余長(zhǎng)君

上海市運(yùn)籌學(xué)會(huì)常務(wù)副理事長(zhǎng)兼秘書長(zhǎng)

今天，我從三個(gè)方面展開(kāi)，一是通過(guò)簡(jiǎn)單的例子，將數(shù)學(xué)建模與運(yùn)籌學(xué)建立聯(lián)系，二是談?wù)剶?shù)學(xué)建模與運(yùn)籌學(xué)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，三是談?wù)剶?shù)學(xué)建模與中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系。

一、運(yùn)籌學(xué)中的數(shù)學(xué)建模

首先，考慮一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的問(wèn)題，這是線性規(guī)劃中一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子。假設(shè)某工廠要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要消耗A、B兩種礦石，以及燃料，共三種生產(chǎn)資料。產(chǎn)品會(huì)產(chǎn)生一定的利潤(rùn)，生產(chǎn)有限制，原材料也有限制。一個(gè)最基本的問(wèn)題就是，這兩種產(chǎn)品如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大，如何能夠通過(guò)數(shù)學(xué)化的方式，將這個(gè)問(wèn)題清晰地描述出來(lái)，這是數(shù)學(xué)建模最基本的問(wèn)題。

對(duì)于數(shù)學(xué)系的學(xué)生而言，可以通過(guò)線性規(guī)劃中學(xué)習(xí)到的知識(shí)，分析決策變量是什么，對(duì)于生產(chǎn)計(jì)劃這個(gè)問(wèn)題，其決策變量是兩種產(chǎn)品相應(yīng)生產(chǎn)安排多少生產(chǎn)量。目標(biāo)是什么？目標(biāo)是利潤(rùn)最大。決策變量決定的情況下，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式將目標(biāo)表達(dá)出來(lái)，但是要有約束，因?yàn)橛腥N資源，資源有一定的約束，每一種可以用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)。

這是非常簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，因?yàn)樗哪繕?biāo)以及約束函數(shù)是關(guān)于決策變量的線性函數(shù)。對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題，二戰(zhàn)的時(shí)候就有研究。在中學(xué)階段，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題有非常直觀的求解方法——圖解法。

線性規(guī)劃問(wèn)題是運(yùn)籌學(xué)中非常核心的問(wèn)題。當(dāng)這個(gè)問(wèn)題變得更加復(fù)雜，當(dāng)有更多的約束和決策變量的時(shí)候，就變成了大規(guī)模的問(wèn)題。我們生活中許多實(shí)際問(wèn)題，都可以被歸結(jié)為這樣的問(wèn)題。在中學(xué)階段，其學(xué)習(xí)的知識(shí)是無(wú)法求解大規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題的。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，我們要從一個(gè)非常簡(jiǎn)單且能夠理解的例子，上升到科學(xué)問(wèn)題去研究它蘊(yùn)含的方法，這就是我們運(yùn)籌學(xué)所關(guān)注的核心內(nèi)容。

二、數(shù)學(xué)建模與運(yùn)籌學(xué)

所謂的數(shù)學(xué)模型，是通過(guò)抽象或模擬，利用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言方法，對(duì)所需要解決的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行刻畫。如果沒(méi)有運(yùn)籌學(xué)方面的知識(shí)，單純進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建模后的問(wèn)題能不能有效求解是未知的。

