蔣志琳，王崇淦，謝春玲

(湖南中大設(shè)計院有限公司，湖南 長沙410075)

錨板作為一種高效、簡單且成本低廉的能提供抗拔力的基礎(chǔ)型式，在工程中得到了廣泛應(yīng)用，其抗拔承載特性也一直是巖土工程研究的重點(diǎn)?；谄淦茐姆秶推茐臋C(jī)理，錨板可分為淺埋錨板和深埋錨板[1?2]。淺埋錨板破壞時上覆土體存在明顯的破壞面，且從錨板端點(diǎn)向上延伸到地表，呈整體剪切破壞。而深埋錨板則是以錨板周圍土體的局部破壞為主，土體中沒有明顯的破裂面，一般伴隨著地表隆起現(xiàn)象。對于淺埋錨板的抗拔承載特性研究，主要有以下幾種研究方法：模型試驗、極限分析法、極限平衡法和數(shù)值分析方法。由于極限分析方法避免了復(fù)雜的應(yīng)力?應(yīng)變過程，相較于極限平衡法具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。因此，極限分析方法成為巖土工程問題研究的最常見且有效的方法之一，在淺埋錨板抗拔特性的研究中也非常有效。因而，對于錨板抗拔承載特性取得了卓有成效的研究?；跇O限分析上限定理，黃茂松等[3?4]基于剛性塊體破壞機(jī)制，探究了淺埋條形錨板的抗拔承載特性。趙煉恒等[5?6]考慮巖土體材料固有的強(qiáng)度非線性特性，采用外切線方法引入非線性強(qiáng)度指標(biāo)，開展了錨板抗拔特性分析?？紤]到外切線方法引入的強(qiáng)度指標(biāo)是相同的，塑性應(yīng)變增量方向是一致的，并沒有反映巖土體摩擦角隨正應(yīng)力的變化關(guān)系。因此，并非真正意義上的非線性特性分析。在極限分析上限定理的基礎(chǔ)上，基于非線性破壞準(zhǔn)則和關(guān)聯(lián)流動法則，王洪濤等[7-8]構(gòu)建了條形錨板的曲線型破壞機(jī)制，通過虛功率原理建立了抗拔力的泛函，根據(jù)變分原理得到了條形錨板的極限抗拔力。進(jìn)一步，ZHAO等[9?10]構(gòu)建了圓形錨板的抗拔破壞機(jī)制，開展了圓形錨板的抗拔特性分析。在錨板剪脹特性的研究方面，MERIFIED等[11]采用極限分析有限元方法研究了砂土中水平和豎直條形錨板的極限抗拔力，深入分析了土體內(nèi)摩擦角、剪脹角、錨板埋深和粗糙度等因素的影響。GIAMPA等[12]考慮砂土的剪脹效應(yīng)，采用模型試驗、極限平衡方法、以及數(shù)值分析方法研究了淺埋圓形螺旋錨的極限抗拔力。但均基于線性準(zhǔn)則，并沒有考慮巖土體材料固有的非線性特性。然而，已有研究大多建立在巖土體材料服從相關(guān)聯(lián)流動法則的基礎(chǔ)上。大量研究成果也證實：巖土體材料一般并不遵循相關(guān)聯(lián)流動法則[13?16]，巖土材料的膨脹角與摩擦角往往是不一致，極限狀態(tài)產(chǎn)生的剪脹角一般小于相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則要求的值(即，內(nèi)摩擦角)，巖土材料服從非相關(guān)流動規(guī)律[17?19]，采用相關(guān)聯(lián)流動法則往往會高估土體的剪脹特性，當(dāng)材料的剪脹角不等于摩擦角時，材料服從非關(guān)聯(lián)流動法則。因此，SHI等[20]基于非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則以及非關(guān)聯(lián)流動法則，分析了淺埋條形錨板的抗拔特性，其結(jié)果表明，土體的強(qiáng)度非線性和剪脹特性對錨板的極限抗拔力存在明顯影響。趙煉恒等[5]考慮非關(guān)聯(lián)流動法則和非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，探究了水平淺埋矩形錨板的極限抗拔力。此外，考慮非關(guān)聯(lián)流動法則和非線性破壞準(zhǔn)則對巖土結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性或承載力的影響，也取得了較為豐富的成果[21?24]。但上述方法均通過“外切線”方法引入非線性強(qiáng)度指標(biāo)，使得塑性應(yīng)變增量方向一致，忽略了強(qiáng)度指標(biāo)隨正應(yīng)力的變化關(guān)系，并非真正意義上的非線性分析。鑒于同時考慮巖土體材料強(qiáng)度非線性和剪脹特性對錨板抗拔特性的研究尚未見報道，本文基于非線性Mohr-Coulmb破壞準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動法則，通過對非線性準(zhǔn)則進(jìn)行修正從而考慮土體的剪脹特性，在機(jī)動許可的速度場中計算內(nèi)能耗散功率和外力功率。通過虛功率原理建立抗拔力的泛函表達(dá)式，采用歐拉方程和Runge-Kutta法得到破裂面方程，從而得到條形錨板的極限抗拔力。通過與有限元數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對比說明了本文方法的有效性，進(jìn)一步開展了土體的剪脹特性和非線性特性對條形錨板的抗拔特性分析。本文研究綜合考慮了土體的強(qiáng)度非線性和剪脹特性對錨板抗拔性能的影響，具有一定的理論研究價值和實際工程意義。

