袁 峰， 陶 鑫， 邵祥理

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院， 沈陽 110870； 2. 中國銀行保險(xiǎn)監(jiān)督管理委員會， 北京 100033)

近年來，數(shù)據(jù)驅(qū)動等技術(shù)的快速發(fā)展催生了許多諸如互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)定價(jià)等創(chuàng)新業(yè)務(wù)模式。區(qū)別于傳統(tǒng)的互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)，中小保險(xiǎn)公司由于自身規(guī)模及技術(shù)的限制，在用戶冗雜的數(shù)據(jù)群中如何簡明有效地獲取定價(jià)數(shù)據(jù)變得尤為困難，使得傳統(tǒng)的保險(xiǎn)精算定價(jià)已經(jīng)不能滿足市場的龐大需求。此外，由于互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)起步時(shí)間較晚、歷史數(shù)據(jù)不足，對于某項(xiàng)具體互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)進(jìn)行保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)也存在著較大的風(fēng)險(xiǎn)。

一、文獻(xiàn)回顧

在保險(xiǎn)領(lǐng)域的研究中，最早由Merton(1977)將期權(quán)定價(jià)方法應(yīng)用于存款保險(xiǎn)的研究。Coppola通過建立一個(gè)滾動窗口仿射隨機(jī)模型，引入了時(shí)間死亡率波動率的時(shí)間結(jié)構(gòu)作為壽命沖擊的驅(qū)動因素，來研究長壽風(fēng)險(xiǎn)的償付能力Ⅱ所表示的償付能力資本要求[1]。該研究包含了長壽沖擊相對于監(jiān)管模型假設(shè)的年齡和時(shí)間的不變性所導(dǎo)致的扭曲和不一致問題，推導(dǎo)出壽命沖擊作為死亡率時(shí)間波動演化和時(shí)間的函數(shù)，提出一種衡量保險(xiǎn)業(yè)償付能力資本要求的期權(quán)定價(jià)方法。

彭紅楓等利用期權(quán)定價(jià)方法對防癌險(xiǎn)進(jìn)行了研究，提出了相應(yīng)的定價(jià)思路[2]。王繼霞等研究出隨機(jī)利率下B-S模型基于非參數(shù)估計(jì)的期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)模型[3]。祝麗萍等基于冪期權(quán)的行權(quán)特點(diǎn)，構(gòu)建了分形布朗運(yùn)動驅(qū)動下的保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)模型[4]。王小瑩等構(gòu)建了隨機(jī)利率模型下的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)方法[5]。武濤等利用保險(xiǎn)精算方法，推導(dǎo)出雙分?jǐn)?shù)Ornstein-Uhlenbeck過程下歐式冪型期權(quán)和歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價(jià)公式[6]。李浩然等研究出隨機(jī)利率跳擴(kuò)散模型期權(quán)保險(xiǎn)定價(jià)解析表達(dá)式[7]。周孝華等給出了修正的Black-Scholes存款保險(xiǎn)定價(jià)公式[8]。梁喜珠等研究得出了次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程下最值期權(quán)的定價(jià)公式[9]。李子耀等實(shí)現(xiàn)了B-S和二叉樹兩種期權(quán)定價(jià)模型在財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用[10]。陳聰?shù)冉Y(jié)合改進(jìn)的蒙特卡洛法和矩近似解析法，得到了算術(shù)平均半亞式期權(quán)定價(jià)的近似半解析法，在確保精度的前提下大幅減少了計(jì)算時(shí)間[11]。

