陳晨 郝四柱

摘 要：數(shù)學學科作為理科科學的基礎，其中所蘊含的數(shù)學思想對培養(yǎng)學生的科學思維起到至關重要的作用.物理學科作為自然科學的基礎，與數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，很多物理規(guī)律的表達、定理定律的得出都需要借助相關的數(shù)學工具進行呈現(xiàn).本文主要以四種數(shù)學思想為例，結合具體教學案例深度剖析初中物理課堂如何滲透數(shù)學思想，彰顯學科融合特色，促進學生理科思維的提升.同時提出三點教學建議，為同行提供參考和借鑒.

關鍵詞：學科融合;物理教學;數(shù)學思想

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）20-0005-04

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”重點資助課題“基于項目學習理論的初中創(chuàng)客課程建設研究”（項目編號：E-a/2020/04）.

作者簡介：陳晨（1990-），男，江蘇淮安人，碩士，中學一級教師，研究方向：課程教材教法、考試研究;

郝四柱（1965-），男，江蘇淮安人，本科，中學正高級教師，研究方向：課程教材教法.

1 初中物理教學中滲透數(shù)學思想的必要性分析

1.1 “學科融合”有助于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

近年來國家提出要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，在中學階段各個學科都有各自的核心素養(yǎng).如何讓指向各學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)變得高效，學科融合是一種重要的途徑.例如物理學科中提到要培養(yǎng)學生的科學探究素養(yǎng)，其中有很多方面在數(shù)學學科中也有所體現(xiàn).在物理教學中滲透數(shù)學思想有利于學生更深層次地理解科學探究的實質(zhì)和內(nèi)涵，有效地促進學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1.2 數(shù)學思想的滲透有助于物理教學的實施

物理學科是一門自然科學，主要研究物體的運動規(guī)律和相互作用，需要借助實驗、推理等方式得出規(guī)律或結論.而在此過程中，需要借助數(shù)學工具呈現(xiàn)其過程，運用數(shù)學原理進行相關解釋，通過數(shù)學符號描述現(xiàn)象背后的物理規(guī)律.例如法拉第提出用電場線來描述電場，雖然這一方法比較形象且容易理解，但終究還是需要運用麥克斯韋的電磁場方程組定量計算解決實際問題.中學階段的物理內(nèi)容是選擇物理學中的一些基本概念、規(guī)律和方法，經(jīng)過一系列的加工后呈現(xiàn)給學生.學生在學習過程中勢必會用到一些數(shù)學知識.教師在教學過程中可以借助數(shù)學手段使得物理規(guī)律、定理變得更加簡單、直觀，使學生更容易理解和應用.

1.3 教學評價凸顯數(shù)學思想的滲透

對于初中物理教學，中考的重要性不言而喻.近些年來各地中考試題，越來越呈現(xiàn)對使用數(shù)學方法的重視.試題中很多結果需要用數(shù)字、字母、公式等形式表示，有些問題需要借助數(shù)學中的常用方法進行解決.因此在課堂教學中滲透數(shù)學思想，既能夠幫助學生理解物理概念和規(guī)律，同時又可以拓展學生解決物理問題的方法，提升解題能力.

2 例談數(shù)學思想在物理教學中的滲透

2.1 善用“比值定義思想”建立物理概念

2.1.1 基本內(nèi)涵

比值定義思想是指將兩個量進行除法運算得到一個新的量，并且對這個新的量進行定義和理解.在物理學科中，通常會通過兩個物理量的比值來定義一個新的物理量，并賦予它物理內(nèi)涵，例如速度、壓強、密度、功率等（見表1）.在滲透比值思想時，我們首先應該考慮比值定義的必要性和合理性，為什么需要比值定義，這樣定義合理嗎？

2.1.2 例談“速度”概念的引入

這里筆者以速度的引入為例.在速度概念教學中，之所以提出速度的概念是因為我們需要解決一個問題——如何判斷物體運動的快慢.不同的物體它們的運動快慢各不相同，那么如何比較不同物體運動快慢呢？學生會想到相同時間比路程，相同路程比時間.但接著一個問題隨之而來——路程和時間都不相同時如何比較物體運動快慢？這就需要設置一個標準，選取相同的路程或者選取相同的時間比較另外一個物理量的大小，與之對應的數(shù)學處理手段就是兩個量相除.解決了必要性問題之后就需要解決合理性問題，為什么速度最終的表達式是路程除以時間而不是時間除以路程.其實這兩種處理方式從本質(zhì)上來說都是一樣的，但是時間與路程的比值越小運動得越快，不便于理解和應用，所以人們選擇了現(xiàn)在的速度公式.

