李晞鵬

上海理工大學(xué)附屬中學(xué)教師

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建?；顒邮抢脭?shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐，具體而言就是通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解的過程。數(shù)學(xué)建模有三個重要思想：（1）用確定來把握不確定；（2）用局部來表現(xiàn)整體；（3）用歷史來預(yù)測未來。但在現(xiàn)實的教學(xué)開展中數(shù)學(xué)建模活動還存在不少問題，需要引起高中階段數(shù)學(xué)教育者的關(guān)注。如何在高中階段推進(jìn)數(shù)學(xué)建模活動，筆者結(jié)合自己這些年的經(jīng)歷談?wù)勎业囊恍w會。

一、時代的呼喚與學(xué)科內(nèi)在發(fā)展的需要

2019年國務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力的培養(yǎng)，要求各校積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的課堂教學(xué)，建議適當(dāng)增加學(xué)生的探究性、實踐性、綜合性作業(yè)，注重加強(qiáng)課題研究、項目設(shè)計、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性學(xué)習(xí)。隨著上海市“雙新”的推進(jìn)，高中生畢業(yè)學(xué)分最低要求是144分，其中必修是88學(xué)分，選擇性必修和選修分別是大于42和14學(xué)分。而每周按35課時設(shè)定，18課時為一個學(xué)分，那么整個高中三年大概要達(dá)到230學(xué)分。多出來近90個學(xué)分為各類選修課程提供實施空間。

在傳統(tǒng)高考體制下，由于高考指向等原因，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科教育主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，它以“雙基”為目標(biāo)，以知識傳授為主體，重視數(shù)學(xué)學(xué)科本位知識，主張以學(xué)科知識為中心構(gòu)建課程體系，但缺乏數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，缺乏真實問題的解決，缺乏以育人為本的課程觀。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與數(shù)學(xué)建模活動主要不同點(diǎn)見表1：

表1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與數(shù)學(xué)建?；顒又饕煌c(diǎn)

數(shù)學(xué)建模搭建數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，它注重學(xué)生運(yùn)用知識解決實際問題的能力、團(tuán)隊合作能力與創(chuàng)新實踐。在素養(yǎng)導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展是時代的呼喚，也是學(xué)科內(nèi)在發(fā)展的需要。

二、課程開設(shè)的路徑與資源利用

（一） 必修課程的有效滲透

數(shù)學(xué)必修課程是數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地，其教學(xué)導(dǎo)入、概念生成、例題講解、問題拓展、延伸閱讀等環(huán)節(jié)都為數(shù)學(xué)建模提供契機(jī)，在必修課程中有效滲透是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的重要環(huán)節(jié)。

以上海教育出版社數(shù)學(xué)必修（第一冊）新教材中不等式章節(jié)為例，在一元二次不等式的求解一節(jié)中，就是以吉奧丹諾（F.R.Giordano）等著的《數(shù)學(xué)建模》一書中的剎車距離案例作為一元二次不等式的新課導(dǎo)入，用通過測量肇事汽車的剎車距離來推斷該車輛實施剎車前的行駛速度，通過實驗數(shù)據(jù)收集、函數(shù)擬合、統(tǒng)計偏差估計等手段，抽象出來一元二次函數(shù)，通過模型的解，來作為斷定司機(jī)在肇事前是否有超速違章行為的重要參考依據(jù)。在其后“服裝銷售”“順流逆流航行”“綠地行道”多處涉及數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題。特別是在章節(jié)結(jié)束階段的課后閱讀《調(diào)和平均值與算術(shù)平均值不等式》中，當(dāng)船速一定，以靜水和有流速的河中往返航行相同距離所需時間長短展開分析，導(dǎo)出調(diào)和平均值和算術(shù)平均值大小關(guān)系，材料還延伸到了歷史上著名的邁克耳孫-莫雷實驗解決了“以太”媒介假說問題，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣?？梢哉f數(shù)學(xué)建模思想貫穿不等式教材設(shè)計始終。