1 基本理論

非線性是巖土體材料非常重要的特性，主要表現(xiàn)在土體參數(shù)摩擦角會隨著應(yīng)力水平的變化而變化。在σ-τ平面內(nèi)，它表征的是正應(yīng)力與剪切強(qiáng)度的非線性關(guān)系[9?10,25]，如圖1所示。當(dāng)一個應(yīng)力矢量從原點(diǎn)逐漸增加到該屈服曲線時，土體便達(dá)到屈服，并開始發(fā)生破壞。若將塑性正應(yīng)變速率和剪切應(yīng)變速率組成的坐標(biāo)系與應(yīng)力坐標(biāo)系重合，當(dāng)土體服從相關(guān)流動法則時，屈服點(diǎn)處的總塑性應(yīng)變速率和屈服面正交，且總塑性應(yīng)變速率與塑性剪切應(yīng)變速率之間的夾角為φt，因此，φt=atan(dτ/dσ)。

圖1 非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則Fig.1 Nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion

對于非線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則[5-7,9,26]，其表達(dá)式為：

其中，C0為土體的初始黏聚力;σt為土體的單軸抗拉強(qiáng)度，在σ-τ平面內(nèi)，其分別表示屈服準(zhǔn)則與縱軸、橫軸的截距;m為表征土體強(qiáng)度非線性的系數(shù)，m≥1.0,當(dāng)m=1.0時則退化為線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。

然而根據(jù)極限分析上限理論，巖土材料在發(fā)生塑性流動時服從相關(guān)聯(lián)流動法則，此意味著產(chǎn)生較大的剪脹，實際上巖土材料的剪脹并沒有預(yù)測的那么大。大量研究成果也證實：巖土體材料一般并不遵循相關(guān)聯(lián)流動法則[13?16]，當(dāng)材料的剪脹角不等于摩擦角時，材料服從非關(guān)聯(lián)流動法則，此時速度方向與間斷面的夾角為剪脹角。而巖土體材料都具有強(qiáng)度非線性特性，為能使用極限分析定理，考慮非關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則，采用非線性剪脹系數(shù)η直接對破壞準(zhǔn)則進(jìn)行修正[23?24]，修正后的非線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則為：

2 上限分析

2.1 模型建立

本文假定地表水平，錨板水平埋設(shè)，且錨板埋深屬于淺埋范圍，即錨板上覆土體破裂時存在明顯的破裂面。土體服從非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則，錨板在承受上拔荷載時，錨板和土體視為整體向上運(yùn)動，破壞面上速度與破壞面切線的夾角為剪脹角ψ，破壞面切線與水平方向的夾角為θ，由圖2可知，cotθ=g′(z)。土體破裂面曲線方程假設(shè)為y=g(z)，錨板埋深為H，錨板寬度為B=2r，地表破壞點(diǎn)至錨板中點(diǎn)的水平距離為L，錨板承受的上拔力為Pu，地表超載為σs。以z為自變量。

圖2 水平淺埋錨板抗拔破壞機(jī)制Fig.2 Uplift failure mechanism of shallow horizontal anchor plate

2.2 功率計算

取z方向單位長度微元體分析，由圖2中幾何關(guān)系可知，破壞面上的長度

非線性準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動法則條件下，單位面積上的內(nèi)能耗散功率為[26]

因此，破壞面上內(nèi)能耗散功率為

重力功率

上拔力功率

地表超載功率

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程得：

由此，可得條形錨板的極限抗拔力為

2.3 最小上限解條件

根據(jù)ZHANG等[26]的研究，在臨界狀態(tài)下，當(dāng)功率平衡和靜力平衡條件同時滿足時可得到最小的上限解答。由圖2所示的軸對稱破壞機(jī)制可知，在水平方向上合力為0，且錨板上覆土體視為剛塑性體整體向上平移。在豎直方向上，合力為

