也是分數(shù)階微分系統(tǒng)越來越受到人們重視的主要原因. 但是，相對于經(jīng)典的整數(shù)階微分方程而言，分數(shù)階微分方程的求解研究工作卻變得十分困難，目前大多數(shù)關(guān)于分數(shù)階微分方程的研究工作主要集中在正解的研究[17-18]以及解的存在性、穩(wěn)定性和數(shù)值模擬等方面. 本文的工作將立足于分數(shù)階動力系統(tǒng)在相空間內(nèi)的動力學行為研究，即在相空間內(nèi)平衡點隨參數(shù)變化而變化的情況以及在平衡點鄰域內(nèi)系統(tǒng)的相軌線的動力學性態(tài)研究，這些研究與上述文獻中的研究內(nèi)容大不相同.

本文擬通過非奇異的線性變換和Laplace 變換，并借助于Mittag-Leffler 函數(shù)的斂散性，較為全面和深入地探討下列Caputo 型分數(shù)階三維自治系統(tǒng)

1 非奇異線性變換下系統(tǒng)（1）的標準型約化

即

類似地，可求得：

下，系統(tǒng)(1)被約化成標準型

綜上所述，三維分數(shù)階自治系統(tǒng)的線性變換相較于二維分數(shù)階線性變換復(fù)雜了許多，我們不禁思考，在三維分數(shù)階系統(tǒng)平衡點的類型以及相應(yīng)的動力學行為較二維系統(tǒng)而言又有哪些異同之處呢？平衡點鄰域內(nèi)軌線的動力學性態(tài)又會發(fā)生怎樣的改變呢？詳情請參見第2 節(jié)的討論.

2 系統(tǒng)的平衡點類別及其鄰域內(nèi)軌線的動力學性態(tài)和空間圖貌

由于線性變換不改變系統(tǒng)的動力學性質(zhì)和動力學行為，因此系統(tǒng)（1）及其對應(yīng)的標準型系統(tǒng)的動力學性質(zhì)和動力學行為是一樣的. 為此，本節(jié)中我們僅討論第1 節(jié)提供的標準型系統(tǒng)的平衡點的類別以及平衡點鄰域內(nèi)軌線的動力學性態(tài).

以圖1（a）為例，將其分別投影到3 個坐標平面 ξoη, ξoδ, ηoδ 上，得到圖2（a），（b），（c）（圖2 中 ξ的坐標單位長取1×1010）. 不難發(fā)現(xiàn)二維平面圖圖2 中（a），（b），（c）中的原點均是穩(wěn)定的，且是漸近穩(wěn)定的，其平衡點類型為穩(wěn)定結(jié)點. 同樣地，我們可以類似地分析圖1（b）的坐標投影（這里省略），也可以得到平衡點類型是不穩(wěn)定的結(jié)點的結(jié)論. 因此，當 λi＜0 (i=1,2,3) 時，我們稱原點 ( 0,0,0) 為三維空間中的穩(wěn)定結(jié)點；當λi＞0 (i=1,2,3) 時，我們稱原點 ( 0,0,0) 為三維空間中的不穩(wěn)定結(jié)點.

圖1 同號相異實特征根情形下系統(tǒng)（25）的空間相圖Fig. 1 The phase portraits of the system (25) under different real characteristic roots with same sign

圖2 同號相異實特征根情形下系統(tǒng)（25）的空間相圖投影圖Fig. 2 The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with same sign

情形2 當 λ1,λ2,λ3為異號相異實根時，系統(tǒng)(1)的線性變換與標準型及其解的表達式與情形1 完全一樣，只不過其中 λ1,λ2,λ3的符號不盡相同罷了.

例如 當 λ1＜0 ＜λ2＜λ3時，則有 ξ (t)→0,η(t)→+∞,δ(t)→∞(t→+∞), 因而在此種情形下自治系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)定的；當 λ1＞0 ＞λ2＞λ3時，有 ξ (t)→∞,η(t)→0,δ(t)→0(t→+∞)，從而該系統(tǒng)的零解仍是不穩(wěn)定的. 因此，可以得到在該情形下系統(tǒng)（1）的零解都不穩(wěn)定這一結(jié)論，現(xiàn)繪制出系統(tǒng)（26）的空間相圖，見圖3（a）與（b）.

