■吳顯峰

我國著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾指出：“教學(xué)的技藝，一方面要指示正規(guī)，另一方面要矯正錯(cuò)誤，必須兼施并用，才會(huì)有較好的效果?！惫P者結(jié)合近年來初中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中的一些實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)要重視板書示范和矯正錯(cuò)誤。下面筆者以乘法公式的教學(xué)為例，談一談個(gè)人的做法和體會(huì)。

一、例題板書示范

案例1 （平方差公式）計(jì)算（3x+2）（3x-2）。

解：原式=（3x）2-22……視為整體，添加小括號(hào)，不跳步。

=9x2-4。……展開小括號(hào)。

板書示范的細(xì)節(jié)：教師在板書之前，可先安排學(xué)生觀察兩個(gè)因式中的各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，然后用不同顏色的粉筆進(jìn)行標(biāo)注，再寫成兩項(xiàng)平方差的形式，并在每一步的后面進(jìn)行備注、解讀。

案例2 （平方差公式）計(jì)算（-m+2n）（-2n-m）。

解：原式=（-m+2n）（-m-2n）……變形改寫，與公式“形式”一致。

=（-m）2-（2n）2……視為整體，添加小括號(hào)，不跳步。

=m2-4n2。……展開小括號(hào)。

板書示范的細(xì)節(jié)：教師先安排學(xué)生觀察兩個(gè)因式中的各項(xiàng)特點(diǎn)，分析能否運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算，這里要讓學(xué)生辨識(shí)并且說出哪一項(xiàng)相當(dāng)于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的“a”或“b”，然后提醒并示范“第一步”。教師可以使用相同顏色的粉筆標(biāo)注“-m”，使用另一種顏色的粉筆標(biāo)注“2n”，以促進(jìn)學(xué)生辨識(shí)。

案例3 （完全平方公式）計(jì)算（a＋b＋c）2。

解：原式=[ ](a+b)+c2……視為整體，恰當(dāng)分組。

=（a+b）2+2（a+b）c+c2……運(yùn)用完全平方公式展開。

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2……展開小括號(hào)。

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?！?，形式上更加一致。

板書示范的細(xì)節(jié)：學(xué)生可能會(huì)直接展開成9項(xiàng)，然后再合并、化簡(jiǎn)。對(duì)于這道計(jì)算題來說也是可行的，但筆者啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用整體眼光，連續(xù)使用完全平方公式展開，然后將a+b視為整體用小括號(hào)括起來，具體板書時(shí)還可采用留白、字號(hào)縮放的書寫技巧（如圖1）來幫助學(xué)生理解這一步的意圖。

案例4 （乘法公式綜合運(yùn)算）計(jì)算（x+2y-3）（x-2y+3）。

解：原式=[x+(2y- 3) ][x- (2y- 3) ]……觀察因式中的各項(xiàng)系數(shù)特點(diǎn)，恰當(dāng)組合。

=x2-（2y-3）2……視為整體，運(yùn)用平方差公式。

=x2-（4y2-12y+9）……展開小括號(hào)。

=x2-4y2+12y-9?！バ±ㄌ?hào)，化簡(jiǎn)。

板書示范的細(xì)節(jié)：在初學(xué)案例4 這道計(jì)算題時(shí)，學(xué)生往往不太適應(yīng)，難以找出合適的分組。這時(shí)教師可在學(xué)生獨(dú)立觀察、思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生分組交流各自的發(fā)現(xiàn)和嘗試，然后再讓全班交流分享一些成功的分組經(jīng)驗(yàn)，最后在學(xué)生成功解出答案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如上的“分步運(yùn)算”環(huán)節(jié)，并備注每一步的操作說明或依據(jù)。

二、矯正錯(cuò)誤的案例呈現(xiàn)

案例5 計(jì)算（-3x+2y）（-2y-3x）。學(xué)生錯(cuò)誤：原式=-3x2+2y2。

提醒出錯(cuò)后訂正：原式=-9x2+4y2。第二次訂正：原式=-4y2+9x2。

矯正意見：該生成績(jī)?cè)诎嗉?jí)屬于中等水平，第一次出錯(cuò)的原因是典型的跳步太多，特別是符號(hào)辨識(shí)不當(dāng)，又沒有添加小括號(hào)，而且對(duì)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征理解不透，化簡(jiǎn)時(shí)也沒有與平方差公式在結(jié)構(gòu)上保持“一致性”（結(jié)果宜寫成9x2-4y2）。在師生究錯(cuò)討論后，訂正如圖2：

圖2

案例6 計(jì)算（a+2b+1）（a+2b-1)。

學(xué)生錯(cuò)誤：

矯正意見：由于學(xué)生第一步就出現(xiàn)了“組合”錯(cuò)誤，導(dǎo)致后續(xù)運(yùn)算全部無效，是典型的“高位出錯(cuò)”。教師教學(xué)時(shí)可將這種錯(cuò)誤進(jìn)行投影，讓全班學(xué)生參與糾錯(cuò)和究錯(cuò)，能訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。當(dāng)學(xué)生觀察出兩個(gè)因式中有相同項(xiàng)（a+2b）時(shí)，再運(yùn)用平方差公式即可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

案例7 運(yùn)用“楊輝三角”展開（a-2b）5。

學(xué)生錯(cuò)誤：原式=a5-10a4b+20a3b2-20a2b3+10ab4-2b5。

矯正意見：這是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)教材中的一道變式拓展題。在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都出錯(cuò)了。學(xué)生出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)“視為整體”的處理策略運(yùn)用不熟悉，并且想“一步到位”，結(jié)果跳步出錯(cuò)。而少數(shù)展開成功的學(xué)生就是因?yàn)閷ⅰ?2b”視為整體，然后運(yùn)用“楊輝三角”逐項(xiàng)展開，最后再化簡(jiǎn)成功的。上述的教師示范過程如圖3。教師講評(píng)時(shí)注意讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)算、書寫的“序”，可以使用不同顏色的粉筆進(jìn)行切換、示范。