高中教師要仔細(xì)研讀教材，挖掘思考教材意圖，同時也應(yīng)收集編寫一些經(jīng)典案例，利用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法、組織形式，分學(xué)期把數(shù)學(xué)建模融入平時的數(shù)學(xué)課堂之中。近兩年上海高考的“通勤時間”“交通流量”等問題明顯突破傳統(tǒng)應(yīng)用題范疇，逐步朝數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)逼近。以上教材的變化及高考的導(dǎo)向都值得大家關(guān)注。

（二） 選修課程的專題研究

如果說必修課程是潤物細(xì)無聲的數(shù)學(xué)建模活動，那么學(xué)科選修課則是實施數(shù)學(xué)建模主要平臺，它能有效彌補(bǔ)必修課程在實施上的不足。它針對性強(qiáng)，目標(biāo)性更加明確，任務(wù)也更為具體，可以讓學(xué)生經(jīng)歷多輪次完整數(shù)學(xué)建模活動過程，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

以“三角比在測量上的應(yīng)用”數(shù)學(xué)建模為例，在完成解斜三角形的相關(guān)基礎(chǔ)型教學(xué)內(nèi)容后，我們開展了關(guān)于“三角測量”的實踐活動課的研究，主要包括以下兩個板塊。（見表2）

表2 “三角測量”實踐活動課內(nèi)容

學(xué)生測量方案的制定，測量工具的制作，測量數(shù)據(jù)的收集與整理，誤差分析，同伴互助等讓學(xué)生切身體驗數(shù)學(xué)建?；顒拥娜^程。此外，小組交流、研究性報告的撰寫作為長作業(yè)，對于學(xué)生表達(dá)的邏輯性、規(guī)范性和完整性也有較高的要求，學(xué)生在活動中獲得積極的情感體驗。

（三） 研究性學(xué)習(xí)的個體創(chuàng)造

如果說選修課程對數(shù)學(xué)建模來說是規(guī)定動作，那么研究性學(xué)習(xí)就是自選動作，學(xué)生可以依據(jù)自己的喜好、關(guān)注點(diǎn)、特長等選擇自己喜歡的研究課題。研究性學(xué)習(xí)有利于培育學(xué)生獨(dú)立思考、解決問題和科學(xué)創(chuàng)新精神。如學(xué)生考慮人口密度與區(qū)域位置分布的問題，自己完成課題“關(guān)于如何確定區(qū)域中心點(diǎn)問題的建模研究”，結(jié)合計算機(jī)編程給出了示例研究結(jié)果，其研究對于地鐵口位置的選取、商業(yè)中心的選址等都有一定現(xiàn)實意義。也有學(xué)生針對“3+3”選課與大學(xué)專業(yè)組的匹配問題撰寫論文《關(guān)于“3+3”選課與大學(xué)匹配度的建模分析》，不但編寫了程序，還制作人機(jī)互動的App，為學(xué)生合理選課給予了現(xiàn)實論證。還有學(xué)生針對地理學(xué)科學(xué)習(xí)“風(fēng)道”概念，完成《關(guān)于如何規(guī)劃區(qū)域城市風(fēng)道的建模研究》等。這種學(xué)習(xí)模式和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)有很大差異，即使是教師個體對學(xué)生研究結(jié)果也是未知的，此時師生的關(guān)系應(yīng)該是針對問題解決的合作者，彼此的批判者，教師要敢于放手，相信學(xué)生的創(chuàng)造能力。利用學(xué)校學(xué)科節(jié)、科技節(jié)平臺給這些學(xué)生搭建成果交流平臺，和其他同學(xué)分享數(shù)學(xué)建模心得，表現(xiàn)突出的成果還可以收錄到學(xué)?？萍紝］嬛?，以評促學(xué)。