在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)方面引入期權(quán)定價(jià)的研究較少，大多是對保險(xiǎn)精算定價(jià)的理論研究，很少有研究與具體財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)相結(jié)合。張曉倩等改進(jìn)了以往研究成果中保險(xiǎn)精算價(jià)格的定義公式，在假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從指數(shù)Ornstein-Uhlenbeck(O-U)過程、利率服從Vasicek利率模型的基礎(chǔ)上，利用隨機(jī)分析知識獲得了再裝期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格公式[12]。石方圓等則更進(jìn)一步設(shè)計(jì)出隨機(jī)利率及O-U條件下關(guān)于保險(xiǎn)精算的彩虹期權(quán)定價(jià)公式[13]。彭梅等結(jié)合不確定理論，對參數(shù)依賴時(shí)間的歐式期權(quán)按照保險(xiǎn)精算方法定價(jià)，最后得到了接近市場且符合無套利原理的期權(quán)價(jià)格[14]。張耀杰等對障礙期權(quán)下的貸款保險(xiǎn)進(jìn)行了研究，表明違約門檻上升與保險(xiǎn)定價(jià)水平呈現(xiàn)某種正相關(guān)關(guān)系[15]。趙月旭等采用鞅方法等，得到了對數(shù)正態(tài)帶跳擴(kuò)散模型下美國巨災(zāi)災(zāi)害歐式看漲保險(xiǎn)期貨期權(quán)在任意時(shí)刻的定價(jià)公式，驗(yàn)證了保險(xiǎn)精算定價(jià)是一種較為合理的定價(jià)方法[16]。

上述文獻(xiàn)從不同角度對保險(xiǎn)定價(jià)問題進(jìn)行了研究，但現(xiàn)有研究中較少有建立具體保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格模型、將保險(xiǎn)定價(jià)方法與實(shí)際險(xiǎn)種相結(jié)合的內(nèi)容。本文以機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)(交強(qiáng)險(xiǎn))為例，立足于無套利原理、蒙特卡洛模擬等產(chǎn)品定價(jià)方法，結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)保險(xiǎn)合約設(shè)定定價(jià)模型，通過模擬機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)發(fā)生事故序列隨時(shí)間變化路徑，考慮機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)特殊敲出條件及投保人每期花費(fèi)保費(fèi)數(shù)額與上一年度車險(xiǎn)事故發(fā)生序列有直接關(guān)系。根據(jù)保險(xiǎn)公司年平均最終出險(xiǎn)率進(jìn)行蒙特卡洛模擬，構(gòu)造出保險(xiǎn)事故Pt序列，再通過具體的Pt序列求出對應(yīng)保單的費(fèi)用，最終計(jì)算出平均費(fèi)用即為理論定價(jià)價(jià)格X。

對于其他與本文定價(jià)模型較為相近的保險(xiǎn)條款，只需進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞考澳Ｐ托问阶兓?，也同樣適用定價(jià)。本文模型具有很好的適用性及定價(jià)效率，能夠?yàn)榫唧w財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)險(xiǎn)種進(jìn)行有效定價(jià)。

二、問題描述

從保險(xiǎn)產(chǎn)品的本質(zhì)出發(fā)進(jìn)行探討，保險(xiǎn)公司所得到保費(fèi)現(xiàn)金流受保險(xiǎn)狀態(tài)影響較大，期權(quán)組合的方式有利于降低現(xiàn)金流的影響。傳統(tǒng)保險(xiǎn)產(chǎn)品影響因素較多，而對其使用期權(quán)組合的方式時(shí)所需的條件又相對復(fù)雜，所以大多數(shù)學(xué)者在前期對于存款保險(xiǎn)的研究較多，并未將期權(quán)定價(jià)方法在后期具體的保險(xiǎn)險(xiǎn)種研究中進(jìn)行具體應(yīng)用。隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)的行業(yè)優(yōu)勢逐漸顯現(xiàn)[17-18]。傳統(tǒng)保險(xiǎn)精算定價(jià)方法為了給每一細(xì)分的保險(xiǎn)產(chǎn)品制定定價(jià)策略，需要進(jìn)行大量重復(fù)的精算，對于保險(xiǎn)公司而言，其工作量及保險(xiǎn)產(chǎn)品開發(fā)成本無疑是巨大的[19]。所以，基于互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)自身的特點(diǎn)，開發(fā)快速準(zhǔn)確的保險(xiǎn)定價(jià)方法顯得非常重要。