模型準(zhǔn)備，是指我們對(duì)于所謂的模型有多少了解，我們所要面臨的實(shí)際問(wèn)題要經(jīng)過(guò)怎樣的方式才能和我們當(dāng)前所掌握的模型更加契合在一起。實(shí)際問(wèn)題顯然和我們的理論模型之間會(huì)有差距，所以才需要對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)實(shí)際要求，依照當(dāng)前的現(xiàn)有模型，對(duì)它進(jìn)行整體和有效的修改，也就是模型構(gòu)造的過(guò)程，確立為可被表達(dá)的數(shù)學(xué)之后要有求解，這個(gè)解能不能真正指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)其實(shí)是未知的。舉個(gè)例子，現(xiàn)實(shí)生活中許多的變量不是連續(xù)的，比如人的數(shù)量，不可能取非整數(shù)的變量，通過(guò)模型算出來(lái)的解是一個(gè)分?jǐn)?shù)，做這件事需要10.2個(gè)人，不合理。所以進(jìn)行分析，如果與我們的現(xiàn)實(shí)生活不能匹配就要修改，要思考是不是當(dāng)初考慮的時(shí)候就產(chǎn)生了偏差，使我們得到的解并不能指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)生活。當(dāng)我們進(jìn)行了內(nèi)部的迭代之后，最后才可以將它應(yīng)用于實(shí)踐生活中，因此數(shù)學(xué)建模是不斷迭代學(xué)習(xí)的過(guò)程，而不是一次性的過(guò)程，所以要不斷修改，使它最終服務(wù)于我們的實(shí)踐。

所謂的運(yùn)籌學(xué)，是指用數(shù)學(xué)的方法研究經(jīng)濟(jì)、民政、國(guó)防等部門在環(huán)境的約束條件下，合理分配人力、物力、財(cái)力等資源，使實(shí)際系統(tǒng)有效運(yùn)行的技術(shù)科學(xué)。它可以用來(lái)預(yù)測(cè)發(fā)展趨勢(shì)，制訂行動(dòng)規(guī)劃或優(yōu)秀可行方案。所以包含的科學(xué)是非常多的，也是一個(gè)交叉學(xué)科。對(duì)于運(yùn)籌學(xué)來(lái)講，我列舉幾個(gè)運(yùn)籌學(xué)主要的分支。首先是數(shù)學(xué)規(guī)劃，線性規(guī)劃問(wèn)題就是數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，有明確的約束和決策變量，但是真正的數(shù)學(xué)規(guī)劃的內(nèi)容更加廣泛，不一定是線性的。例如存儲(chǔ)論，一個(gè)倉(cāng)庫(kù)定自己的銷售策略，使自己的存儲(chǔ)維持在比較好的水平，如果庫(kù)存較少造成了資源浪費(fèi)，怎樣來(lái)確定庫(kù)存，這是運(yùn)籌學(xué)中非常有趣的問(wèn)題。又如圖論問(wèn)題，在上?？梢愿惺艿浇煌ǖ谋憷筒槐憷?，如果設(shè)計(jì)好公路，就能使它更加有效適配人流量和車流量。再如決策分析，當(dāng)我們有具體的問(wèn)題，有若干的決策，決策會(huì)有好和壞的影響，怎樣決定使得我們的決策有更好的發(fā)展。建筑材料怎樣進(jìn)入工地，什么時(shí)候開(kāi)始打地基，什么時(shí)候開(kāi)始灌注，使得大樓在最短的時(shí)間之內(nèi)最高效，是我們的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃最關(guān)心的。又再如排隊(duì)論，現(xiàn)在上海的高速公路的收費(fèi)站大多是ETC，設(shè)置多少人工收費(fèi)和ETC才可以使排隊(duì)的模型盡量短。這些都是運(yùn)籌學(xué)所研究的內(nèi)容，所以運(yùn)籌學(xué)的內(nèi)容非常寬泛。

三、數(shù)學(xué)建模與中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

我簡(jiǎn)單談一談對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)。所謂的中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要經(jīng)歷了下面三個(gè)階段：

中華人民共和國(guó)成立初期，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該使得我們的學(xué)生具有什么樣的素養(yǎng)，當(dāng)時(shí)的理解主要是三大素養(yǎng)，即運(yùn)算、空間想象和邏輯推理，要求少，但是非常高。在這樣的核心素養(yǎng)要求之下，國(guó)家對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)，在全世界是領(lǐng)先的，當(dāng)時(shí)的學(xué)生出國(guó)后的數(shù)學(xué)都是最好的，這得益于當(dāng)時(shí)的大綱對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