（四） 高校合作的資源分享

鑒于某些原因，部分教師無論是學(xué)生時代還是大學(xué)階段都沒有接受過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)，成為教師后，師資培訓(xùn)也比較缺乏這方面的內(nèi)容。而上海地區(qū)，特別是楊浦區(qū)，高校教育資源聚集，在“知識楊浦”品牌的打造下，很多高校也在尋求與中小學(xué)合作。目前，大學(xué)里科創(chuàng)活動、數(shù)學(xué)建模競賽風(fēng)生水起，把學(xué)校創(chuàng)新實驗室作為高校研究生實訓(xùn)基地，以大帶小，兩全其美。在數(shù)學(xué)建模項目中，可以引進(jìn)Mathematica軟件、MATLAB軟件助推項目實施，可以帶領(lǐng)學(xué)生參觀大學(xué)生研訓(xùn)基地，也可以請研究生分享大學(xué)生科創(chuàng)、建模競賽作品，還可以請實習(xí)生來學(xué)校作具體實踐指導(dǎo)。學(xué)會借力，懂得合作，高中數(shù)學(xué)建模項目才會有更好的前景。當(dāng)然教師個人關(guān)注各期刊論文，了解數(shù)學(xué)建模研究動態(tài)，借鑒學(xué)習(xí)也是非常重要的。

三、課程綱要的編制與實施

要把零散的建模活動變成課程，就一定要有規(guī)范的、穩(wěn)定的實施過程作保障。數(shù)學(xué)建模選修課實施綱要的編制就顯得尤為重要。課程實施綱要一般需要包含以下四個要素：（1）課程簡介，一般包括課程性質(zhì)、地位和作用、課程基本理念、課程圖譜等。（2）課程目標(biāo)，目標(biāo)可以從知識、能力和情感角度來加以設(shè)定。（3）課程實施計劃，主要包含內(nèi)容編排和課時安排，單元模塊介紹和授課建議等。（4）學(xué)生評價，數(shù)學(xué)建模課程突破了傳統(tǒng)意義下的考試范疇，評價也轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，突出過程性、綜合性評價，評價功能也由甄別與選拔轉(zhuǎn)向激勵、診斷與調(diào)整。

在綱要及實踐的基礎(chǔ)上，把日常的所見、所聞、所想不斷積累，將優(yōu)秀設(shè)計案例整理成教師資源包，匯集學(xué)生優(yōu)秀項目成果集，形成“滾雪球”效應(yīng)，最后形成學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒邮謨?，便于數(shù)學(xué)建模選修課程的順利開展。有條件的還可以將一些經(jīng)典課例拍成慕課，供學(xué)生隨時學(xué)習(xí)。

四、課程教學(xué)設(shè)計示例

圖1 數(shù)學(xué)建模選修課程結(jié)構(gòu)

案例：檢驗臺位置的設(shè)定

? 問題驅(qū)動

n臺機(jī)器位于一條流水線上，它們所生產(chǎn)的產(chǎn)品按照生產(chǎn)要求，必須送到一個檢驗臺上，經(jīng)檢驗合格后，才能送往下一道工序繼續(xù)加工。檢驗臺放在哪里可使移動零件所花總費(fèi)用最少？請談?wù)勀銓@個問題的思考。

? 數(shù)學(xué)抽象、建立初步模型

這是源于實際生產(chǎn)中的問題，每臺機(jī)器生產(chǎn)效率可能不同，同時移動零件所需的費(fèi)用與移動零件的距離有關(guān)，且距離越大則所需費(fèi)用越大。為了便于研究，我們在研究前可以先做好兩個假設(shè)：（1）每臺機(jī)器生產(chǎn)效率相同；（2）移動零件所需的費(fèi)用與其移動的距離成正比。那么對于曲折的流水線如何處理好移動距離呢？把你的想法寫出來。

? 尋求策略

利用特殊化思想及降維的思考,來尋求思維的突破口：

請畫出函數(shù)y=|x-1|，y=|x-1|+|x-2|的圖像。

（1） 這兩個函數(shù)是否有最值？若有，當(dāng)x取何值時函數(shù)有最值？

（2） 你能畫出函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的圖像嗎？

（3） 你能通過上述的數(shù)學(xué)實驗操作，明白函數(shù)y=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|的最小值情況嗎。

