劉愛國

上海市新中高級中學(xué)校長

曾經(jīng)與多位中學(xué)數(shù)學(xué)同行就下列問題進(jìn)行交流：在“雙新”背景下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育最為困難的是什么？中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最大的困惑在哪里？數(shù)學(xué)教學(xué)評價最難突破的是什么？交流的結(jié)果，幾乎都聚焦、集中在數(shù)學(xué)建模上。

東北師范大學(xué)史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中有三個根本的思想，一個是抽象，一個是推理，一個是模型。”①史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.然而在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通常比較重視的是前面的“兩個一”，而忽略了最后的“一”。這就不難理解，在“雙新”要求下當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的困惑和困難。再從學(xué)生的現(xiàn)狀來看，華東師范大學(xué)徐斌艷教授等學(xué)者的調(diào)研也發(fā)現(xiàn)，我國中小學(xué)生只有在較為簡單和熟悉的情境下才能建立數(shù)學(xué)模型，而在較為復(fù)雜或陌生的情境下，幾乎沒有學(xué)生能夠識別并建立數(shù)學(xué)模型。由此可見，加快培養(yǎng)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)任重道遠(yuǎn)，加強(qiáng)提升數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力迫在眉睫。教育部2020年修訂版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確地將數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，這是基于對數(shù)學(xué)建模在新時代育人價值上的深度開掘與高度重視，也是當(dāng)今“雙新”背景下基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)學(xué)科著力為未來科創(chuàng)人才培養(yǎng)奠基的新要求。

一、數(shù)學(xué)建模的探索與研究

（一） 數(shù)學(xué)建模的探索

2015年，新中高級中學(xué)（簡稱“新中”）開始了數(shù)學(xué)建模的探索與實(shí)踐。2015—2018年是探索的初始階段。在師生共同努力下，逐漸總結(jié)形成了新中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐探索的一些特點(diǎn)。一是高起點(diǎn)——“課題”引領(lǐng)。開展之初，即申報立項了上海市教育科研課題“高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略與評價研究——以數(shù)學(xué)建模為例”，用課題研究推進(jìn)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐探索。二是“多層面”實(shí)施。三年來我們積極開展面向全體學(xué)生的“教學(xué)課例”，面向創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的“活動案例”，以及面向數(shù)學(xué)天賦好、數(shù)學(xué)興趣濃厚的少數(shù)學(xué)生的“創(chuàng)新范例”，我們簡稱為“三例教學(xué)”。三是打造“建模核心團(tuán)隊”。高質(zhì)量的師資是開展數(shù)學(xué)建模的保障。近年來，我們形成了以新中骨干教師為主體，外聘專家教授為輔組成的新中數(shù)學(xué)建模的核心團(tuán)隊。從2018年至今，我們進(jìn)入了新中數(shù)學(xué)建模探索的第二階段，即創(chuàng)新發(fā)展期。2019年與上海市教委教研室一起舉行了面向全市數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)建模“教學(xué)課例”的展示研討活動。2020年，我們又創(chuàng)新嘗試開展了“1+N”教師團(tuán)隊授課制的形式。團(tuán)隊攻關(guān)數(shù)學(xué)建模“教學(xué)課例”設(shè)計實(shí)施的探索，得到與會同行和上海新教材主編等專家的肯定。

（二） 數(shù)學(xué)建模的研究

模型一般是指通過主觀意識借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn)，構(gòu)成客觀闡述形態(tài)結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件。模型構(gòu)成形式分為實(shí)體模型與虛擬模型。如建筑物的沙盤模型是按一定比例縮小的實(shí)體模型。而如今這樣的實(shí)體模型常常又被數(shù)字化技術(shù)加持，呈現(xiàn)出的“效果圖”被稱為虛擬模型。其實(shí)，我們生活的世界是模型的世界，如物理學(xué)中的天體運(yùn)動模型、生物化學(xué)中分子結(jié)構(gòu)模型、社會學(xué)上人口結(jié)構(gòu)模型。

數(shù)學(xué)模型一般是指對客觀事物的一種數(shù)學(xué)抽象與簡化，但它和真實(shí)的實(shí)際事物又有著本質(zhì)的區(qū)別。我們常常習(xí)慣于用錄音、視頻和文字記錄等描述一些社會、經(jīng)濟(jì)和生活現(xiàn)象。但為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，必須有一種語言能比較嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)地描述客觀現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)語言來描述的客觀事物就被稱為數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模是一種重要的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過抽象、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等建立起來的，并能解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)語言描述解釋實(shí)際現(xiàn)象的一個過程。

