馮碧薇 杜金金

上海市建平中學(xué)教師

數(shù)學(xué)模型通常是指研究實(shí)際問題時(shí)利用數(shù)學(xué)所建立的模型，而數(shù)學(xué)建模通常是指為實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，數(shù)學(xué)建模被列為高中數(shù)學(xué)六個(gè)核心素養(yǎng)之一，這也正式標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模教育從大學(xué)階段提前至中學(xué)階段。數(shù)學(xué)模型與日常生活息息相關(guān)，青少年在學(xué)習(xí)過程中可以通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模更好地觀察世界、分析世界和描述世界。STEM 是科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）和數(shù)學(xué)（Mathematics）四門學(xué)科英文首字母的縮寫。STEM教育是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將科學(xué)與技術(shù)通過工程與藝術(shù)進(jìn)行詮釋。毫無疑問，數(shù)學(xué)建模在STEM教育中是一個(gè)重要的抓手，其不僅可以培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，而且鼓勵(lì)學(xué)生解決跨學(xué)科、復(fù)雜綜合的實(shí)際問題，切實(shí)有效地提升學(xué)生的創(chuàng)新思維和問題解決能力。下文通過一些具體案例展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在青少年STEM教育中的應(yīng)用，并給出筆者在實(shí)踐STEM教育過程中的一些經(jīng)驗(yàn)和建議。

一、數(shù)學(xué)建模在STEM教育中的應(yīng)用

（一） 數(shù)學(xué)建模與STEM教育的“情境性”

STEM教育著重強(qiáng)調(diào)情景式教學(xué)，主張解決實(shí)際生活中的問題，讓學(xué)生面對(duì)真實(shí)的挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)建模往往可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)世界，在STEM教育中可以幫助學(xué)生提出形形色色且意義非凡的問題。

【案例1】大貨車視野盲區(qū)的分析與反光鏡的改進(jìn)

科學(xué)背景：大貨車發(fā)生交通事故的頻率較高，原因之一便是司機(jī)有較大的視野盲區(qū)，如圖1所示。

圖1 大貨車視野盲區(qū)示意圖

問題驅(qū)動(dòng)：如何通過改進(jìn)反光鏡減少大貨車的視野盲區(qū)？

數(shù)學(xué)建模：分析反光鏡的大小、角度與視野盲區(qū)的關(guān)系，從而通過改變反光鏡的大小和角度最小化大貨車的視野盲區(qū)。

案例解讀：本案例取材于交通，敏銳地捕捉到大貨車產(chǎn)生交通事故的主要因素——大片的視野盲區(qū)，具有非常強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義和科普價(jià)值。通過數(shù)學(xué)建模的方式計(jì)算視野盲區(qū)，并通過改進(jìn)反光鏡以減少大貨車的視野盲區(qū)，有效地解決了大貨車的“困境”。

（二） 數(shù)學(xué)建模與STEM教育的“理學(xué)性”

STEM教育以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，充分說明其理學(xué)的內(nèi)核，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和理性精神。數(shù)學(xué)建模往往可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界，在STEM教育中可以幫助學(xué)生分析錯(cuò)綜復(fù)雜且機(jī)理深?yuàn)W的問題。

【案例2】多因素估測(cè)CBA籃球比賽的勝負(fù)率——以上海男籃為例

科學(xué)背景：在CBA賽季伊始，每支隊(duì)伍的主教練手里會(huì)拿到一份籃協(xié)的賽程安排表。在面對(duì)不同的隊(duì)伍時(shí)，比賽勝負(fù)率也不盡相同，為此教練經(jīng)常會(huì)據(jù)此調(diào)整出場(chǎng)球員名單，進(jìn)行通盤考慮。

問題驅(qū)動(dòng)：如何通過多因素估測(cè)CBA籃球比賽的勝負(fù)率？

數(shù)學(xué)建模：選取球隊(duì)實(shí)力、賽季投入和主場(chǎng)客場(chǎng)三個(gè)主要因素，采用層次分析法和模糊綜合評(píng)價(jià)，并以上海男籃的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