（4） 請把你們小組的研究結(jié)論寫出來。

? 模型獲解

一般結(jié)論：

當(dāng)n為奇數(shù)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|xa3|+…+|x-an|，則時，f（x）取得最小值。

? 模型的改進(jìn)

將機(jī)器效率權(quán)重考慮進(jìn)來，該模型會更加有效，故此將問題改為：有n臺機(jī)器位于一條直線上，它們的工作效率分別為N1，N2，N3，…，Nn，所生產(chǎn)的零件必須送到一個檢驗臺上，經(jīng)檢驗合格后，才能送往下一道工序繼續(xù)加工。已知移動零件所需的費(fèi)用與所移動的距離成正比，檢驗臺放在哪里可使移動零件所花總費(fèi)用最少？把研究的目標(biāo)函數(shù)寫出來，其最小值如何確定，提出你的解決方法。

? 模型求解分析與結(jié)論

一般化：f(x)=N1|x-a1|+N2|x-a2|+N3|x-a3|+…+Nn|x-an|（其中Ni∈R），其最值情況又如何呢？借助幾何畫板等軟件一起來探討，不斷設(shè)計跟蹤實驗變量，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。設(shè)計實驗表格供學(xué)生實驗填寫，最后匯總數(shù)據(jù)結(jié)果與結(jié)論，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律。

結(jié)論：當(dāng)N1+N2+…+Nn＞0，則無最大值，但有最小值，最小值在某個結(jié)點(diǎn)ai處取得。

當(dāng)N1+N2+…+Nn＜0，則無最小值，但有最大值，最大值在某個結(jié)點(diǎn)ai處取得。

當(dāng)N1+N2+…+Nn=0，則存在最大值、最小值，最值在某個結(jié)點(diǎn)ai處取得。

（就具體問題來說，只有第一種情況發(fā)生）因此可以結(jié)合信息技術(shù)冒泡法求得最小值。

? 總結(jié)

上述問題，通過不斷地修正假設(shè)，使得模型與現(xiàn)實條件更加接近，把問題劃歸為一次絕對值函數(shù)，通過學(xué)生手工作圖，借助幾何畫板工具探究，但真實情況真的是這樣嗎？如果理論值與實際費(fèi)用有較大偏差，又可以從哪些方向來調(diào)整呢？這類模型問題在生活中還有哪些應(yīng)用？

改進(jìn)方向：可以通過實地檢測統(tǒng)計，獲得輸送距離與運(yùn)輸費(fèi)用的關(guān)系統(tǒng)計數(shù)據(jù)，或者通過實驗數(shù)據(jù)獲得，依據(jù)統(tǒng)計出的輸送距離x與費(fèi)用y之間的散點(diǎn)圖，利用Mathematica函數(shù)擬合功能，找到移動零件所需的費(fèi)用與其移動的距離之間的函數(shù)關(guān)系，最后建立總費(fèi)用函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)求導(dǎo)等功能，獲取函數(shù)的最值。

? 測試題

（1） 查閱資料：網(wǎng)上或圖書館查閱有關(guān)最短路問題的算法（戴斯特拉算法），下次大家交流，并嘗試把該算法編程。

（2） 對一個區(qū)域?qū)ふ抑行狞c(diǎn)是十分重要的，它可以作為政府、商業(yè)廣場或者其他重要場所的落址。一個國家可以中心點(diǎn)作為首都或者金融中心，一個省可以中心點(diǎn)作為省會城市，一個市可以中心點(diǎn)作為市政中心。如果一個地區(qū)要尋找中心點(diǎn)去作為這個地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長極，直接把幾何中心看成中心點(diǎn)是欠妥的，因為經(jīng)濟(jì)需要人口，應(yīng)當(dāng)考慮到人口分布對其影響。如果給你一個地區(qū)的人口分布圖，你能通過合理假設(shè)，算出它的中心點(diǎn)位置嗎？請把你的研究過程撰寫成研究性報告。具體報告格式請通過網(wǎng)絡(luò)查詢。