從上述分析中可以看出從數(shù)學的角度來看比值定義思想其實就是一個“歸一化”的過程，只是物理中對“歸一化”的理解是要建立比較標準，讓任何事物都在統(tǒng)一的標準中進行比較，并且還要符合人們的認知，具有合理性.

2.2 巧用“圖像思想”揭示物理規(guī)律

2.2.1 基本內(nèi)涵

圖像思想是通過作圖尋找規(guī)律或者用圖像中的信息來解決問題.其中，通過作出兩個物理量的圖像，根據(jù)圖像的形狀、單調(diào)性、特殊點等信息來尋找物理規(guī)律，揭示其中的物理原理.而通過圖像中的信息解決問題主要體現(xiàn)在坐標圖中，在坐標圖中觀察橫縱坐標軸、圖線特點以及圖線上的特殊點（如交點、格點、拐點、端點等），結合具體的物理問題情境找出圖中有用信息，從而解決問題.

2.2.2 例談“歐姆定律”的規(guī)律研究

在“探究電流與電阻、電壓的關系”實驗時，通過控制變量法可以測出電流與電壓、電流與電阻的若干組數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)處理上很多教師會建立直角坐標系進行描點作圖，根據(jù)圖像的特點歸納總結得出結論.學生通過圖像分析發(fā)現(xiàn)電流與電壓圖像是一條過原點的直線，進而可以得到電流與電壓成正比，而電流與電阻的圖像則是一條近似反比例曲線，可以得到電流與電阻成反比的關系（如圖1、圖2所示），通過“歸一化”處理最后得到歐姆定律的公式.

如果教師教學到此為止，從達成度方面看教學目標已經(jīng)完成，但從培養(yǎng)學生綜合運用圖像處理數(shù)據(jù)能力的方面看則顯得美中不足，缺少深度思考.因此在探究電流與電阻關系時，教師可以在學生描點作圖后提出問題，這些點一定在這條反比例曲線上嗎？很多學生會陷入思考，可能不一定，那如何證明電流與電阻成反比呢？經(jīng)過教師的引導，學生會想到可以作出電流與電阻倒數(shù)的圖像，如果是一條過原點的直線（如圖3所示），則說明電流與電阻的倒數(shù)成正比，那么與電阻就成反比.

學生經(jīng)歷這樣的過程，更加深刻地理解正比和反比之間的關系.任意兩個量對其中一個量取倒數(shù)，若倒數(shù)與另一個量成正比，則這兩個量成反比.換言之，正比和反比并沒有絕對的界限，反比只是正比的另一種呈現(xiàn)方式.教師在授課時逐步培養(yǎng)學生這種意識，通過這樣一種轉換，學生對圖像法的理解會更加深刻，如何處理兩個量之間的關系也更加熟練.

2.3 妙用“方程思想”突破物理問題

2.3.1 基本內(nèi)涵

方程思想，顧名思義就是通過列方程（組）求解相關物理量.在物理問題中，不同問題所需要的方程類型也各不相同，例如一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程等.無論哪種類型的方程，都需要學生能夠找到等量關系，進而列出方程進行求解.其過程也包含著學生對問題中各個物理量之間關系的理解.對于初中生而言，如何在眾多變量中尋找等量關系，這是解決問題的關鍵.

2.3.2 例談電路問題的方程思想

電學中經(jīng)常會遇到動態(tài)電路問題，其中有一種情況，即通過電阻大小的變化而引起的其他電學量的變化，從而帶來電路的整體變化.在分析過程中，由于涉及的物理量、物理規(guī)律較多，學生對其中的邏輯關系和各個物理量之間的關聯(lián)并不十分清晰.因此在解決這類問題時需要抓住“不變量”進行分析.

筆者以“2020年南京中考第12題”為例：如圖4所示，電源電壓不變，R1為定值電阻，R2為滑動變阻器.閉合開關S，R2的滑片P在某一端點時，兩表的示數(shù)分別為0.2A和3V;移動滑片P到某位置的過程中，兩表的示數(shù)分別變化了0.3A和1.5V.下列說法正確的是

A.電源電壓為4.5V

B.R2的最大阻值為20Ω

C.電路消耗的總功率最小時，R1與R2接入電路的阻值之比為3∶1

D.電流表示數(shù)為0.4A時，R1與R2消耗的功率之比為1∶1

分析電路結構可知這是一個串聯(lián)電路，電壓表測量R2兩端電壓.若滑片從左往右移動，則R2電阻變小，電流表示數(shù)變大，電壓表示數(shù)變小.在本題中，電源電壓和定值電阻阻值是恒定不變的，再根據(jù)題目中給出的條件以及串聯(lián)電路的歐姆定律，列方程求解.根據(jù)電流大小可以判斷滑片在某一端點即為最左端，列出此時的電源電壓關于R1的方程，再列出在某一位置時的方程，如下式：

U總=0.2A·R1+3V;U總=0.5A·R1+1.5V

根據(jù)上述兩個式子求解得到電源電壓和R1的阻值，然后再求出其他物理量完成該問題.從數(shù)學的角度來看這是一個二元一次方程組，求解起來并不困難，但是如何找到“不變量”，列出這兩個等式對學生來說具有挑戰(zhàn)性.一般對于電學問題，我們要牢牢抓住電源電壓和定值電阻阻值不變這兩個量進行列式求解.因此教師在教學中需要不斷滲透數(shù)學思想，提高學生知識遷移的能力.