在任意一組虛位移中，都滿足虛功率平衡原理，因此

顯然，在任意一組容許的虛位移中，豎直方向上滿足力的平衡條件。由此

式中：

2.4 歐拉方程

抗拔力表達(dá)式(13)為典型的包含多個函數(shù)的積分型泛函，根據(jù)變分極值原理，抗拔力取極值時的極值曲線必然滿足如下歐拉方程。

其中

將式14(a)代入式(15)可得

化簡可得

2.5 變分橫截條件

此外，由于淺埋錨板的破裂面由錨板端點(diǎn)向上逐漸延伸到地表，破壞面(即極值曲線)一端固定，另一端在直線z=H上移動，δy=0，δz是任意的。根據(jù)可動邊界條件的泛函極值原理，抗拔力泛函取極值時除滿足充要條件—?dú)W拉方程—之外，還必須滿足必要條件—變分橫截條件，如下

因此，在地表處，有邊界條件為

由式(20)可知，在地表處，土體破裂面上正應(yīng)力等于地表超載。

此外，根據(jù)圖2所示的破壞機(jī)制可知位移邊界條件如下

于是，式(18)中的偏微分方程組可根據(jù)Rung-Kutta方法結(jié)合式(20)和式(21)中的邊界條件進(jìn)行求解。

3 對比分析

為驗證本文方法的有效性與準(zhǔn)確性，采用極限分析有限元方法對本文計算結(jié)果進(jìn)行對比。有限元模型如圖3所示，由于水平錨板在地表水平時其抗拔破壞機(jī)制為軸對稱機(jī)制，故取模型的1/2進(jìn)行建模。為保證錨板在上拔過程中無水平橫向位移，對錨板中點(diǎn)施加約束，錨板采用板單元，中點(diǎn)處施加集中荷載。此外，模型邊界條件為：模型上部邊界為地表，無約束；左右兩側(cè)邊界施加法向約束；底部邊界固定約束。

圖3 抗拔錨板有限元模型Fig.3 Finite element uplift model of anchor plate

當(dāng)非線性系數(shù)m=1.0時，非線性Mohr-Cou‐lomb破壞準(zhǔn)則將退化為線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。此時，考慮剪脹特性的非關(guān)聯(lián)流動法則對強(qiáng)度準(zhǔn)則的折減為[16]

其中

式中：c，φ分別表示初始的土體黏聚力和內(nèi)摩擦角；c*，φ*分別表示折減后的土體黏聚力和內(nèi)摩擦角；ψ為剪脹角。

當(dāng)假定土體材料服從相關(guān)聯(lián)流動法則時，土體的剪脹角等于摩擦角，而當(dāng)土體服從非相關(guān)聯(lián)流動法則時，土體的剪脹角小于摩擦角。在線性準(zhǔn)則條件下，將屈服準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度參數(shù)的折減來考慮非相關(guān)聯(lián)流動法則的影響。因此，本文采用極限分析有限元方法分別分析以下3種工況：1)材料服從相關(guān)聯(lián)流動法則；2)材料服從非相關(guān)聯(lián)流動法則；3)考慮非相關(guān)流動法則影響，對強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行折減的相關(guān)聯(lián)流動法則，即采用式(23)的折減后強(qiáng)度參數(shù)且服從相關(guān)聯(lián)流動法則。將上述工況計算結(jié)果與本文方法計算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖4所示。

圖4 極限抗拔力對比分析Fig.4 Comparison of ultimate pullout capacity

在線性準(zhǔn)則條件下，考慮關(guān)聯(lián)和非關(guān)聯(lián)流動法則的影響，采用極限分析有限元方法對本文結(jié)算結(jié)果進(jìn)行了案例對比分析，如圖4所示。當(dāng)土體服從關(guān)聯(lián)流動法則時，極限分析有限元結(jié)果(數(shù)值解)稍大于本文計算結(jié)果(理論解)，在埋深較小時，兩者相對誤差較大，隨著錨板埋深的增加，兩者相對誤差逐漸減小。在非關(guān)聯(lián)流動法則條件下，本文理論計算結(jié)果與采用折減后的強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)值計算結(jié)果(即工況c)吻合較好，兩者結(jié)果均大于非關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則條件下的有限元分析結(jié)果(即工況b)?？傮w上看，本文理論結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果吻合較好，可以說明本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。