五、課程實施的改進(jìn)建議

（一） 加強(qiáng)教師專業(yè)技能提升的在崗培訓(xùn)

在信息化時代，新生事物層出不窮，創(chuàng)新思維遍地開花，學(xué)生知識需求多元；而教師教學(xué)任務(wù)較為繁重，自我知識更新意識不強(qiáng)，缺乏危機(jī)意識，單個教師的固有知識已不足以應(yīng)對新的情況。數(shù)學(xué)建模中的Mathematica軟件已逐漸被MATLAB所取代，一些數(shù)據(jù)分析軟件也是近十年的產(chǎn)物，如果不能緊跟時代腳步，何談用它來指導(dǎo)教學(xué)實踐？可見培養(yǎng)復(fù)合型教師的任務(wù)已迫在眉睫。要想實施高中數(shù)學(xué)建模，學(xué)校需具備一個較為專業(yè)化的師資團(tuán)隊，一方面，引進(jìn)師資；另一方面，組織教師進(jìn)行在崗培訓(xùn)，加強(qiáng)校際活動交流。通過學(xué)習(xí)，相互交流好的做法、好的案例，集思廣益，每人一個好點(diǎn)子，合在一起就是幾十個好創(chuàng)意。由教師選擇最合適的專題，開展數(shù)學(xué)建?；顒?，畢竟我們的一線教師是最了解學(xué)生現(xiàn)狀的，任何人也無法替代。當(dāng)然也可以適當(dāng)引進(jìn)外部資源，傳授一些新的軟件的使用方法，指導(dǎo)案例研究。相信這些舉措對于彌補(bǔ)目前短板大有裨益。

（二） 建設(shè)基于多學(xué)科融合的指導(dǎo)團(tuán)隊

數(shù)學(xué)建模本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)的方法來解決現(xiàn)實生活的問題，在很多情況下，需要多學(xué)科知識融合，相互借力，良性互動，滿足學(xué)生多元選擇的需要。如在數(shù)學(xué)建模實施中，計算機(jī)等信息技術(shù)的使用，改變數(shù)學(xué)演繹推理性質(zhì)，它把許多以前無法直觀看到的數(shù)學(xué)問題通過計算機(jī)來模擬演示，然后猜想結(jié)論并證明結(jié)論，一些原本靠手工計算無法實現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題也能借助計算機(jī)強(qiáng)大的功能加以實現(xiàn)。物理、化學(xué)、生物、地理等學(xué)科知識也是數(shù)學(xué)建模能力所需的。因此，組建多學(xué)科融合的指導(dǎo)教師團(tuán)隊必將推動數(shù)學(xué)建?；顒拥纳钊腴_展。

（三） 搭建師生研究性學(xué)習(xí)評價體系

傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)定高下的評價模式，在高考新政，特別是上海較高錄取率的背景下其實已經(jīng)不再那么重要了，教師應(yīng)更加重視培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，更加注重學(xué)生的自身發(fā)展、合作參與和創(chuàng)新實踐。因此，評價體系也應(yīng)作出必要調(diào)整和改進(jìn)，如提供教師專業(yè)發(fā)展更多的機(jī)會，提高選修課程的課時費(fèi)用，在各類評優(yōu)、職稱晉升過程中優(yōu)先考慮這類復(fù)合型教師，以評價為導(dǎo)向，鼓勵數(shù)學(xué)教師參與到數(shù)學(xué)建模項目中去。對于學(xué)生的評價，建立基于過程性評價與發(fā)展性評價相結(jié)合的多元評價機(jī)制，如活動過程中的學(xué)生自評、生生互評，基于研究性報告的作品評價，教師基于上述評價基礎(chǔ)上的發(fā)展性評價，使每一位學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又蝎@得成就感。