當(dāng)今，放眼世界各國關(guān)于中學(xué)生數(shù)學(xué)建?；驍?shù)學(xué)應(yīng)用競賽活動，影響比較大的有自20世紀(jì)末開展的美國高中數(shù)學(xué)建模競賽（HiMCM）。HiMCM要求中學(xué)生以小組形式參加比賽，每組不超過4人，組委會在比賽前一個月給出兩道建模題，每組團(tuán)隊可任選一題參加比賽，連續(xù)36小時完成一篇用英文撰寫的數(shù)學(xué)建模論文。在國際文憑組織高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，第六條“培養(yǎng)學(xué)生把數(shù)學(xué)技能應(yīng)用于多變的情形，并遷移至其他知識領(lǐng)域以及未來的發(fā)展中”，以及第八、第十條等教學(xué)目標(biāo)都必須通過數(shù)學(xué)建模過程的體驗(yàn)達(dá)到。經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）面向15歲初中學(xué)生開展國際學(xué)生評估項目（PISA），將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵定義為在情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力①熊麗.小學(xué)第二學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系構(gòu)建研究[D].重慶：西南大學(xué)，2017.，非常注重考查學(xué)生在新的情境中解決實(shí)際問題的能力。近年來，上海舉行的各項中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽活動，無論是中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽、數(shù)學(xué)小論文競賽，還是上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽，也紛紛聚焦提升中學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識與能力。不難發(fā)現(xiàn)，包括中國在內(nèi)的世界各國數(shù)學(xué)教育，對基于中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越重視，對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)研究也越來越深入。

目前，數(shù)學(xué)建模的研究主要分布在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域。在應(yīng)用領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家往往從數(shù)學(xué)角度來認(rèn)識，例如，劉來福等人認(rèn)為“所謂數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)需要針對實(shí)際問題組建數(shù)學(xué)模型的過程”②劉來福，黃海洋，曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.。在教育領(lǐng)域的學(xué)者對數(shù)學(xué)建模研究有廣義與狹義之分，例如，錢佩玲和邵光華認(rèn)為，狹義的數(shù)學(xué)建模是指應(yīng)用數(shù)學(xué)的各種模型，而廣義的數(shù)學(xué)建模不僅包括應(yīng)用數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)模型，而且包括從現(xiàn)實(shí)原型中抽象出來的數(shù)學(xué)概念、定理、理論等。③錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.事實(shí)上，無論是專家學(xué)者還是廣大數(shù)學(xué)教育工作者，對數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵界定基本達(dá)成一致。簡單地說，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想和方法建立數(shù)學(xué)模型的過程。教育部2020年修訂版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)的方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)?！睋?jù)此，新中在數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐中，總結(jié)形成了以下數(shù)學(xué)建模的五環(huán)節(jié)：（1）提問，分析真實(shí)的問題情境，發(fā)現(xiàn)并提出問題；（2）建模，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題（抽象為數(shù)學(xué)問題），用數(shù)學(xué)知識、思想方法構(gòu)建模型；（3）解模，用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題；（4）驗(yàn)證，檢驗(yàn)所解答的數(shù)學(xué)結(jié)果（或再改進(jìn)模型）；（5）作答，對實(shí)際問題作科學(xué)解釋與說明。同時在新中開展的數(shù)學(xué)建?！叭虒W(xué)”中，基于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)目標(biāo)是各有側(cè)重的。第一層面“教學(xué)課例”是面向全體學(xué)生的高中畢業(yè)水平，只要求了解所學(xué)必修課本中所涉及的數(shù)學(xué)模型，知道建模全過程及必要的參數(shù)意義即可。第二層面的“活動案例”，則要求部分學(xué)生利用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型遷移解決現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)際問題，熟悉建模的五環(huán)節(jié)全過程，以達(dá)到高考水平要求。第三層面的“創(chuàng)新范例”，要求少數(shù)學(xué)生能夠在一定的題目要求、背景內(nèi)容等綜合情境中，大膽探究、科學(xué)求證，主要利用中學(xué)或大學(xué)數(shù)學(xué)等學(xué)科有關(guān)知識方法開展建模，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到創(chuàng)新人才培養(yǎng)的要求。