考慮到互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)中占比較大的為消費(fèi)型互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品，同時(shí)具備較為明晰且類似的期權(quán)結(jié)構(gòu)，本文以機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)為主要研究對象確定基本定價(jià)模型，并擴(kuò)充更為豐富的保險(xiǎn)條款以擴(kuò)展基本的定價(jià)模型，從而進(jìn)一步擴(kuò)寬互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品范圍，更為準(zhǔn)確地確定定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

考慮到互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的實(shí)際保險(xiǎn)情況及具體期權(quán)的特點(diǎn)，研究所采用的期權(quán)結(jié)構(gòu)為歐式看漲障礙期權(quán)，即投保人每期花費(fèi)一定數(shù)額保費(fèi)去購買一個(gè)看漲障礙期權(quán)，這里的行權(quán)日即保險(xiǎn)事故發(fā)生日。對于機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)這種需要在每期一交費(fèi)、其后續(xù)續(xù)費(fèi)與否取決于上期的保險(xiǎn)產(chǎn)品來說，可以把它看作若干持續(xù)期組成的期權(quán)結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品。這種期權(quán)結(jié)構(gòu)本身附帶有結(jié)束合約的敲出條款。例如，機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)的一個(gè)普遍敲出條款就是：投保人所投保的車輛每年發(fā)生交通事故的次數(shù)超過4次，則此后整個(gè)保險(xiǎn)合約終止，保險(xiǎn)公司不再承保該保險(xiǎn)標(biāo)的。

正是基于對互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)所蘊(yùn)含的期權(quán)結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的保險(xiǎn)條約的分析，本文以機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)為研究基礎(chǔ)，充分發(fā)揮該險(xiǎn)種覆蓋面廣的優(yōu)勢，力爭確定更為全面準(zhǔn)確且后期可擴(kuò)展的定價(jià)模型。以此為指導(dǎo)對不同互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，助力解決傳統(tǒng)中小保險(xiǎn)企業(yè)在自身規(guī)模及技術(shù)尚不全面的情況下對于互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的定價(jià)需求。

三、模型構(gòu)建

以機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)為例，探究互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)。為了定義機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)的期權(quán)結(jié)構(gòu)，需要從具體保險(xiǎn)合約中進(jìn)行深入探索，歸納總結(jié)出其所具有的期權(quán)結(jié)構(gòu)。

1. 交費(fèi)期、保障期及等待期

通常保險(xiǎn)公司在機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)方面執(zhí)行相同的費(fèi)率標(biāo)準(zhǔn)，且將機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)交費(fèi)期設(shè)置為每期一交費(fèi)(一期通常為一年)，每期交費(fèi)后即享有相應(yīng)的一年保障期。如果需要更長時(shí)間的保障，投保人在未觸及保險(xiǎn)合約敲出條款的情況下可連續(xù)每期購買。本文假設(shè)機(jī)動車最長使用年限T為15年?？沙掷m(xù)交費(fèi)期的期間長度與上一年度被保險(xiǎn)車輛發(fā)生保險(xiǎn)事故次數(shù)有關(guān)，一般來說，上一年車輛出險(xiǎn)次數(shù)不超過4次，保險(xiǎn)公司一般會同意一直續(xù)保。但若出險(xiǎn)次數(shù)過多，保險(xiǎn)公司會考慮提高費(fèi)率標(biāo)準(zhǔn)或不續(xù)簽合約。

保障期是指投保人購買機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)之后，如果在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)事故，投保人及時(shí)報(bào)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司在等待期內(nèi)進(jìn)行確認(rèn)無誤后，可以獲得保險(xiǎn)公司賠付，此為一次保險(xiǎn)賠付的完成。但投保人在該保障期內(nèi)投保的保險(xiǎn)合同并未就此終止。

機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格按照車輛的大小進(jìn)行確定，每期所交保費(fèi)數(shù)額與上期出險(xiǎn)次數(shù)有著一定的正相關(guān)關(guān)系，上期出險(xiǎn)次數(shù)越少則本年保費(fèi)獲得的優(yōu)惠越多。其中規(guī)律就是上一年度出險(xiǎn)次數(shù)越多，則下一年度所交保費(fèi)總額越高。假定所研究的機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)不涉及脫保、過戶等使得保費(fèi)中斷重新計(jì)算的情況，保費(fèi)與機(jī)動車大小、出險(xiǎn)次數(shù)具體關(guān)系如表1、2所示。

