姜金鳳

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,北京 100044；2. 山東鐵路投資控股集團(tuán)，山東 濟(jì)南 250000)

拱橋因其剛度大，跨越能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)在鐵路橋梁中有廣泛應(yīng)用[1?2]。吊桿作為拱橋的關(guān)鍵受力構(gòu)件[3]，長(zhǎng)期承受著交通荷載作用，它的失效輕則對(duì)拱橋整體結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生非常不利影響，重則引起橋梁坍塌[4]。因此，研究吊桿的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)及應(yīng)力沖擊系數(shù)對(duì)于鐵路拱橋的設(shè)計(jì)、建造、評(píng)估以及維護(hù)等工作具有重要意義?，F(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)測(cè)試是評(píng)估橋梁動(dòng)應(yīng)力及沖擊系數(shù)的最直接的手段，但測(cè)試成本較高且測(cè)試結(jié)果具有時(shí)效性。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)控系統(tǒng)[5]能起到長(zhǎng)期有效監(jiān)控結(jié)構(gòu)響應(yīng)的效果，但健康監(jiān)控系統(tǒng)成本高昂。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值方法在橋梁動(dòng)力響應(yīng)研究中被廣泛使用。學(xué)者們基于車—橋耦合振動(dòng)理論對(duì)不同類型橋梁的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了大量研究，朱勁松等[4]通過(guò)建立中下承式鋼管混凝土系桿拱橋二維有限元模型分析了結(jié)構(gòu)阻尼、路面不平順度、行車速度及車重對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響；朱志輝等[6]基于海南東環(huán)鐵路萬(wàn)寧系桿拱橋有限元模型研究了行車速度和軌道不平順對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響；楊建喜等[7]采用建立中承式鋼管混凝土拱橋有限元模型，分析了車輛以不同速度平穩(wěn)過(guò)橋條件下吊桿的動(dòng)力性能；AMMENDOLEA等[8]對(duì)等效列車荷載作用下拱橋結(jié)構(gòu)交叉吊桿索損條件下的動(dòng)力性能進(jìn)行了數(shù)值研究。這些研究主要針對(duì)吊桿平行或拱肋平行的拱橋結(jié)構(gòu)吊桿沖擊系數(shù)進(jìn)行分析，對(duì)于尼爾森體系提籃式拱橋這種具有斜交角，并且拱肋與豎直方向具有傾斜角度的橋，其吊桿動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)及應(yīng)力沖擊系數(shù)的規(guī)律性還需要進(jìn)一步研究[9]。上述研究中采用單一的軌道不平順樣本，甚至忽略軌道不平順的影響，以此獲得軌道—橋梁耦合系統(tǒng)的輪軌激勵(lì)輸入。但隨機(jī)輪軌力激勵(lì)對(duì)車橋耦合系統(tǒng)的影響不容忽視[10]，軌道不平順是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程[11]，由此引起的車輛-結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)響應(yīng)也是隨機(jī)過(guò)程，單一樣本難以表征隨機(jī)振動(dòng)的本質(zhì)特征，因此應(yīng)采用隨機(jī)振動(dòng)方法進(jìn)行研究。在隨機(jī)振動(dòng)領(lǐng)域，李杰等[12?13]提出的概率密度演化理論為列車—軌道—橋梁耦合隨機(jī)振動(dòng)分析提供了全新的途徑，該理論結(jié)合了數(shù)論選點(diǎn)法[14]，可以利用較少的代表性樣本得到高精度的結(jié)構(gòu)物理狀態(tài)的概率密度演化結(jié)果。而采用概率密度演化理論對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的研究國(guó)內(nèi)外幾乎空白。為分析尼爾森體系拱橋吊桿在列車動(dòng)力荷載作用下的應(yīng)力沖擊系數(shù)問(wèn)題，本文基于列車?軌道—橋梁耦合振動(dòng)理論和概率密度演化理論，以濟(jì)青高鐵線某尼爾森體系提籃式拱橋?yàn)槔?，考慮軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)，研究車速和軌道不平順等級(jí)對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響，以及各吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的不均勻性。

1 列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)模型

車輛模型采用考慮二系懸掛的垂向10 個(gè)自由度模型，包括車體和前后轉(zhuǎn)向架的沉浮、點(diǎn)頭，以及4 個(gè)輪對(duì)的沉浮[2]。列車的運(yùn)動(dòng)方程如式（1）所示：