案例解讀：本案例并沒有對(duì)瞬息萬變的籃球比賽進(jìn)行分析，而是從教練安排和規(guī)劃的角度切入分析籃球比賽的勝負(fù)率，角度新穎。在建立評(píng)價(jià)模型的過程中，層次分析法和模糊綜合評(píng)價(jià)充分發(fā)揮了人的經(jīng)驗(yàn)，使得評(píng)價(jià)結(jié)果更加符合實(shí)際情況。經(jīng)檢驗(yàn)，該數(shù)學(xué)模型在預(yù)測(cè)上海隊(duì)客場(chǎng)比賽的勝負(fù)率中有高達(dá)80%的正確率。

（三） 數(shù)學(xué)建模與STEM教育的“融合性”

STEM教育的特色之一便是學(xué)科融合，打通學(xué)科之間的壁壘，綜合提升學(xué)生的能力和素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模往往可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述世界，在STEM教育中可以幫助學(xué)生解決學(xué)科交叉且有創(chuàng)造性的問題。

【案例3】防濺水鞋配件的設(shè)計(jì)和制作

科學(xué)背景：雨天在路上行走的時(shí)候，常常會(huì)被鞋跟濺起的水濺濕褲腿。

問題驅(qū)動(dòng)：如何設(shè)計(jì)一款成本低廉、美觀小巧的防濺水裝置？

技術(shù)應(yīng)用：由于雨天褲腳被濺濕的面積難以測(cè)量，因此通過技術(shù)采集數(shù)據(jù)。如圖2所示，將濺濕的褲腳拍照并導(dǎo)入MATLAB軟件，將圖片進(jìn)行二值化，計(jì)算黑色像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而計(jì)算黑色像素點(diǎn)的總面積占褲腳總面積的比例，以此作為衡量褲腳被濺濕的程度。

圖2 圖片二值化程序編寫和運(yùn)行界面示意圖

數(shù)學(xué)建模：分析防濺水用的塑料片的大小、形狀和防濺水效果之間的關(guān)系，塑料片的價(jià)格作為其中一個(gè)重要的限制條件。

工程手段：根據(jù)數(shù)學(xué)建模的結(jié)果，完成防濺水裝置設(shè)計(jì)，如圖3所示，并制作相應(yīng)的實(shí)物。

圖3 防濺水裝置設(shè)計(jì)圖

案例解讀：本案例中，利用圖片二值化這一技術(shù)克服了數(shù)據(jù)采集的難題，為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。此外，實(shí)物的設(shè)計(jì)與制作讓本案例不再停留于理論階段，而是進(jìn)入實(shí)踐階段。如圖4所示，佩戴防濺水裝置比未佩戴防濺水裝置有著顯著的防濺水效果。

圖4 佩戴和未佩戴防濺水裝置效果檢測(cè)圖

二、數(shù)學(xué)建模在STEM教育中的應(yīng)用建議

（一） 情境問題驅(qū)動(dòng)，啟發(fā)高階思維

合適的情境在STEM教育中扮演著重要的角色，其能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中有的放矢。在具體的情境中，可以由教師發(fā)問，也可以由學(xué)生自主提問，通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，從而啟發(fā)高階思維。例如在生物學(xué)中，種群數(shù)量增長一直都是研究的熱點(diǎn)之一，當(dāng)種群數(shù)量很少的時(shí)候，種群數(shù)量開始增長緩慢（潛伏期），隨后會(huì)迅速增長（指數(shù)增長期），最后因?yàn)榄h(huán)境資源有限等原因呈現(xiàn)不變甚至下降的趨勢(shì)（穩(wěn)定期）。我們可以對(duì)種群數(shù)量進(jìn)行建模，得到種群的S型增長曲線，其中種群達(dá)到環(huán)境所能負(fù)擔(dān)的最大值，稱為環(huán)境的滿載量或負(fù)載能力，用“K”表示，如圖5所示。根據(jù)數(shù)學(xué)模型易知，當(dāng)種群數(shù)量達(dá)到K/2時(shí)，種群數(shù)量幾乎呈直線上升，這一時(shí)期為指數(shù)生長期，是影響種群數(shù)量的關(guān)鍵點(diǎn)。因此在投藥滅鼠的過程中，如果只消滅了種群一半的老鼠，那么剩余的老鼠數(shù)量正相當(dāng)于其種群指數(shù)生長期（K/2）的數(shù)量，于是老鼠的數(shù)量將迅速增長，在短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到原來的水平，這顯然不是很好的滅鼠方法。