表1 交強(qiáng)險(xiǎn)中機(jī)動車座位數(shù)與交費(fèi)時(shí)間關(guān)系 元

表2 機(jī)動車出險(xiǎn)次數(shù)與保費(fèi)折扣關(guān)系 %

等待期是指保險(xiǎn)人收到被保險(xiǎn)人的索賠請求后作出核定所需要的時(shí)間。通常對于機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)而言，保險(xiǎn)事故發(fā)生后，被保險(xiǎn)人應(yīng)根據(jù)事故性質(zhì)和損失情況及時(shí)向保險(xiǎn)人提供索賠須知。等待期相對于保險(xiǎn)期間而言時(shí)間較短，且一般都能及時(shí)賠付，所以本文對等待期這一期間忽略不計(jì)。

2. 互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)種類與賠付

目前在售的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)種類豐富多樣，各財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)險(xiǎn)種保險(xiǎn)條款亦十分詳細(xì)，保額保費(fèi)各不相同。按照互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)所占市場份額劃分，可以將互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)分為互聯(lián)網(wǎng)車險(xiǎn)與互聯(lián)網(wǎng)非車險(xiǎn)兩部分。

保費(fèi)收取大致規(guī)律：保險(xiǎn)公司會對財(cái)產(chǎn)毀損發(fā)生率和保額作出權(quán)衡比較，保費(fèi)由保險(xiǎn)金額、保險(xiǎn)費(fèi)率和保險(xiǎn)期限構(gòu)成。保險(xiǎn)金額與保險(xiǎn)費(fèi)率和保險(xiǎn)期限成正相關(guān)關(guān)系，即保險(xiǎn)金額越大，費(fèi)率越高，保險(xiǎn)期限也越長。從現(xiàn)有的機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)產(chǎn)品來看，機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)賠償最高責(zé)任限額為11萬元，而無責(zé)任情況下最低限額為100元。也有部分機(jī)動車險(xiǎn)采取較為一致的賠付標(biāo)準(zhǔn)，具體和機(jī)動車保險(xiǎn)期限等因素差異不大。2009—2017年間，占車險(xiǎn)業(yè)務(wù)量最大的機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)最終平均出險(xiǎn)率為13.10%。按照保險(xiǎn)公司對不同年份機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)保額的設(shè)定，其規(guī)律就是對于不同年份機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)出險(xiǎn)率賠付的總額較為一致。也就是說，不同保險(xiǎn)公司機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)出險(xiǎn)率雖略有差異，但按照每個(gè)保險(xiǎn)公司的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，保額賠付會得到一致的結(jié)果。

考慮機(jī)動車保險(xiǎn)中業(yè)務(wù)量規(guī)模大小，業(yè)務(wù)量前三名分別是機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)、車損險(xiǎn)、第三者責(zé)任險(xiǎn)。又考慮到機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)在實(shí)際過程中每年保險(xiǎn)公司最終出險(xiǎn)率統(tǒng)計(jì)偏差不大，因此分析中使用機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)的數(shù)據(jù)要明顯優(yōu)于機(jī)動車其他險(xiǎn)種數(shù)據(jù)，既保證了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的一致性，又使得統(tǒng)計(jì)研究對所有保險(xiǎn)公司有較為一致的針對性與適用性?；跓o套利原理思想可以得知，不同保險(xiǎn)公司最終機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)出險(xiǎn)率與對應(yīng)保額的乘積得到的現(xiàn)金流是一致的，所以利用不同保險(xiǎn)公司交強(qiáng)險(xiǎn)出險(xiǎn)率數(shù)據(jù)進(jìn)行定價(jià)研究時(shí)，其結(jié)果是無差異的。

于是，設(shè)定的期權(quán)定價(jià)模型中有這樣的假設(shè)：每期保險(xiǎn)公司對機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)賠付總額的期望值一致。對中國人民財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)有限公司、中國人壽財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)有限公司、中國平安財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)等十家保險(xiǎn)公司機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)最終出險(xiǎn)率數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見表3)。限于數(shù)據(jù)的連續(xù)性與完整性，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)選取年份為2009—2017年。