式中：Mv，Cv和Kv分別為列車的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Fv和Xv為列車所受的外力和位移列向量。

為簡(jiǎn)化建模及計(jì)算分析的難度，將軌道結(jié)構(gòu)模擬為彈簧—阻尼器單元，僅考慮其對(duì)鋼軌的支撐作用，采用有限元法建立軌道—橋梁結(jié)構(gòu)整體有限元模型。在有限元模型中，鋼軌采用空間梁?jiǎn)卧M；拱肋和主梁采用空間梁?jiǎn)卧M；吊桿采用桿單元模擬。所有材料均假設(shè)為線彈性，橋梁除鋼軌以外的二期恒載均作為自重施加在橋梁模型上。采用有限元直接剛度法，建立軌道—橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力方程為：

式中：M，K和C分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣；F和X分別為力向量和位移向量；X?和X?分別為速度和加速度向量；下標(biāo)v和b分別代表列車子系統(tǒng)、軌道—橋梁子系統(tǒng)；Ksys為整個(gè)列車—軌道—橋梁耦合時(shí)變系統(tǒng)的剛度矩陣，它由車輛子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)的剛度矩陣和車輛與鋼軌的接觸矩陣組成，下標(biāo)sys 表示整個(gè)列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)。

2 基于概率密度演化理論的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)分析

2.1 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)

依據(jù)《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》[16](TB10002.1—2005)可知，動(dòng)力系數(shù)為列車運(yùn)行對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)反應(yīng)與靜態(tài)反應(yīng)之比。則吊桿應(yīng)力動(dòng)力系數(shù)表達(dá)式為

式中：μ1為吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)計(jì)算值；σdmax為吊桿最大動(dòng)應(yīng)力；σsmax為吊桿最大靜應(yīng)力，其取值為列車低速(準(zhǔn)靜態(tài))條件下的吊桿最大應(yīng)力。

本文取《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》中“鋼筋混凝土橋跨結(jié)構(gòu)”動(dòng)力系數(shù)推薦值作為參考指標(biāo)開展計(jì)算分析

式中：μ2為規(guī)范推薦的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)；L為影響線加載長(zhǎng)度。

2.2 基于PDEM的應(yīng)力沖擊系數(shù)求解

在給定的初始條件下，式(6)的列車—軌道—橋梁耦合隨機(jī)振動(dòng)方程的解都存在且唯一，并依賴于軌道不平順隨機(jī)變量Θ。為簡(jiǎn)便起見，將式(6)的解表示為[17]

式中：Pl為離散參數(shù)代表點(diǎn)的初始賦得概率。

對(duì)式(10)的偏微分方程采用具有TVD 性質(zhì)的雙邊差分法[12]進(jìn)行數(shù)值求解，得到最終的結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度演化解pZ(z,t)

根據(jù)式(13)的概率密度分布情況pZ，即可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。以3 倍標(biāo)準(zhǔn)差原則(μ+3σ)確定吊桿應(yīng)力上限值，其上限值的最大值即式(7)的吊桿最大動(dòng)應(yīng)力σsmax。

基于PDEM 的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)分析流程示意圖如圖1所示。

3 工程算例

3.1 工程概況

拱橋有限元模型如圖2所示。橋梁為單孔尼爾森吊桿體系簡(jiǎn)支拱橋，主梁和拱肋均采用beam 188 單元建模。吊桿采用link 180 單元建模。橋梁全長(zhǎng)L=148 m，主梁采用單箱三室等高箱形截面。拱肋為二次拋物線，截面采用高度為4.0 m 的啞鈴型截面，傾斜角度8°，設(shè)計(jì)矢高f=28.8 m，矢跨比1/5，設(shè)計(jì)拱軸線方程為y=115.2×(144x?x2)/1442。兩榀拱肋間共設(shè)1 道鋼結(jié)構(gòu)一字橫撐及6 道K 撐。拱橋橋面的吊桿連接點(diǎn)間距為8.0 m，吊桿采用PES(FD)7-127 型低應(yīng)力防腐拉索，全橋共設(shè)32 組吊桿，圖2 中與X軸正方向夾角為銳角的吊桿編號(hào)依次為1號(hào)～16號(hào)；與X軸正方向夾角為鈍角的編號(hào)依次為17 號(hào)～32 號(hào)。橋面二期恒載取值為153 kN/m，包括軌道結(jié)構(gòu)、防水層和人行道等重量。

