朱滿喜

【摘 要】運(yùn)用結(jié)構(gòu)性思維，有利于全面了解知識(shí)、系統(tǒng)掌握知識(shí)，洞察知識(shí)的全貌。教師應(yīng)用知識(shí)的整體視野、教學(xué)的全局意識(shí)，并根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)特質(zhì)，連線、勾面、成體，讓教學(xué)更具立體性、結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，最大限度地彰顯、發(fā)掘、拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)性思維 一一列舉 解決問題的策略

常說“數(shù)學(xué)是思維的體操”，思維是人類所具有的高級(jí)認(rèn)識(shí)活動(dòng)。按照信息論的觀點(diǎn)，思維是對(duì)新輸入信息與腦內(nèi)儲(chǔ)存知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行一系列復(fù)雜的心智操作過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力非常重要。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)提到兩種思維：形象思維和邏輯思維。形象思維主要是指人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中，對(duì)事物表象進(jìn)行取舍時(shí)形成的，只用直觀形象的表象去解決問題的思維方法。邏輯思維則是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過程中，借助于概念、判斷、推理等思維形式，能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識(shí)過程，又稱抽象思維。形象思維和邏輯思維是兩種最為基本的思維形態(tài)，以借助的材料或信息加工的方式來區(qū)分，尤其在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)多樣的探索情境，讓學(xué)生在形象思維和邏輯思維之間來回演練，相互支持、生發(fā)，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)深度理解，培養(yǎng)思維能力。筆者在聽課以及教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果一味只是注重形象思維或邏輯思維的訓(xùn)練，只會(huì)在理解、發(fā)現(xiàn)新知時(shí)起作用，而不足以全面了解知識(shí)的起源、過程、運(yùn)用等。筆者認(rèn)為，教師首先要關(guān)注學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的培養(yǎng)，這樣才能使他們了解知識(shí)的全貌。本文以蘇教版“解決問題的策略（一一列舉）”教學(xué)為例，探討結(jié)構(gòu)性思維的重要性。

結(jié)構(gòu)性是就客觀事物的組成部分按照一定順序進(jìn)行排列組合。結(jié)構(gòu)性思維是指從結(jié)構(gòu)的視角分析事物的一種方法，強(qiáng)調(diào)從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)去認(rèn)識(shí)客觀事物，并從中尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)，以獲取最佳效能的思維方法。結(jié)構(gòu)性思維是世界觀和方法論體系中一種重要的思想范式，在我們的思維過程和研究活動(dòng)中有特殊地位，發(fā)揮著重要作用。結(jié)構(gòu)存在于每個(gè)整體與局部的關(guān)系的無(wú)窮變化中，每個(gè)局部表現(xiàn)整體，而局部的意義和價(jià)值又是由整體來決定的。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，有利于全面了解知識(shí)，系統(tǒng)掌握知識(shí)，還可以洞察知識(shí)的全貌。

一、觀課后個(gè)人反思

反思一：管中窺豹，以點(diǎn)概面——教少了

在觀課“解決問題的策略（一一列舉）”時(shí)常見年輕教師把“情況一個(gè)一個(gè)列舉出來就是一一列舉”和“列舉時(shí)有序列舉”作為教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，整節(jié)課把“有序思考”“不重復(fù)”“不遺漏”三個(gè)關(guān)鍵詞如同口號(hào)似的一再?gòu)?qiáng)調(diào)和說明。筆者認(rèn)為，“有序思考”確實(shí)對(duì)于列舉來說非常重要，但這不是本節(jié)課的全部知識(shí)點(diǎn)，也不是列舉的全貌。對(duì)于這樣一節(jié)專門講授“一一列舉策略”的新授課來說，讓學(xué)生只記住了列舉時(shí)要有序思考遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。其實(shí)，在低年級(jí)教材中已經(jīng)滲透了一一列舉的方法，已經(jīng)讓學(xué)生去有序觀察、有序羅列，學(xué)生對(duì)“從小到大”“從大到小”排列已經(jīng)有了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在五年級(jí)再次把“列舉”作為一個(gè)新授課來教學(xué)，則需要更系統(tǒng)地去思考和結(jié)構(gòu)化地處理教學(xué)，從解構(gòu)列舉，到再構(gòu)列舉，要讓學(xué)生了解為什么要列舉，什么是列舉，怎么來列舉，用列舉對(duì)解決問題的影響，等等。