圖5 種群S型增長曲線示意圖

（二） 鼓勵(lì)學(xué)科交叉，兼容并包藝術(shù)

在STEM教育中，應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)科交叉，開設(shè)跨學(xué)科課程，將數(shù)學(xué)建模融入其他學(xué)科中，相輔相成。例如在一節(jié)物理和體育交叉的跨學(xué)科課程中，體育老師教授跨欄，而物理老師指導(dǎo)學(xué)生拍照記錄，并用物理學(xué)上力的知識(shí)來分析不同同學(xué)跨欄的情況。通過觀察發(fā)現(xiàn)：跨欄的學(xué)生不能離欄桿太遠(yuǎn)，另外還需要壓低重心來提高成功率。為了給出具有實(shí)操性的建議，學(xué)生則通過數(shù)學(xué)建模繼續(xù)深入研究，以學(xué)生的身高和體重作為參數(shù)，以學(xué)生的重心、起跳的位置作為變量，以起跳時(shí)間和落地的速度作為因變量，建立函數(shù)關(guān)系，從而進(jìn)一步提出跨欄的優(yōu)化建議。此外，隨著時(shí)代的進(jìn)步，STEM教育在加入“藝術(shù)（Arts）”以后已經(jīng)逐漸演變?yōu)镾TEAM教育，而數(shù)學(xué)建模中也不乏人文藝術(shù)的要素。例如數(shù)學(xué)建模主張將成果以非技術(shù)性含量的信的方式向大眾進(jìn)行科普和介紹，又如研究黃金分割比在繪畫美學(xué)中的應(yīng)用等。圖6即為學(xué)生應(yīng)用黃金分割所作的繪圖。

圖6 學(xué)生應(yīng)用黃金分割的繪圖作品

（三） 開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)，經(jīng)歷課題研究

無論是數(shù)學(xué)建模，還是STEM教育，其都不是能一蹴而就的，需要漫長的過程，因此其通常以項(xiàng)目或課題的方式開展，學(xué)生在過程中可以培育合作精神，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)。以下為學(xué)生在STEM教育中完成的一個(gè)典型課例。

【案例4】簡易風(fēng)速測(cè)量裝置的設(shè)計(jì)和制作

科學(xué)背景：平時(shí)生活中可能會(huì)用到風(fēng)速儀，但是儀器比較貴、測(cè)量較為復(fù)雜。

問題驅(qū)動(dòng)：如何簡單便捷地測(cè)量風(fēng)速？

工程手段：設(shè)置簡易的測(cè)風(fēng)速的紙盒，紙盒兩端是敞開的，中間有一個(gè)紙條，如圖7所示。左邊用風(fēng)扇吹動(dòng)紙條，右邊通過軟件記錄紙條振動(dòng)時(shí)發(fā)出的音量，風(fēng)速越大則聲音越大。

圖7 簡易紙帶模型測(cè)定風(fēng)速裝置模型圖

技術(shù)應(yīng)用：風(fēng)扇本身也會(huì)發(fā)出聲音，錄音時(shí)記錄的紙片振動(dòng)聲音并不準(zhǔn)確，于是就需要利用計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)。首先讓風(fēng)扇空轉(zhuǎn)，先錄一個(gè)聲音；然后再放上紙片，把這兩個(gè)記錄下來的聲音使用Cool Edit Pro軟件進(jìn)行相消減，便可以較為精確地記錄到紙片振動(dòng)的聲音。

數(shù)學(xué)模型：通過建立數(shù)學(xué)模型，建立風(fēng)速和紙片振動(dòng)發(fā)出聲音之間的關(guān)系。