2.4 活用“函數(shù)思想”拓展物理思維

2.4.1 基本內(nèi)涵

函數(shù)思想需要學生建立兩個物理量之間的關系，寫出函數(shù)表達式，根據(jù)表達式分析物理量的變化情況，從而解決問題.在初中階段，通常只涉及一個自變量對應一個因變量的情況，這就要求學生在解決物理問題中，確定因變量，同時尋找與之相關的自變量，根據(jù)條件寫出函數(shù)表達式，分析兩個物理量的定量關系.

2.4.2 例談極值問題的函數(shù)思想

筆者以“電功率的極值問題”為例，問題如下：如圖5所示，電源電壓保持6V不變，R1是阻值為10Ω定值電阻，R2是最大阻值為50Ω的滑動變阻器.求：滑片從最左端移動到最右端的過程中，滑動變阻器的最大功率.

對于這個問題，我們可以將滑動變阻器電功率作為因變量，選取電路中電流作為自變量，根據(jù)歐姆定律和電功率公式可以得到：P=UI-I2R1，其中U=6V，R1=10Ω，代入得到表達式：P=-10I2+6I.這是一個P關于I的二次函數(shù)，通過“配方法”可知當I=0.3A時，P有最大值.通過進一步分析函數(shù)圖像，還可以得出當I在0-0.3A范圍內(nèi)時，P逐漸變大，當I在0.3-0.6A范圍內(nèi)時，P逐漸變小.

本題除了以電流為自變量以外，還可以以滑動變阻器阻值為自變量，根據(jù)歐姆定律和電功率公式可以得到：P=U2R2+R21R2+2R1，其中U=6V，R1=10Ω，代入得到表達式：P=36R2+100R2+20.這是個復合函數(shù)，分母上是“對勾函數(shù)”，有最小值，所以整個分式有最大值.當然通過“對勾函數(shù)”的圖像也可以分析P的變化情況.

雖然兩種方法選取的自變量不同，但最后還是殊途同歸，求出滑動變阻器電功率的最大值.學生無論選取電流還是電阻作為自變量，都需要找到與滑動變阻器電功率的函數(shù)關系，寫出表達式.而在這個過程中學生最難解決的就是表達式`中如何只有兩個變量，而其他都是定值（常數(shù)），這需要通過分析各個物理量之間的關系，根據(jù)規(guī)律公式轉換帶入形成最終的表達式.通過教師逐漸滲透函數(shù)思想的教學過程，培養(yǎng)學生的物理思維和數(shù)學邏輯，從而提升自己的科學思維能力.

3 啟示與教學建議

3.1 打破思維定勢，注重學科滲透

在物理教學中，教師往往更多地關注物理學科本身，忽視其他相關的學科知識，容易形成思維定勢.因此在解決問題時，教師不僅要重視對物理過程的把握，還要根據(jù)題目條件巧用數(shù)學方法進行問題的解決，發(fā)散學生的思維，促進學科融合.

例如2018年蘇州中考最后一題最后一問，題目如下：學過透鏡知識后，小明實驗小組在光學實驗室（暗室）想對學過的知識進行深入研究，可用器材有：光源S（視為點光源）、圓形凸透鏡（直徑為D）、光具座、光屏（足夠大）.經(jīng)討論他們決定先從測凸透鏡的焦距開始.

在移動光屏的過程中，小明發(fā)現(xiàn)在光屏上光斑外側還有一個暗環(huán)，他猜想可能是凸透鏡的邊框造成的.于是他拆除邊框直接將凸透鏡固定在光具座上，進行實驗驗證，發(fā)現(xiàn)暗環(huán)仍然存在.暗環(huán)是如何形成的？ 若光源S在左焦點上，光屏在右焦點處，如圖6所示，請你算出此時暗環(huán)的面積.