表3 機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制險(xiǎn)最終出險(xiǎn)率統(tǒng)計(jì) %

表3(續(xù)) %

3. 敲出條款

敲出條款，即保單終止的條款。機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)保險(xiǎn)條款中均會規(guī)定：投保人在投保后，在符合保險(xiǎn)條約出險(xiǎn)后賠付情況下，當(dāng)投保人所投保車輛出險(xiǎn)不超過一定次數(shù)時(shí)，保險(xiǎn)公司在下一年會同意續(xù)保；但如果上一年出險(xiǎn)次數(shù)過多，保險(xiǎn)公司則會終止下一年的保險(xiǎn)合約續(xù)約。保險(xiǎn)合同何時(shí)終止，取決于投保標(biāo)的上一年的保險(xiǎn)情況，而不是本年所發(fā)生的保險(xiǎn)次數(shù)。保險(xiǎn)人在支付約定保額的賠付后，不退還投保人之前所交的保費(fèi)。

4. 意外情況

對于發(fā)生如地震及其次生災(zāi)害、戰(zhàn)爭暴亂等不可抗力的意外情況，一般屬于保險(xiǎn)公司的免責(zé)條款，無論損失程度如何，保險(xiǎn)公司均不予賠付。但此類意外不影響保險(xiǎn)持續(xù)期內(nèi)其他出險(xiǎn)情況的賠付，保險(xiǎn)標(biāo)的物滅失的除外。由于此類意外情況在實(shí)際生活中發(fā)生概率較小，故本文不考慮其產(chǎn)生的影響，不作具體探討。

5. 互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的期權(quán)結(jié)構(gòu)

設(shè)某個(gè)機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)保障期為t。將每個(gè)保障期t看作1年，投保人持續(xù)續(xù)約期為T。考慮到機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)單期交費(fèi)的特點(diǎn)，設(shè)定單期費(fèi)用為X，在此保障期內(nèi)發(fā)生約定出險(xiǎn)情況則獲得保險(xiǎn)賠付。保險(xiǎn)合約期滿，根據(jù)上一年情況，符合保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)條約要求的可以續(xù)約，費(fèi)用為αtX(αt為保險(xiǎn)公司按去年情況決定的上下浮動比例)。這種保險(xiǎn)合同可以看作一種結(jié)構(gòu)性期權(quán)產(chǎn)品，由一個(gè)具有特殊條件的T期看漲期權(quán)構(gòu)成，該期權(quán)產(chǎn)品的期限也為T。

也就是說，若投保人一共續(xù)約T期，其實(shí)相當(dāng)于投保人每期花費(fèi)αtX購買一個(gè)看漲障礙期權(quán)。對于投保人而言，該時(shí)期內(nèi)看漲障礙期權(quán)的現(xiàn)金流為

(1)

式中：Pt為車險(xiǎn)事故發(fā)生序列，如Pt=0，說明第一年并未發(fā)生車險(xiǎn)事故；M為合同規(guī)定的賠付金額。

投保人在約定期間內(nèi)發(fā)生約定保險(xiǎn)事由后，獲得的賠付額為PtM。同時(shí)，該期權(quán)附帶的特殊敲出條款是：當(dāng)約定保險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)，期權(quán)行權(quán)，投保人獲得相應(yīng)保額賠付，投保人下一年度所交保費(fèi)數(shù)額與上一年車險(xiǎn)事故發(fā)生序列有關(guān)。但在此種情況下隱含的一個(gè)事實(shí)，就是該保險(xiǎn)標(biāo)的未曾在保險(xiǎn)期間內(nèi)滅失，否則之后保險(xiǎn)期間持續(xù)期內(nèi)車險(xiǎn)事故發(fā)生序列停止計(jì)算，該保險(xiǎn)合約的可持續(xù)期也自動終止。這類特殊敲出條款影響著交強(qiáng)險(xiǎn)的期權(quán)結(jié)構(gòu)路徑，看漲障礙期權(quán)的實(shí)際價(jià)值影響因素變得復(fù)雜，也不利于投保人準(zhǔn)確分析期權(quán)產(chǎn)品的價(jià)值，容易發(fā)生盲目投?，F(xiàn)象。