4 參數(shù)分析

在非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則條件下，考慮巖土體材料的剪脹特性，得到了淺埋條形錨板的極限抗拔力。研究表明，錨板的極限抗拔力受眾多因素的影響，尤其是在非線性準(zhǔn)則條件下[7?10]?；诖?，對考慮剪脹特性的巖土體材料中的條形錨板的極限抗拔力進(jìn)行了參數(shù)的影響分析，如圖5所示。并采用無量綱抗拔因子Npu表征條形錨板的極限抗拔力Pu，且Npu=Pu/γBH。

圖5 條形錨板極限抗拔力參數(shù)影響分析Fig.5 Analysis of the effect of parameters on the ultimate pullout capacity of strip anchor plate

由圖5可知，隨著錨板相對埋深率的增大，抗拔因子逐漸增大。在非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則條件下，條形錨板的無量綱抗拔因子隨非線性剪脹系數(shù)的增大逐漸較小。非線性剪脹系數(shù)越大，錨板相對埋深率對抗拔因子的影響越顯著，如圖5(a)所示。條形錨板的抗拔因子隨非線性系數(shù)的增大逐漸減小，且趨勢趨于平緩，非線性系數(shù)越小，抗拔因子隨錨板相對埋深率的變化越顯著，如圖5(b)所示?？拱我蜃与S初始黏聚力的增大而增大，隨土體抗拔強(qiáng)度的增大而減小，且當(dāng)抗拉強(qiáng)度較大時，錨板抗拔因子隨相對埋深率的影響越顯著。

對于淺埋錨板，上拔破壞時土體存在明顯的破裂面。在錨板工程設(shè)計中，錨板的極限抗拔力是其抗拔特性的重點(diǎn)，但上覆土體的破壞范圍也是值得注意的。因此，同時考慮土體強(qiáng)度非線性和剪脹特性，對淺埋條形錨板上覆土體破裂面形狀進(jìn)行了參數(shù)影響分析，如圖6所示。其中，錨板寬度B=1.0 m，上覆土體重度γ=20 kN/m3，錨板埋深H=6.0 m，地表超載σs=0 kPa，其余參數(shù)詳見表1。

圖6 參數(shù)對土體破裂面形狀的影響分析Fig.6 Analysis of effect of parameters on the shape of soil fracture surface

表1 參數(shù)取值Table 1 Values of parameters

由圖6可知，考慮剪脹效應(yīng)的非線性剪脹系數(shù)η，非線性系數(shù)m，土體初始黏聚力和抗拉強(qiáng)度對錨板上覆土體的破壞范圍均存在較為顯著的影響。在非線性準(zhǔn)則條件下，隨著非線性剪脹系數(shù)η的增大，地表破壞寬度逐漸增大，如圖6(a)所示。隨著非線性系數(shù)m的增大，土體破裂面由直線逐漸變化為曲線，破壞范圍逐漸減小，且只在線性準(zhǔn)則條件下破裂面呈直線，在非線性條件下破裂面呈曲線，如圖6(b)所示。當(dāng)土體初始黏聚力增大、或土體抗拉強(qiáng)度減小時，其地表破壞寬度逐漸增大。在線性準(zhǔn)則條件下，土體初始黏聚力增大、或土體抗拉強(qiáng)度減小均表現(xiàn)為土體強(qiáng)度參數(shù)的增大，因此，土體破壞范圍增大。

5 結(jié)論

1)錨板破裂面上正應(yīng)力與土體重度和地表超載有關(guān)，在均質(zhì)條件下，破裂面上正應(yīng)力與深度呈正比關(guān)系，比例系數(shù)即為土體重度。

2)土體的剪脹效應(yīng)對錨板的極限抗拔力和破裂面均存在顯著的影響；隨著非線性剪脹系數(shù)的增大，錨板的極限抗拔力逐漸增大，且土體破裂范圍逐漸增大。因此，在非關(guān)聯(lián)流動法則條件下，錨板的極限抗拔力小于關(guān)聯(lián)流動法則條件下的錨板極限抗拔力。

3)在非線性準(zhǔn)則條件下，巖土體材料的非線性系數(shù)、初始黏聚力和抗拉強(qiáng)度對錨板的極限抗拔力存在顯著的影響。隨著非線性系數(shù)的增大，錨板極限抗拔力逐漸減小且趨勢趨于平緩。初始黏聚力的增大或抗拉強(qiáng)度的減小均會導(dǎo)致錨板極限抗拔力增大。