本題來源于實驗，從光的傳播角度來看暗環(huán)的形成主要是由于光沿直線傳播和經(jīng)凸透鏡折射后在光屏上形成的無影區(qū)，如圖7所示.學生知道成因之后，就需要進行暗環(huán)面積的求解，這里要用到數(shù)學空間幾何及面積計算的相關知識.教師應啟發(fā)學生發(fā)揮空間想象能力，在三維空間中思考該問題，將其繞光屏所在平面逆時針旋轉90°，畫出其主視圖，如圖8所示.學生通過畫圖可知暗環(huán)即圓環(huán)面積，通過數(shù)學公式及圖形的相似比例算出大小圓的面積從而得到圓環(huán)面積.

3.2 打好數(shù)學基礎，重視方法內(nèi)涵

對于數(shù)學的學習，不能僅局限在數(shù)學學科教學中，更要體現(xiàn)在物理教學中，教師在授課時要不斷滲透數(shù)學思想，甚至要幫助學生學習、理解與物理相關的數(shù)學知識，從而理解各種數(shù)學思想方法的內(nèi)涵.例如在選擇兩個物理量關系的圖像問題時，學生通過定性分析判斷兩個量的圖像，而不去考慮圖線的形狀和所在區(qū)間，更不會想到通過函數(shù)解析式分析圖線.

例如2019年南通中考選擇題第12題：如圖9所示，電源為恒功率電源，工作時輸出的總功率大小恒定，R1為定值電阻.移動滑動變阻器R2的滑片P，下列表示通過R1的電流I1，通過R2的電流I2隨電流表示數(shù)的倒數(shù)變化的關系圖線（如圖10所示），可能正確的是

學生遇到這類問題通常都會定性地分析兩個量的變化關系，然后選擇較為接近的選項.而遇到上邊的問題時，往往會手足無措，無從下手.要確定兩個物理量的圖像關系，必須要寫出這兩個物理量的函數(shù)表達式，通過比對函數(shù)圖像解決問題.上述圖中要分析三個電流之間的圖像關系，就必須找出兩個物理量的函數(shù)關系.以I1和1/I的關系為例，輸出總功率不變，則有P總=U總I，再根據(jù)并聯(lián)電路歐姆定律可知，I1=U總R1=P總R1I，I2=I-I1=I-P總R1I.根據(jù)函數(shù)解析式可知I1和1/I成正比，I2和1/I是一個復合函數(shù)，所以答案選擇B.通過函數(shù)表達式的方式讓學生一目了然，同時更加深刻地理解各個物理量之間的關系.

3.3 打通內(nèi)在邏輯，學會通式通解

物理和數(shù)學的學科融合絕對不僅僅是數(shù)學知識和方法的滲透，更包括數(shù)學思想在物理問題中的滲透，對于典型物理問題我們需要打通內(nèi)部邏輯結構，提煉問題的本源和實質(zhì)，并通過數(shù)學語言進行呈現(xiàn)，從而使問題簡單明了，更利于問題的解決和學生物理思維的培養(yǎng).

例如“關于動態(tài)電路改進方法”的問題，如圖11所示是某壓力測力計的電路原理示意圖.圖中電源電壓為7.5V并保持不變;定值電阻R0的規(guī)格是“400Ω 15mA”，起保護電路的作用;G是由靈敏電流表改裝成的指針式測力顯示器（電阻忽略不計）;R是一種新型電子元件.在壓力不超過600N的前提下，其阻值隨壓力大小的變化規(guī)律如表2中數(shù)據(jù)所示.若要增大該測力計的量程，請說出兩種改進方法.

當壓力變大時，電阻R變小，電路中電流增大，當電流等于15mA時電流達到最大值，由于每兩個物理量之間都是單調(diào)變化，因此當電流等于15mA時壓力存在最大值.要求增大量程，即壓力變大，此時R變小但電流仍為15mA，因此可以增大R0阻值或減小電源電壓.兩種方法都是針對電路中的恒量（電源電壓和定值電阻）進行改進，因此教師可以引導學生列出電源電壓方程即：U總=I0（R+R0），其中I0為15mA，壓力變大即R變小，若要等式恒成立，可增大R0阻值或減小電源電壓.學生通過這樣的分析能夠進一步理解題目的本質(zhì)，在變化中尋找不變量，通過方程進行呈現(xiàn)，從而促進學生物理思維的提升.

4 結語

數(shù)學作為理科的基礎學科，而物理作為自然科學的基礎學科，兩者本來就緊密相連，不可分割.在基礎教育階段，兩門學科更是相互融合，既有物理問題中的數(shù)學思想，又有數(shù)學問題中的物理情境.因此對于學生而言，將兩門學科有機融合，對培養(yǎng)其理科思維至關重要.我們在教學中也要不斷滲透融合的思想，從而實現(xiàn)思維通透、全面發(fā)展的教育理念.

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（收稿日期：2021-07-08）