因此，選取保險(xiǎn)公司而非投保人為主體進(jìn)行研究分析。分析中涉及上文保險(xiǎn)續(xù)費(fèi)費(fèi)用αtX中的參數(shù)αt序列與Pt序列相關(guān)，具體表現(xiàn)為

(2)

若連續(xù)多年未發(fā)生事故則有進(jìn)一步優(yōu)惠

(3)

假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r為4%，投保總?cè)藬?shù)為100 000，事故發(fā)生率為Nt。對于保險(xiǎn)公司來說，每賣出一份保單就會得到一筆保費(fèi)收入。將保險(xiǎn)公司和投保人之間的保險(xiǎn)合同視作包含特殊敲出條件的一系列期限為T的結(jié)構(gòu)化期權(quán)產(chǎn)品。保險(xiǎn)公司在整個(gè)持續(xù)期T內(nèi)獲得的保費(fèi)收入額為

(4)

同時(shí)，在持續(xù)期內(nèi)保險(xiǎn)公司該保險(xiǎn)合約現(xiàn)金流出貼現(xiàn)值為

(5)

式中，X為所需繳納的單期保險(xiǎn)費(fèi)用；Nt為該保險(xiǎn)合約當(dāng)年發(fā)生賠付的人數(shù)；Q為賠付次數(shù)的頻率分布。

由于保險(xiǎn)公司對于用戶數(shù)據(jù)的保密性原則，本文并未獲得Q的真實(shí)數(shù)據(jù)，此處出險(xiǎn)次數(shù)頻率Q為假定值。同時(shí)需要說明的是，Q也是一個(gè)變化的值，實(shí)務(wù)中保險(xiǎn)公司借助數(shù)據(jù)驅(qū)動技術(shù)，依托歷史數(shù)據(jù)的變化可以較為精準(zhǔn)地預(yù)測到每期Q分布頻率，具體如表4、5所示。

表4 出險(xiǎn)次數(shù)與頻率關(guān)系

表5 0次出險(xiǎn)頻率假定構(gòu)成

根據(jù)無套利原理，有

PVCI=PVCO

(6)

即

(7)

對式(7)求解，可得在該Nt序列下的保單費(fèi)用X。

該方程的求解重點(diǎn)在于Nt序列。根據(jù)保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)的歷年最終出險(xiǎn)率數(shù)據(jù)進(jìn)行蒙特卡洛模擬，從而構(gòu)造Nt序列；再通過具體的Nt序列，求出相應(yīng)的保單費(fèi)用；最終計(jì)算平均費(fèi)用即理論價(jià)格，表示為

(8)

四、仿真與分析

1. 蒙特卡洛數(shù)值模擬框架

選取2006—2017年各保險(xiǎn)公司機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)最終出險(xiǎn)率來完成Nt序列的構(gòu)建，數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 2006—2017年機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)最終出險(xiǎn)率 %

根據(jù)以上各保險(xiǎn)公司年平均最終出險(xiǎn)率的歷史數(shù)據(jù)，可以對Nt序列進(jìn)行模擬。假定最終出險(xiǎn)率N服從布朗運(yùn)動

dN=μdt+σNdz

(9)

式中：μ為N歷史序列變動率的期望；σ為N的波動率，是歷年最終出險(xiǎn)率變動比例的標(biāo)準(zhǔn)差，代表最終出險(xiǎn)率的波動；dz為維納過程。

將式(9)的連續(xù)模型進(jìn)行離散化可得

(10)

根據(jù)伊藤引理，有

(11)

將上述隨機(jī)過程改寫為離散形式有

(12)

進(jìn)而可以推知

(13)