圖3 異號相異實特征根情形下系統(tǒng)（25）的空間相圖Fig. 3 The phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

以圖3（a）為例，將其分別投影到 ξ oη, ξoδ, ηoδ 平面上，得到其二維平面相圖，見圖4（a），（b），（c）.

結(jié)合二維平面中奇點的性質(zhì)與軌線走勢，不難看出圖4 中（a）和（b）圖在二維平面中的平衡點類型為鞍點，具有不穩(wěn)定性質(zhì)（從圖3 也可以直觀地看出這一性質(zhì)），而圖4（c）圖在其二維平面中平衡點的類型為結(jié)點. 因此，在三維空間中，我們將這樣類型的平衡點（ 0,0,0） 稱為鞍-鞍-結(jié)型奇點，其具有部分穩(wěn)定的特性.

圖4 異號相異實特征根情形下系統(tǒng)（25）的空間相圖投影圖Fig. 4 The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

情形3 當特征根 λ2=λ3為二重實根時，系統(tǒng)（1）經(jīng)線性變換（21）化成下列標準型

通過Laplace 變換求得系統(tǒng)（28）的解為

以圖5（a）為例，將其投影到三個坐標平面上，得到圖6（a），（b），（c）.

圖5 特征根為二重實根的情形下系統(tǒng)（28）的空間相圖Fig. 5 The phase portraits of the system (28) under double real characteristic roots

從圖6 以看出在3 個二維投影平面上零解均是漸近穩(wěn)定的，這一結(jié)論也可以通過解（27）式的漸近性質(zhì)得到驗證，且在此投影下，圖6（a）和（b）平衡點的類型為結(jié)點，圖6（c）的平衡點類型為退化結(jié)點. 同樣地，在圖5（b）下也可以獲得相應(yīng)的投影，且得到的圖形會與圖6（a）,（b）,（c）形狀相一致，只是軌線走向剛好相反，即平衡點類型不發(fā)生改變，但其穩(wěn)定性相反.

圖6 特征根為二重實根的情形下系統(tǒng)（28）的空間相圖投影圖Fig. 6 The map of phase portraits of system (28) under triple real characteristic roots

情形4 當特征根 λ1=λ2=λ3=λ 為三重實根時，可分為以下2 種情況：

（1） λ 為三重實根，且a2,a3,b3≠0，微分方程組在其線性變換（23）下的標準型為

對（30）式施行Laplace 變換求得其解:

同樣地，以圖7（a）為例，將其分別投影到坐標平面 ξoη,ξoδ,ηoδ 上，得圖8（a）,（b）,（c）. 不難看出，圖8（a）,（b）,（c）在二維平面上平衡點的類型均是退化結(jié)點，且具有漸近穩(wěn)定的性質(zhì). 反之，若將圖7（b）分別投影到3 個坐標平面，圖形形狀不發(fā)生改變，但是軌線走勢與之相反，即平衡點類型仍為退化結(jié)點，但是不再具有穩(wěn)定性這一性質(zhì)，這也可以由 ξ (t)→+∞, η(t)→+∞, δ(t)→+∞(t→+∞) 看出.

圖7 三重實特征根情形下系統(tǒng)（30）的空間相圖Fig. 7 The phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

圖8 三重實特征根情形下系統(tǒng)（30）的空間相圖投影圖Fig. 8 The map of phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

（2） λ 是三重實根，且a2,a3,b1,b3,c1,c2均為零時，系統(tǒng)(1)本身就是標準型:

當 λ ＞0 時，顯然有x(t)→∞,y(t)→∞,z(t)→∞(t→+∞), 故平衡點 ( 0,0,0) 是不穩(wěn)定的；而當 λ ＜0 時，由于x(t)→0,y(t)→0,z(t)→0 (t→+∞), 則平衡點 ( 0,0,0) 是穩(wěn)定的. 其空間軌線性態(tài)如圖9（a），（b）（圖9中 ξ, η, δ的 坐標單位長為1×1021）. 此時，我們稱平衡點 ( 0,0,0) 為空間的臨界結(jié)點，當 λ ＞0 時，為不穩(wěn)定結(jié)點；當 λ ＜0 時，為穩(wěn)定結(jié)點.

圖9 三重實特征根情形下系統(tǒng)（32）的空間相圖Fig. 9 The phase portraits of system (32) under triple real characteristic roots