圖2 拱橋有限元模型Fig.2 Finite element model of arch bridge

本文利用商用有限元軟件ANSYS 計(jì)算得到ZK 活載作用下的橋梁最大撓度為2.029 cm，與設(shè)計(jì)院的Midas 計(jì)算結(jié)果2.042 cm 吻合較好。表1 給出了拱橋有限元模型前6 階自振頻率及模態(tài)，由《鐵路橋梁檢定規(guī)范》可知，該橋滿足橫向自振頻率fH≥120/L=0.811 Hz和豎向自振頻率fV≥23.58 L-0.592=1.224 Hz的要求。

表1 拱橋振型及自振頻率Table 1 Mode and natural frequency of arch bridge

3.2 吊桿隨機(jī)振動(dòng)特征分析

車輛模型選取8 節(jié)編組(4M+4T)的ICE3 列車，軌道不平順條件為美國(guó)聯(lián)邦鐵路局(Federal Rail‐road Administration, FRA) 6 級(jí)高低軌道不平順譜[20]。橋梁設(shè)計(jì)車速為350 km/h，假定列車以350 km/h 的速度單線行駛過(guò)橋。采用耦合時(shí)變的方法計(jì)算橋梁動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到吊桿的應(yīng)力，本文不考慮吊桿受壓的情況。吊桿動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果如圖2所示。

圖2 中拱橋兩端吊桿(1 號(hào)，16 號(hào)，17 號(hào)和32號(hào))以及跨中吊桿(8號(hào)和24號(hào))的應(yīng)力均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖2 所示。圖3 給出了跨中8 號(hào)吊桿的概率密度演化結(jié)果、等概率密度曲線。分析圖2可知，橋上相同吊點(diǎn)位置左右2 根吊桿應(yīng)力均值存在明顯差異，其中，8 號(hào)吊桿應(yīng)力均值最大值20.17 MPa，而24號(hào)吊桿應(yīng)力均值最大值達(dá)到33.73 MPa，但兩者標(biāo)準(zhǔn)差差異僅有0.31 MPa。這是因?yàn)榱熊嚿蠘蜻^(guò)程中引起的橋梁豎向撓度與橋上相同吊點(diǎn)位置左右2根吊桿軸向的夾角不同，吊桿拉索受張拉程度不同，致使尼爾森體系拱橋出現(xiàn)橋上相同吊點(diǎn)位置2吊桿應(yīng)力一強(qiáng)一弱的現(xiàn)象。

圖3 車速350 km/h時(shí)吊桿動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果Fig.3 Dynamic response results of the suspenders at a speed of 350 km/h

由圖4可知，吊桿應(yīng)力的概率密度演化結(jié)果符合均值響應(yīng)變化趨勢(shì)。隨著列車上橋長(zhǎng)度的不斷增加，輪軌激勵(lì)不斷增多，當(dāng)列車處于橋梁跨中時(shí)，8 號(hào)吊桿應(yīng)力4～6 s 分布范圍逐漸變寬，概率密度峰值降低。

圖4 跨中8號(hào)吊桿概率密度結(jié)果Fig.4 Probability density results for mid-span No.8 suspender

3.3 車速對(duì)吊桿應(yīng)力的影響

選取與第3.2 節(jié)相同的列車編組和軌道不平順條件，以50 km/h 為間隔分別取200～350 km/h 之間4種速度單線行駛過(guò)橋。

圖5分別給出了不同車速條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力均值最大值和應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)比圖5(a)和5(b)可知，車速的改變對(duì)吊桿應(yīng)力均值的影響較小，4 種車速條件下最大值僅有1 MPa。尼爾森吊桿體系的各吊桿的均值分布并不均勻，均值最大值出現(xiàn)在橋梁跨中與鉛錘方向夾角最小的25 號(hào)吊桿，最小值出現(xiàn)在梁端邊吊桿。其中，車速350 km/h 時(shí)均值最大值為48.61 MPa，均值最小值為13.42 MPa。各吊桿應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差差異性較大，但標(biāo)準(zhǔn)差最大值出現(xiàn)在25號(hào)吊桿，車速350 km/h 時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.81 MPa。