圖3

三、關(guān)于運(yùn)算教學(xué)的思考

1.站在學(xué)生角度，找準(zhǔn)算法關(guān)鍵并分步示范。

教師由于對(duì)初中階段的各類運(yùn)算非常熟悉，所以備課時(shí)更需要站在學(xué)生的角度，以一個(gè)初學(xué)者的視角了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，即對(duì)于新學(xué)習(xí)的運(yùn)算或變形可以與之前哪些運(yùn)算或算法經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，又與哪些顯著不同且容易形成干擾。找準(zhǔn)以上這些算法關(guān)鍵之后，教師就要做出必要的教學(xué)預(yù)設(shè)，比如在哪些關(guān)鍵步驟要慢下來或者停下來，而不是用PPT像“放電影”一樣展示解法過程，然后再安排大量練習(xí)。筆者認(rèn)為，在學(xué)生新接觸一類運(yùn)算之后，要組織學(xué)生“慢慢”歸納（能證明的要盡量進(jìn)行推證）得出運(yùn)算法則。在運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，例題的算法步驟盡量不使用PPT 播放，而要由教師親自板書，通過輔以不同顏色的粉筆，恰時(shí)恰點(diǎn)的留白式書寫和停頓式書寫，甚至需要必要的“稚化思維”“有意出錯(cuò)”等教學(xué)藝術(shù)，突破教學(xué)難點(diǎn)，提醒學(xué)生關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)和易混點(diǎn)。

2.執(zhí)行法則，并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題。

學(xué)生在新接觸一類運(yùn)算或變形式之后，歸納得出的運(yùn)算法則，要嚴(yán)格執(zhí)行，但是運(yùn)算的難點(diǎn)和靈活性在于運(yùn)算法則是“剛性”的，而運(yùn)算通性則是“柔性”的，教師往往要帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)“規(guī)則下的自由”。

比如有理數(shù)的混合運(yùn)算，按照不同級(jí)別運(yùn)算的先后順序進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，還要靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。再比如，上文提到的乘法公式的簡(jiǎn)化運(yùn)算，要引導(dǎo)學(xué)生善于整體處理，養(yǎng)成“視為整體”的習(xí)慣。形成這方面的能力固然與學(xué)生對(duì)運(yùn)算的適應(yīng)性有關(guān)，也與教師“深入淺出”“形象生動(dòng)”的板書示范有著很大的關(guān)系。關(guān)于運(yùn)算教學(xué)或運(yùn)算習(xí)題的講評(píng)課，筆者曾特別提醒一些初任教師，因?yàn)樗麄兂３?duì)運(yùn)算步驟缺少深入構(gòu)思，往往出現(xiàn)算法不夠簡(jiǎn)明、重點(diǎn)步驟不突出等問題。因此他們要多向教材學(xué)習(xí)，弄清楚教材上針對(duì)某道例題的算法步驟為什么只給出三步，而不是四步或六步?？傊?，學(xué)會(huì)省略“非必要表達(dá)步驟”（力求運(yùn)算過程更加簡(jiǎn)明、清楚）也是運(yùn)算教學(xué)的關(guān)鍵和難點(diǎn)。

3.找出主要錯(cuò)因，引導(dǎo)學(xué)生從糾錯(cuò)走向究錯(cuò)。

筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)的主要原因是跳步。筆者開展糾錯(cuò)時(shí)常常會(huì)向?qū)W生指出“十次算錯(cuò)九次跳”，并細(xì)心協(xié)助學(xué)生一起查找出他們的錯(cuò)誤步驟，然后針對(duì)錯(cuò)誤給出訂正的建議，這其中要求學(xué)生充分展開必要的算法步驟，往往能提高學(xué)生的運(yùn)算能力。另外，有些運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生，在訂正運(yùn)算錯(cuò)誤時(shí)往往要經(jīng)歷多次訂正才能算出正確的結(jié)果，這類學(xué)生缺少必要的反思，他們常常是為“完成任務(wù)”（僅以算到正確的結(jié)果為目標(biāo)），并不主動(dòng)去反思、分析前面幾次出錯(cuò)的原因，從而失去提升運(yùn)算能力的機(jī)會(huì)。因?yàn)檫\(yùn)算能力的提升除了“嚴(yán)守法則、靈活處理”之外，還需要從運(yùn)算失誤中吸取一些教訓(xùn)。筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是，在課堂上遇到學(xué)生的典型錯(cuò)誤時(shí)，常常會(huì)安排“大屏幕投影”，組織全體學(xué)生共同究錯(cuò)，然后進(jìn)行訂正和算法步驟的優(yōu)化與簡(jiǎn)化，最后讓出錯(cuò)學(xué)生整理自己的錯(cuò)誤并且訂正在筆記本上，而不是讓他們只記錄正確的算法。這樣做的好處是，學(xué)生過一段時(shí)間復(fù)習(xí)時(shí)，可以對(duì)比錯(cuò)誤算法和正確步驟，包括將來再次出現(xiàn)同類錯(cuò)誤時(shí)，可以讓學(xué)生對(duì)前后的運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行比對(duì)、驗(yàn)證，防止反復(fù)出錯(cuò)和一錯(cuò)再錯(cuò)。