式中，ε為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量。

根據(jù)式(11)～(13)進(jìn)行Nt序列的模擬。每一次模擬都能給出未來某個(gè)持續(xù)期內(nèi)該保險(xiǎn)合約當(dāng)年發(fā)生賠付人數(shù)，進(jìn)而代入公式求出保單的費(fèi)用，最終計(jì)算出的平均費(fèi)用即為該保險(xiǎn)產(chǎn)品理論價(jià)格。

定價(jià)方程(1)～(3)、(7)、(8)、(13)構(gòu)成本文的基準(zhǔn)定價(jià)模型。對方程(13)進(jìn)行大量蒙特卡洛模擬得出Nt序列，然后代入式(7)求得保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的解。

2. 仿真結(jié)果分析

在具體仿真實(shí)驗(yàn)中，選取不同的持續(xù)期T(5，10，15，單位為年)和不同機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)約定獲賠保額M(5 000，10 000，單位為元)，并針對不同T、M的組合分別設(shè)定模擬次數(shù)。每次進(jìn)行5 000次蒙特卡洛模擬來計(jì)算保費(fèi)價(jià)格X，每次模擬都可以計(jì)算出保險(xiǎn)合同在一個(gè)連續(xù)時(shí)期內(nèi)的索賠數(shù)量。將模擬的Nt序列代入式(7)得到機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)近似值X。機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中發(fā)生保險(xiǎn)事故后獲得的保額受各種具體情況限制，所以保險(xiǎn)公司才約定某種出險(xiǎn)具體情況所對應(yīng)的獲賠保額是不同的。以5 000元、10 000元兩種獲賠保額為例進(jìn)行運(yùn)算，其他情況同理。

圖1a～f是在保險(xiǎn)金額分別為5 000元、10 000元的情況下，對不同持續(xù)時(shí)間的模擬定價(jià)結(jié)果。

圖1 機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)數(shù)值模擬定價(jià)結(jié)果

從定價(jià)結(jié)果來看，本模型定價(jià)結(jié)果與保險(xiǎn)公司實(shí)際業(yè)務(wù)中的定價(jià)結(jié)果相近，有略微差值的為設(shè)定的保險(xiǎn)事故某期發(fā)生次數(shù)的對應(yīng)賠付概率。在保險(xiǎn)條約具體給定的情況下，可以根據(jù)獲賠保額或應(yīng)交保費(fèi)任意值推算另一值，甚至可以做到三者之間的相互可逆推算。

在定價(jià)的時(shí)間效率方面，本文提出的數(shù)值模擬方法可以快速對機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)進(jìn)行保險(xiǎn)定價(jià)，避免了傳統(tǒng)保險(xiǎn)定價(jià)策略的大量重復(fù)計(jì)算，且實(shí)務(wù)中可運(yùn)用大數(shù)據(jù)技術(shù)實(shí)時(shí)更新保險(xiǎn)事故某期發(fā)生的賠付次數(shù)，使得定價(jià)更加準(zhǔn)確，為中小保險(xiǎn)企業(yè)提供新的定價(jià)思路與策略。

3. 靜態(tài)比較分析

由于無法給出所有互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)模擬的結(jié)果，上文只選用和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)較為相似的機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)同模擬價(jià)格進(jìn)行比較。為了更好地探討出保險(xiǎn)期限、獲賠保額及保費(fèi)之間的關(guān)系，進(jìn)一步進(jìn)行靜態(tài)比較分析?？紤]到機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)最大持續(xù)期及實(shí)際獲賠保額情況，選取T為3～15年，獲賠保額M為5 000元～12 000元這一范圍數(shù)據(jù)，對不同T-M組合進(jìn)行數(shù)值模擬。持續(xù)期T、獲賠保額M與保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)之間的關(guān)系如圖2所示，其更為形象地顯示了三者的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

圖2 不同保額及持續(xù)期組合下機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)數(shù)值模擬定價(jià)結(jié)果

五、針對互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的定價(jià)模型擴(kuò)展

為使定價(jià)模型更加適用于高度細(xì)分的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)定價(jià)，有必要對定價(jià)模型進(jìn)行擴(kuò)展，為中小保險(xiǎn)公司互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的定價(jià)策略提供更多的參考。以機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)為例的期權(quán)定價(jià)模型為基礎(chǔ)，對保險(xiǎn)合約有所差異的其他互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)應(yīng)用作探討補(bǔ)充。