圖5 不同車速條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力統(tǒng)計(jì)特征值Fig.5 Statistical characteristic values of suspenders dynamic stress under different speed conditions

圖6 為各吊桿的應(yīng)力沖擊系數(shù)曲線。由圖6 可知，車速對(duì)各吊桿沖擊系數(shù)的影響規(guī)律并不一致，但各車速條件下沖擊系數(shù)最大值均出現(xiàn)在梁端的邊吊桿，其中，350 km/h車速條件下1號(hào)和32號(hào)吊桿的沖擊系數(shù)達(dá)到0.4。同時(shí)，圖6 給出了式(8)計(jì)算得到的規(guī)范建議值0.194。邊吊桿因?yàn)閼?yīng)力均值小，導(dǎo)致應(yīng)力沖擊系數(shù)大，超過(guò)了規(guī)范建議值，然而邊吊桿應(yīng)力均值和應(yīng)力幅均不大，并沒(méi)有超過(guò)自身的抗拉限值200 MPa，相比之下，中間吊桿的應(yīng)力幅遠(yuǎn)大于邊吊桿，雖然中間吊桿的沖擊系數(shù)為僅為0.07～0.08，但其受張拉程度最強(qiáng)，應(yīng)力變化范圍最大，這也將影響到中間吊桿的疲勞壽命。

圖6 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)Fig.6 Stress impact factor of suspenders

3.4 軌道不平順對(duì)吊桿應(yīng)力的影響

選取與第3.2 節(jié)相同的列車編組條件，針對(duì)FRA 6 級(jí)譜、德國(guó)低干擾譜[21]和我國(guó)2015 新軌譜3種高低軌道不平順譜條件，以350 km/h 的車速單線行駛過(guò)橋。圖7 和圖8 分別給出了不同軌道不平順條件下吊桿應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差和吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)。

圖7 不同軌道不平順條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 Standard deviation of suspenders dynamic stress under different track irregularities

圖8 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)Fig.8 Stress impact factor of suspenders

由圖7 和圖8 可知，由于我國(guó)新軌譜的平順性優(yōu)于FRA 6級(jí)譜和德國(guó)低干擾譜，吊桿應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差和沖擊系均隨著軌道不平順程度的減小而減小，且分布規(guī)律保持不變。其中，我國(guó)新軌譜不平順條件下以350 km/h 車速通過(guò)拱橋引起的25 號(hào)吊桿動(dòng)應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.52 MPa，小于FRA 6級(jí)譜的0.81 MPa 和德國(guó)低干擾譜的0.69 MPa。同時(shí)，25 號(hào)吊桿在軌道不平順為我國(guó)新軌譜條件下有沖擊系數(shù)最小值0.05 。因此，鐵路運(yùn)營(yíng)過(guò)程中應(yīng)保證線路的高平順性要求，減小吊桿受到的沖擊作用，進(jìn)而延長(zhǎng)吊桿的使用壽命。

4 結(jié)論

1)尼爾森體系拱橋橋上相同吊點(diǎn)位置的左右2根吊桿由于其與鉛錘方向的夾角以及桿件長(zhǎng)短不同，導(dǎo)致2根吊桿應(yīng)力一強(qiáng)一弱；梁端短吊桿的最大動(dòng)應(yīng)力均值均小于跨中長(zhǎng)吊桿，其中25 號(hào)吊桿應(yīng)力均值車速350 km/h 時(shí)最大值為48.61 MPa，但短吊桿應(yīng)力沖擊均大于跨中長(zhǎng)吊桿。

2) 車速對(duì)尼爾森體系拱橋吊桿的應(yīng)力均值影響較小，各吊桿的標(biāo)準(zhǔn)差隨車速的增加整體呈現(xiàn)增大趨勢(shì)。

3) 車速對(duì)各吊桿沖擊系數(shù)的影響規(guī)律并不一致，但各車速條件下沖擊系數(shù)最大值均出現(xiàn)在梁端的邊吊桿，且超過(guò)規(guī)范限值0.194；隨著軌道不平順程度的增加，吊桿應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差和沖擊系數(shù)逐漸增大，且分布規(guī)律保持不變。