（三） 數(shù)學(xué)建模的初步成效

新中五年多來的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐探索，取得了一定成效，完成了上海市教育科研市級課題“高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略與評價研究——以數(shù)學(xué)建模為例”，并獲得靜安區(qū)教育科研一等獎。全體學(xué)生的建模意識得到提升，特別是一批數(shù)學(xué)天賦較優(yōu)的學(xué)生在上海市、全美數(shù)學(xué)建模大賽中紛紛獲得一等獎的優(yōu)異成績，一批數(shù)學(xué)建模的小論文成為學(xué)生發(fā)展中的創(chuàng)新范例。與此同時，教師的數(shù)學(xué)建模能力也不斷發(fā)展。比如，王老師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)獲得上海市中青年教學(xué)大獎賽一等獎，陸老師參加了全市空中課堂新教材數(shù)學(xué)建模課的錄制，潘老師主持的區(qū)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)實(shí)訓(xùn)基地為區(qū)內(nèi)數(shù)學(xué)教師做示范和指導(dǎo)。

二、開展數(shù)學(xué)建模的時代意義與育人價值

（一） 新時代立德樹人教育發(fā)展的新要求

黨的十八大以來，黨中央、國務(wù)院2019年2月印發(fā)了《中國教育現(xiàn)代化2035》，國務(wù)院辦公廳2019年6月印發(fā)了《關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》，黨中央、國務(wù)院2020年10月印發(fā)了《關(guān)于新時代教育評價改革的總體方案》等系列文件，描繪了新時代教育發(fā)展的藍(lán)圖，明確指出立德樹人是教育的根本任務(wù)，要進(jìn)一步優(yōu)化育人方式，改進(jìn)評價方式，培育踐行社會主義核心價值觀的時代新人，始終圍繞學(xué)生終身發(fā)展與適應(yīng)未來社會的必備品質(zhì)與關(guān)鍵能力，即新時代具有世界競爭力的學(xué)生核心素養(yǎng)而培育。新時代立德樹人的教育任務(wù)對人才培養(yǎng)提出了新要求，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)應(yīng)成為培養(yǎng)創(chuàng)新人才的核心要素。

（二） 貫徹落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的新要求

為了進(jìn)一步具體落實(shí)黨和國家在新時代培養(yǎng)人才的新要求，結(jié)合教育改革探索研究的經(jīng)驗(yàn)，2020年6月，教育部發(fā)布了《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，分析了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵與價值，闡述了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)與評價等。“數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中課程，通過教師有目的有層次的學(xué)習(xí)活動設(shè)計和指導(dǎo)，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生主動、自主地學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)?！雹偈穼幹?，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.在上海新版數(shù)學(xué)教材中，將數(shù)學(xué)建模單獨(dú)成冊出版，作為上海高中學(xué)生數(shù)學(xué)選修教材，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的獨(dú)立性和系統(tǒng)性，又使廣大中學(xué)教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中具有一定的靈活性。

（三） 凸顯數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)學(xué)科育人價值的新要求

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為當(dāng)今世界各國教育發(fā)展的主題。而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)之所以成為學(xué)生發(fā)展素養(yǎng)中的核心之一，關(guān)鍵在于它的綜合性。它是集數(shù)學(xué)建模知識、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)建模的情感態(tài)度與價值觀等最具綜合性的素養(yǎng)。其主要內(nèi)容有：培養(yǎng)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力；快速獲取信息和資料等信息化處理能力；鍛煉學(xué)習(xí)掌握新知識的學(xué)習(xí)力；培育團(tuán)隊合作意識與團(tuán)隊合作精神；增強(qiáng)寫作技能與文字處理編輯能力；提高數(shù)學(xué)的抽象、邏輯思維和開放性思考等思維品質(zhì)。②劉愛國.高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略與評價研究——以數(shù)學(xué)建模為例[R].上海市教育科學(xué)研究項目，2020.因此，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)撬動了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)整體提升。新中段同學(xué)說：“我的數(shù)學(xué)建模課題是‘上海地鐵站時間研究及優(yōu)化’，在老師指導(dǎo)下一次又一次地優(yōu)化改進(jìn)課題，最終較高質(zhì)量地完成了課題。這不僅培育了我對科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，也鍛煉了研究問題的能力，并將成為我學(xué)生生涯中的一個閃光點(diǎn)?！?/p>