反思二：笑語(yǔ)盈盈，得魚忘筌——教淺了

教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)：教師板書課題開門見山，“一年級(jí)就學(xué)了，請(qǐng)寫出10的分成”。對(duì)比幾個(gè)作業(yè)，強(qiáng)調(diào)有序。小結(jié)，這樣一個(gè)一個(gè)寫出來，就是一一列舉，列舉時(shí)按順序、不重復(fù)、不遺漏。全班學(xué)生興致盎然、極其自信。然后例題改練習(xí)題，通過一一列舉找到解決問題的答案。教師還設(shè)計(jì)了層次性的練習(xí)，非常典型的題目搭配問題的列舉，在3名男生和2名女生中找一男一女來主持，有幾種不同情況。學(xué)生上臺(tái)表演，現(xiàn)場(chǎng)搭配，熱鬧非凡，確實(shí)也收到了非常好的效果。再通過拓展題——先分類再列舉的題目練習(xí)，拓展對(duì)列舉的運(yùn)用方法。整節(jié)課學(xué)生的主體作用發(fā)揮得淋漓盡致，教師幽默風(fēng)趣的語(yǔ)言吸引著學(xué)生，學(xué)生愛上這樣的數(shù)學(xué)課，愛這樣的老師。

聽課的教師都極其推崇這樣的課堂，對(duì)于教者的個(gè)人教學(xué)魅力筆者也是非常欣賞。很多名師課堂都有這樣的共性，教師退在后面，讓學(xué)生來表達(dá)、來爭(zhēng)論，學(xué)知識(shí)的同時(shí)也生長(zhǎng)能力。學(xué)生學(xué)得非常興奮、非常有自信，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說特別重要。但熱鬧背后我們也要冷靜思考，學(xué)生對(duì)新知架構(gòu)是否如自我感覺那樣順風(fēng)順?biāo)?？?shù)學(xué)思維是否如學(xué)習(xí)情感那樣持續(xù)高漲和進(jìn)階呢？當(dāng)然，有功底的名師往往教學(xué)氣氛熱烈，思維含金量也高?？墒悄贻p教師或?qū)W生會(huì)不會(huì)只被這熱鬧生動(dòng)的場(chǎng)面而興奮得“樂不思蜀”“得魚忘筌”，無(wú)法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更系統(tǒng)和本質(zhì)的思考和學(xué)習(xí)呢？

二、備課時(shí)系統(tǒng)性思考

“一一列舉”是五年級(jí)學(xué)習(xí)的“解決問題的策略”，學(xué)習(xí)之前學(xué)生已經(jīng)做過相關(guān)的列舉活動(dòng)練習(xí)，如10的分成，2、3、5一共可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)等。如果之前的滲透是練習(xí)，那么本節(jié)課是對(duì)于“一一列舉”的新授課教學(xué)。既然是新授課，就需要學(xué)生對(duì)于“一一列舉”在頭腦中形成更加系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，不能是碎片知識(shí)的堆砌，只有站到數(shù)學(xué)知識(shí)整體、全局、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)高度進(jìn)行教學(xué)，才能將數(shù)學(xué)知識(shí)“拎起來”“立起來”“串起來”“連起來”，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)連線、成片、織網(wǎng)。備課時(shí)基于結(jié)構(gòu)化思維，希望學(xué)生對(duì)于“一一列舉”這個(gè)策略有更全面、更系統(tǒng)和更深入的理解。

（一）什么時(shí)候要用“一一列舉”

列舉并非是“從條件想起”“從問題想起”這樣的基本策略，它是特定問題中的一種常用策略。一般來說，出現(xiàn)結(jié)果比較多的時(shí)候要用列舉，復(fù)雜問題無(wú)法解決時(shí)，可以從簡(jiǎn)單入手進(jìn)行列舉，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）怎么用“一一列舉”

列舉第一步教師往往會(huì)忽視明確列舉要求，這也是列舉的前提。每一次列舉，必定是圍繞一個(gè)要求來列舉，有的是“周長(zhǎng)一定”，那么長(zhǎng)加寬的和一定;有的是“面積一定”，那么長(zhǎng)乘寬的積一定;有的是“每40分鐘響一次”，那么時(shí)間跨度一定……但凡列舉，必有一個(gè)列舉要求。列舉第二步是找合適的列舉形式，可以是列表、畫圖、列算式、符號(hào)、文字、數(shù)字等，只要是簡(jiǎn)明扼要、清晰明了就好，不用太多拘泥于形式。第三步是有序思考、有序表達(dá)。列舉的“有序思考”極其重要，這樣才能保證列舉不重復(fù)、不遺漏。列舉“三步走”，正是結(jié)構(gòu)化思維的訓(xùn)練。