2003年教育部組織課改，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求進(jìn)行拓展，變成了抽象概念、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理。其中，數(shù)據(jù)處理是隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，以及計(jì)算發(fā)展出現(xiàn)的，成為中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，這是根據(jù)當(dāng)前時(shí)代發(fā)展需求規(guī)劃的。

2017年，又將數(shù)學(xué)建模能力放入中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，表明國(guó)家對(duì)于高中或者對(duì)于中學(xué)的數(shù)學(xué)要求，從簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授逐漸上升到能力培養(yǎng)。到大學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)非常好的手段，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到歸納問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題再到解決問(wèn)題是一個(gè)全套的鏈條。一個(gè)人對(duì)實(shí)際問(wèn)題的了解，光有數(shù)學(xué)知識(shí)不夠，還要有其他的素養(yǎng)，才可以使得數(shù)學(xué)建模做得好。

數(shù)學(xué)建模與學(xué)生能力培養(yǎng)，主要是以下幾方面，也是我們?cè)趯?shí)踐中觀察到的。高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)建模大賽等，對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)，首先是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，以及邏輯思維和開(kāi)放性思考方式，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模真正的比賽時(shí)間非常短，只有三天，要求學(xué)生具有快速獲取信息資料的能力，包括文獻(xiàn)的檢索能力，所以寫作技能和排版技術(shù)也非常重要。數(shù)學(xué)建模需要團(tuán)隊(duì)合作，所以快速了解掌握新知識(shí)，對(duì)于不同的工作要進(jìn)行團(tuán)隊(duì)的分配，需要溝通與合作能力。這都是通過(guò)數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生各方面綜合能力的培養(yǎng)，是非常重要的素養(yǎng)。

最后，我簡(jiǎn)單談一下數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略，在日常的實(shí)踐中，應(yīng)該以什么樣的策略來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng)。一是合適的問(wèn)題情境。學(xué)生在課堂中所接觸到的知識(shí)，距離數(shù)學(xué)建模是不是還有距離？如果要實(shí)施數(shù)學(xué)建模的情境，要和傳統(tǒng)課堂的數(shù)學(xué)知識(shí)有所區(qū)別，跟現(xiàn)實(shí)世界有積極的聯(lián)想，才能夠使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有足夠的興趣。二是滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，提高學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力。運(yùn)籌學(xué)是一個(gè)非常大、非常寬泛的體系，其中像數(shù)學(xué)規(guī)劃、存儲(chǔ)論，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求不一樣。通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題不同層面的解釋，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法；通過(guò)不同的思想看同一個(gè)問(wèn)題，可能產(chǎn)生不同的火花。學(xué)生通過(guò)不同角度，對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行了解，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的了解更加深入，這也是一個(gè)教學(xué)策略。三是合理的回顧反思。完成數(shù)學(xué)建模并不是終點(diǎn)，而是需要不斷迭代。我們對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)歸納，本身就帶有一定的假設(shè)性，這樣的假設(shè)在現(xiàn)實(shí)的限制之下，迫使模型會(huì)滿足一定的約束，這就要求建模跟著時(shí)代不斷迭代，需要不斷反思以往的模型是不是能夠代表最先進(jìn)的發(fā)展。

數(shù)學(xué)建模不是以結(jié)果為導(dǎo)向，而是以整個(gè)過(guò)程為導(dǎo)向——模型建得好不好，是不是能反映現(xiàn)實(shí)生活，模型不夠好會(huì)影響到求解。學(xué)生在任何階段能夠做得好，都是數(shù)學(xué)建模重要培養(yǎng)的分支，所以與傳統(tǒng)的考試不一樣，數(shù)學(xué)建模做得好也可以得高分，沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)則，這對(duì)運(yùn)籌學(xué)工作者和中學(xué)教師都提出了更高的要求。