“數(shù)學(xué)語言是什么呢？它主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁?！雹偈穼幹?，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.因而不難理解數(shù)學(xué)建模構(gòu)建了數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系，具有數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的兩重性。從數(shù)學(xué)視角看現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)建模充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)在揭示客觀規(guī)律，指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展上的應(yīng)用價值。從現(xiàn)實(shí)世界分析數(shù)學(xué)學(xué)科，社會文明進(jìn)步、創(chuàng)新發(fā)展的新要求也促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科加快發(fā)展。從這一意義來說，數(shù)學(xué)建模作為新時代數(shù)學(xué)學(xué)科重要核心素養(yǎng)提出，也是時代發(fā)展的必然結(jié)果。

三、多層面設(shè)計，選擇性實(shí)施數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)其他核心素養(yǎng)一樣，潤物無聲地融合于常規(guī)常態(tài)的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。同時，數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng)又有別于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須浸潤于客觀現(xiàn)實(shí)情境中的真問題的解答過程之中。因此，下功夫精心設(shè)計數(shù)學(xué)建模的若干主題活動，或抓住數(shù)學(xué)建模競賽等契機(jī)加以鍛煉與培養(yǎng)，是很有必要的?；诖耍轮性O(shè)計并實(shí)施了三個層面的數(shù)學(xué)建模教學(xué)。

（一） 數(shù)學(xué)建?！敖虒W(xué)課例”的設(shè)計與實(shí)施——“1+N”

數(shù)學(xué)建?！敖虒W(xué)課例”是面向全體學(xué)生，基于新教材的數(shù)學(xué)知識、思想和方法學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型。其目的在于是引導(dǎo)全體學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模，認(rèn)識建模的各個環(huán)節(jié)與過程，理解參數(shù)的假設(shè)與意義，從而提升全體學(xué)生的模型意識。“1+N”含義的第一層面是指以一位數(shù)學(xué)教師為核心，N名其他教師為輔所構(gòu)建的數(shù)學(xué)建模備課和課堂實(shí)施團(tuán)隊?！?+N”含義的第二層面是指課堂教學(xué)中一位教師和6—7名學(xué)生組成的N個師生學(xué)習(xí)共同體?！?+N”含義的第三層面是指一位教師主講，N+1個師生學(xué)習(xí)共同體參與的課堂組織形態(tài)。實(shí)踐證明，“1+N”的教學(xué)形式充分發(fā)揮了教師團(tuán)隊智慧，團(tuán)隊成員共同研究設(shè)計、攻克備課關(guān)，并充分發(fā)揮師生學(xué)習(xí)共同體中教師的引導(dǎo)作用，激發(fā)了學(xué)生的積極性、主動性，保證了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的高效順利推進(jìn)。

比如，在高一第一冊函數(shù)部分學(xué)完的基礎(chǔ)之上，我們進(jìn)行了高中數(shù)學(xué)建模第一階段教學(xué)。時間上安排一周，主要圍繞數(shù)學(xué)建模的基本理論及方法簡介、高一已學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容所關(guān)聯(lián)的不等式模型和函數(shù)模型而展開。2020年12月底，新中舉行了“建數(shù)學(xué)之模，修關(guān)鍵之能”——“雙新”背景下高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育研討活動。潘老師與其他老師組成的建?！?+4”團(tuán)隊，精心設(shè)計實(shí)施了“出租車運(yùn)價問題”的建模課，全班構(gòu)建5個師生學(xué)習(xí)共同體，開展數(shù)學(xué)建?；顒?，取得了預(yù)想的成效。

（1） 引導(dǎo)高一學(xué)生初步了解與認(rèn)識了數(shù)學(xué)建模的各環(huán)節(jié)與建模過程。通過現(xiàn)實(shí)生活中的出租車運(yùn)行問題的建模探究，使得學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與我們生活的世界密切相關(guān)。

（2） 基于“出租車的運(yùn)價”為主題的數(shù)學(xué)建?；顒?，構(gòu)建了多種數(shù)學(xué)模型：有的學(xué)習(xí)小組從乘客作為消費(fèi)者想少花錢來思考建立數(shù)學(xué)模型，有的學(xué)習(xí)小組從出租車司機(jī)想獲利最大來思考建立數(shù)學(xué)模型，還有的學(xué)習(xí)小組從政府部門需要保障乘客利益與公交公司效益平衡的社會民生來思考建立數(shù)學(xué)模型，初步培育了學(xué)生思維的全面性和思想價值的深刻性。