（三）列舉的結(jié)果是什么

一一列舉了全部情況，這不是列舉的結(jié)果。列舉結(jié)果需要指向解決問題，所以列舉后，還要分析列舉情況，確定問題解決的方法。

（四）思辨認(rèn)識(shí)列舉的作用

本節(jié)課教的是列舉，但是要讓學(xué)生站在解決問題的全局高度認(rèn)識(shí)列舉策略，系統(tǒng)而思辨地認(rèn)識(shí)到列舉的作用。列舉是解決問題過程中的一種方法，并非結(jié)果。列舉是從簡(jiǎn)單列舉到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最終走向解決更復(fù)雜的問題，要引導(dǎo)學(xué)生從列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如果有規(guī)律可循，就不需要再進(jìn)行列舉。

三、設(shè)計(jì)中結(jié)構(gòu)化思維

（一）創(chuàng)設(shè)情境，喚起策略需求

（1）復(fù)習(xí)：回顧一下，我們已經(jīng)學(xué)過哪些策略？

（2）今天學(xué)習(xí)新策略。出示例題：王大叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？讀題，說說有哪些關(guān)鍵詞？根據(jù)這些關(guān)鍵詞你能想到什么？

（3）你打算用什么方法找到面積最大的圍法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過審題發(fā)現(xiàn)圍法有多種，要找到面積最大的圍法，首先要通過把多種情況都羅列出來，這是從問題出發(fā)思考，需要用列舉的方法才能解決問題，是引發(fā)策略的需求。讓學(xué)生初步感知題型特點(diǎn)，從問題出發(fā)，自下而上引發(fā)列舉需求。

（二）解構(gòu)步驟，體會(huì)策略過程內(nèi)部結(jié)構(gòu)化

1.審題分析——明確列舉要求

圍成的所有長(zhǎng)方形必須遵循哪個(gè)條件？（周長(zhǎng)22米，也就是“長(zhǎng)+寬=11米”）

指出：情況有多種，但必須要符合“長(zhǎng)+寬=11”，這是列舉的要求。

2.自主探索——簡(jiǎn)明有序列舉

（1）你打算怎樣把所有的情況都表達(dá)出來？（畫圖、列表、算式）

（2）學(xué)生用自己的表達(dá)方式獨(dú)立嘗試完成列舉，教師巡視。

（3）交流學(xué)生作品。學(xué)生介紹，其他同學(xué)質(zhì)疑、點(diǎn)評(píng)。

對(duì)比作品，教師追問：為什么這樣列舉好？

引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一是要簡(jiǎn)單明了地表達(dá)，二是要有序思考才能做到不重復(fù)、不遺漏。

（4）小結(jié)提問：這些作品盡管表達(dá)形式有圖、有表、有算式，但是有什么共同的地方？

引導(dǎo)學(xué)生回顧列舉的要求：要有序、不重復(fù)、不遺漏。

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律——分析解決問題

所有可能的長(zhǎng)與寬都列舉出來后，并沒有結(jié)束，還要根據(jù)列舉的情況，分析問題，找到答案。（板書：分析解決問題）

在依次計(jì)算面積時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（當(dāng)周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬越接近，面積越大）

指出：這個(gè)規(guī)律是通過列舉不同的長(zhǎng)與寬，求出其面積后發(fā)現(xiàn)得到的。（發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

追問：有了這個(gè)規(guī)律，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+寬=51時(shí)，哪種情況面積最大？還需要列舉嗎？（不需要，直接運(yùn)用規(guī)律，當(dāng)長(zhǎng)26、寬25時(shí)，面積最大）

當(dāng)長(zhǎng)+寬=50呢？（正方形是特殊的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)一樣，正方形的面積比長(zhǎng)方形大）

4.總結(jié)回顧——梳理列舉要點(diǎn)

（1）回顧解決問題的過程，你有什么體會(huì)？

（2）在以前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)運(yùn)用列舉的策略解決過哪些問題？

【設(shè)計(jì)意圖】充分相信學(xué)生自主探索列舉策略的能力，讓學(xué)生在嘗試列舉、交流、對(duì)比、質(zhì)疑中發(fā)現(xiàn)列舉的注意點(diǎn)。用教材例題，整體框架也依據(jù)教材，設(shè)計(jì)亮點(diǎn)處就是把列舉過程進(jìn)行解構(gòu)，即“明確列舉要求—簡(jiǎn)明有序列舉—分析解決問題”三大步驟，得出結(jié)構(gòu)化列舉策略，讓學(xué)生對(duì)整個(gè)列舉解決問題的全過程有更為清晰的認(rèn)識(shí)。

（三）多樣練習(xí)，感知策略外部使用結(jié)構(gòu)化

1.練一練1

讀題“一個(gè)音樂鐘，每隔一段相等的時(shí)間就發(fā)出鈴聲。已經(jīng)知道上午9：00、9：40、10：20、11：00發(fā)出鈴聲，那么下面哪些時(shí)刻也會(huì)發(fā)出鈴聲？13：00? ?14：40? ?15：40? ?16：00”，自主完成。