1. 對定價(jià)模型的應(yīng)用性擴(kuò)展

由于不同的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)險(xiǎn)種所對應(yīng)的具體保險(xiǎn)合約細(xì)節(jié)有所差異，反映在定價(jià)模型中就需要對一些參數(shù)和定價(jià)模型的形式進(jìn)行微調(diào)。合約細(xì)節(jié)或形式越貼近，則保險(xiǎn)定價(jià)模型的適用性越強(qiáng)。實(shí)際應(yīng)用中需將不同險(xiǎn)種保險(xiǎn)合約與機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)進(jìn)行比較，根據(jù)其不同之處對定價(jià)模型進(jìn)行微調(diào)處理，以適應(yīng)更多險(xiǎn)種。

若某類互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)與機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)合約細(xì)節(jié)類似，則不需對模型作較大改動，只需對這些財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的交費(fèi)期、保障期、費(fèi)率等數(shù)值進(jìn)行替換，并將Nt序列替換為所求險(xiǎn)種對應(yīng)的標(biāo)的序列，之后便可根據(jù)上文方法對此類互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)。

若某類互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)為返還型互聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)，比如到期還本型的房屋財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)，雖保險(xiǎn)合約與機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)有所差異，條款也更加復(fù)雜，但期權(quán)結(jié)構(gòu)相似且并無本質(zhì)區(qū)別，則只需將到期還本的本金按分期累計(jì)的方式加到賠付項(xiàng)中即可。

2. 保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)中利率模型的作用探討

期權(quán)定價(jià)理論中，一些學(xué)者討論了利率模型的作用。在本文實(shí)證研究過程中，針對不同利率模型參考了大量文獻(xiàn)并進(jìn)行分析，但最終結(jié)果顯示其并無較好的適用性。綜合來看，若討論的是歷史利率對于定價(jià)模型的影響，則歷史年份利率均可獲得，沒有引入利率模型的必要性，根據(jù)歷史利率數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的合理性即可。若考慮引入一個(gè)利率模型推算未來利率，由于機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)交費(fèi)期較短(一般為一年)、利率波動幅度較小，只推算出未來一年利率意義不大。因此利率模型在保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)中作用不大，本文也并沒有引入利率模型加以計(jì)算，更多地是依據(jù)現(xiàn)有利率驗(yàn)證過去定價(jià)適用性，為互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)險(xiǎn)種保單定價(jià)提供參考。

六、結(jié) 論

本文以機(jī)動車交強(qiáng)險(xiǎn)為例，研究了互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)險(xiǎn)種包含的期權(quán)結(jié)構(gòu)，并采用蒙特卡洛模擬及無套利定價(jià)方法對互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，提出了路徑依賴型具有復(fù)雜期權(quán)結(jié)構(gòu)的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)模型。通過定價(jià)結(jié)果分析，得到了符合實(shí)際預(yù)期的險(xiǎn)種價(jià)格定價(jià)區(qū)間，驗(yàn)證了該模型的定價(jià)能力。對于具有類似保險(xiǎn)合約的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)，只需對定價(jià)模型中的參數(shù)及方程形式進(jìn)行微調(diào)便能廣泛應(yīng)用?？紤]到不同互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)保險(xiǎn)合約的差異性，對具有不同保險(xiǎn)合約的互聯(lián)網(wǎng)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)定價(jià)進(jìn)行了思路擴(kuò)展。

本文基于蒙特卡洛數(shù)值模擬所提出的定價(jià)模型具有較好的適用性與擴(kuò)展性，并利用數(shù)據(jù)驅(qū)動對賠付概率進(jìn)行及時(shí)調(diào)整，滿足了時(shí)效性需求，為創(chuàng)新轉(zhuǎn)型階段的傳統(tǒng)中小保險(xiǎn)企業(yè)提供了一種新的定價(jià)思路，以滿足不同細(xì)分的保險(xiǎn)市場需求。