（3） 課時為1小時的“出租車運(yùn)價問題”的數(shù)學(xué)建模課的順利實(shí)施，關(guān)鍵在于 “1+4” 教師團(tuán)隊的精心準(zhǔn)備，離不開 5個“1+6”的師生建模學(xué)習(xí)共同體的合力探究。在1小時的數(shù)學(xué)建模課內(nèi)，每一個師生學(xué)習(xí)共同體都提出自己的思考，分享各自的智慧，不同學(xué)習(xí)共同體之間還可以充分交流，是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的好契機(jī)。

（二） 數(shù)學(xué)建模“活動案例”實(shí)施——“行走的教室”

“行走的教室”是每年圍繞一個“中國發(fā)展”主題，通過調(diào)查研究、論文撰寫、紀(jì)錄片制作、課題發(fā)布等形式，將學(xué)科知識學(xué)習(xí)與社會實(shí)踐活動相結(jié)合，構(gòu)建全新的研究性學(xué)習(xí)空間，逐步探索校內(nèi)與校外聯(lián)動、中學(xué)與大學(xué)資源整合、學(xué)科知識與實(shí)踐體驗(yàn)互為補(bǔ)充的研學(xué)實(shí)踐活動。從2016年起已開展五季，每季的時間跨度為5月至11月。一般經(jīng)歷的過程如圖1所示。

圖1 “行走的教室”主題活動流程

“行走的教室”看上去似乎不是為數(shù)學(xué)建模專題設(shè)計的主題活動，但是“行走的教室”獨(dú)特的實(shí)踐性，問題是核心，就是要面對紛繁復(fù)雜的客觀世界，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，這正是學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的最好實(shí)踐與應(yīng)用場域。從每年“行走的教室”學(xué)生完成遞交的論文來看，有三分之一以上的課題論文或調(diào)研報告，學(xué)生都在運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想方法分析解決提出的課題。這些論文在上海市青少年科創(chuàng)大賽、上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用小論文比賽中屢次獲得一、二等獎。表1是部分學(xué)生在行走中確立的數(shù)學(xué)建模課題。

表1 新中數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊部分課題

（三） 數(shù)學(xué)建?！皠?chuàng)新范例”實(shí)施——競賽活動

少部分在數(shù)學(xué)上有興趣與天賦的學(xué)生組成新中數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊，通常由3人成一組，團(tuán)隊分為7—8個小組。在全體成員自學(xué)與定期集訓(xùn)的基礎(chǔ)上，每年都積極參與上海市數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽、小論文競賽、數(shù)學(xué)建模比賽等。五年多的競賽活動中，涌現(xiàn)了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模方案，我們稱之為“創(chuàng)新范例”。比如，2019年上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)建模活動賽題為“頭痛病癥簡易咨詢系統(tǒng)設(shè)計”，韓同學(xué)小組撰寫的論文獲一等獎，滕同學(xué)小組的研究成果獲二等獎。再比如，2020年美國數(shù)學(xué)建模大賽題目是問題A“最佳夏季工作”，問題B“資助生物多樣性保護(hù)”，一些小組用英文撰寫的解決方案成為數(shù)學(xué)建模的“創(chuàng)新范例”。馮同學(xué)小組的“創(chuàng)新范例”方案獲得全美數(shù)學(xué)建模大賽一等獎，施同學(xué)小組的創(chuàng)新方案獲得了二等獎。初步統(tǒng)計，近三年來，有35個建模團(tuán)隊100多名學(xué)生獲得各類數(shù)學(xué)建模大賽一、二、三等獎。

四、新時代數(shù)學(xué)建模再探索

（一） 進(jìn)一步加強(qiáng)技術(shù)加持下數(shù)學(xué)建模的研究

國內(nèi)外專家學(xué)者紛紛預(yù)測，以智能化與信息化為主要特征的第四次工業(yè)革命已來臨。比如世界經(jīng)濟(jì)論壇創(chuàng)始人兼執(zhí)行主席克勞斯·施瓦布在《第四次工業(yè)革命：轉(zhuǎn)型的力量》一書中指出,“如今，移動設(shè)備將地球幾十億人口連接到了一起，具有史無前例的處理與存儲能力，并為人們提供獲取知識的途徑，由此創(chuàng)造了無限可能性”。①[德]克勞斯·施瓦布.第四次工業(yè)革命：轉(zhuǎn)型的力量[M].世界經(jīng)濟(jì)論壇北京代表處，李菁，譯.北京：中信出版社，2016.互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)和人工智能機(jī)器學(xué)習(xí)等新技術(shù)能否與數(shù)學(xué)建模有機(jī)結(jié)合，使這樣的“無限可能性”成為突破數(shù)學(xué)建模某些關(guān)鍵難點(diǎn)的“金剛鉆”。筆者認(rèn)為新技術(shù)加持下開展數(shù)學(xué)建模是新時代的趨勢，很有必要加以探索研究。