學(xué)生交流后，教師追問：你是依據(jù)什么來列舉的？列舉時(shí)按照什么順序？（40分鐘響一次，時(shí)間順序）

根據(jù)列舉情況，回答問題。仔細(xì)觀察對(duì)比所有列舉，發(fā)現(xiàn)發(fā)出鈴聲時(shí)刻有什么規(guī)律特點(diǎn)？（小時(shí)數(shù)為單數(shù)是整點(diǎn)和40分時(shí)都會(huì)響鈴，比如9：00、9：40、11：00、11：40;小時(shí)數(shù)為雙數(shù)時(shí)分別在20分響鈴，比如：10：20、12：20）

追問：22：00會(huì)響鈴嗎？

2.練一練2

讀題“學(xué)校食堂某天中午供應(yīng)的葷菜有3種，素菜有4種，小洪選1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配？”，用自己的方法來列舉找到答案。

交流方法。（連線、符號(hào)、文字）

教師追問：你是依據(jù)什么來列舉的？（一葷一素）列舉時(shí)按照什么順序？（先找一種葷菜配4種素菜，再依次配，三種葷菜有3個(gè)4種搭配方法）先找葷菜來配素菜，也可以先找素菜來配葷菜嗎？取出一種素菜配葷菜，有幾種配法？有幾個(gè)幾種配法？

教師再追問：不管是從葷菜出發(fā)配素菜的3個(gè)4種搭法，還是從素菜出發(fā)配葷菜的4個(gè)3種搭法，都可以用一個(gè)算式來計(jì)算嗎？（3×4=12種）

教師又追問：如果食堂今日供應(yīng)6種葷菜和8種素菜呢？（6×8=48種）

3.對(duì)比總結(jié)列舉步驟和作用

前面完成的三題都是用列舉解決問題，有什么共同的地方？（都是通過列舉情況找到答案，都按照“明確列舉要求—簡(jiǎn)明有序列舉—分析解決問題”的步驟完成）

小結(jié)：列舉是解決一些特殊問題的一種策略，往往通過前期簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)列舉可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律就可以直接解決問題。

【設(shè)計(jì)意圖】再通過2道題的列舉練習(xí)，再次完成列舉三步驟過程，再次用結(jié)構(gòu)化思維建構(gòu)新知、認(rèn)識(shí)新知。聯(lián)合3道例題對(duì)比發(fā)現(xiàn)，鞏固結(jié)構(gòu)化思維。同時(shí)，每一題都設(shè)計(jì)追問，通過列舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助規(guī)律無(wú)須列舉就可以解決更復(fù)雜的問題，感知列舉策略在解題中的作用。認(rèn)識(shí)列舉，更要思辨列舉策略，并非本節(jié)課講列舉，那么列舉就是最好的方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是更優(yōu)化的方法。

4.拓展鞏固，思辨策略作用

出示題目：10個(gè)點(diǎn)一共可以畫幾條直線？

提問：你打算怎么解決問題？

引導(dǎo)啟發(fā)：復(fù)雜的難題可以從簡(jiǎn)單開始，從簡(jiǎn)單的列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決問題。

指導(dǎo)完成列舉，并解決問題。

小結(jié)：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從簡(jiǎn)單出發(fā)，列舉情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決復(fù)雜問題。碰到難題不著急，可以從簡(jiǎn)單列舉開始逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】前面3題都是直接進(jìn)行列舉，最后拓展題較復(fù)雜。引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單列舉開始思考，也是結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)列舉在解決問題中的作用。

教師基于系統(tǒng)性思考、結(jié)構(gòu)化思維，忠于教材原題設(shè)計(jì)上述教學(xué)過程，突顯結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)。一是列舉過程內(nèi)部結(jié)構(gòu)化，“明確列舉要求—簡(jiǎn)明有序列舉—分析解決問題”三步驟，既是解構(gòu)，也是再構(gòu)過程，從而達(dá)到更全面掌握列舉策略的目的。二是列舉外部，解決問題過程的結(jié)構(gòu)化，明白列舉策略在解決問題中的地位和作用。通過兩種結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)，才能比較清晰、全面、系統(tǒng)、客觀地學(xué)習(xí)新知，洞察知識(shí)的全貌。結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)，要求教師具有知識(shí)的整體視野、具有教學(xué)的全局意識(shí)，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)特質(zhì)，連線、勾面、成體，讓教學(xué)更具立體性、結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，最大限度地彰顯、發(fā)掘、拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。