比如說，數(shù)學(xué)建模離不開數(shù)學(xué)學(xué)科所具有的邏輯推理、數(shù)學(xué)的運(yùn)算、數(shù)學(xué)的直觀想象等思維為基礎(chǔ)，也離不開分析、評判和創(chuàng)新等高階思維的支撐。因此，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和人的高階思維品質(zhì)培養(yǎng)休戚相關(guān)。對此能否有科學(xué)的分析與判斷？時至今日，發(fā)揮人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)等在數(shù)學(xué)建模案例及相關(guān)數(shù)據(jù)信息分析的優(yōu)勢，使數(shù)學(xué)建模的案例分析與研究更透徹也將成為可能。

（二） 進(jìn)一步開展數(shù)學(xué)建模的評價研究

評價是當(dāng)今公認(rèn)的世界性難題，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評價則是難中之難。一是難在數(shù)學(xué)建模不同于一般數(shù)學(xué)問題的封閉性，需要面向客觀現(xiàn)實(shí)世界，問題具有開放性與不確定性。二是難在基于量化的復(fù)雜性，同一情境問題的數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)多樣性，難以量化比較及量化的差異性。三是難在判定的差異性?；趯ν粚W(xué)生在數(shù)學(xué)建模各環(huán)節(jié)水平的判定，或者不同教師對同一學(xué)生建模環(huán)節(jié)的認(rèn)定差異等，如表2所示②劉愛國.高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略與評價研究——以數(shù)學(xué)建模為例[R].上海市教育科學(xué)研究項目，2020.。

表2 數(shù)學(xué)建模評價等級表

（續(xù)表）

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)建模的探索和實(shí)踐中，正因?yàn)閿?shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價之難，才顯示出數(shù)學(xué)建模的魅力，吸引了越來越多的專家學(xué)者開展研究。

（三） 進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教師素養(yǎng)研究

當(dāng)下，在“雙新”背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，普遍開始重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)。上海市師資培訓(xùn)中心也聘請專家設(shè)計課程，舉辦面向中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)建模專題培訓(xùn)，并取得了一定的成效。然而，對標(biāo)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的師資要求，仍有亟待解決的三個問題：一是充實(shí)數(shù)學(xué)建模的“問題庫”。問題是數(shù)學(xué)建模的核心關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模的問題是豐富多樣的,來自我們的日常生活、現(xiàn)實(shí)世界及其他學(xué)科等多個方面。數(shù)學(xué)教師必須成為“有心人”，既要在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用與建模的切入點(diǎn)上多實(shí)踐,還要不斷積累高中數(shù)學(xué)教材的應(yīng)用和建模的參考素材,不斷充實(shí)自身的數(shù)學(xué)建模“問題庫”。二是加強(qiáng)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)建模報告與論文撰寫的指導(dǎo)能力。我們發(fā)現(xiàn)，許多新教師從研究生畢業(yè)進(jìn)入教師崗位的教學(xué)磨煉，數(shù)年后，教學(xué)能力規(guī)范化水平確有不同程度的提高，但教育教學(xué)研究能力，特別是指導(dǎo)學(xué)生撰寫研究報告能力欠缺，或?qū)⒊蔀榻虒W(xué)和自身專業(yè)發(fā)展的“瓶頸”。在數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)中，指導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模報告的能力，包括問題背景、問題解決方案的設(shè)計、問題解決的過程、合作過程、結(jié)果的評價以及參考文獻(xiàn)等撰寫是教師的基本能力。三是提高運(yùn)用新信息技術(shù)手段解決問題的能力。當(dāng)今互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)建模提供了查閱學(xué)習(xí)新知識、解決問題的思想方法等便捷通道，但如何快速有效搜尋與篩選為自己所用的信息，離不開必要的信息技術(shù)手段的支持。

提高中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)水平，關(guān)鍵在于教師。只有教師的數(shù)學(xué)建模能力得到提升，才能使得學(xué)生解決實(shí)際問題、創(chuàng)新發(fā)展的能力培養(yǎng)得以實(shí)現(xiàn)。