錢 歡，彭 千

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥230036）

在保險和金融領(lǐng)域，對折現(xiàn)累積理賠過程的研究具有重要意義，其尾概率估計可直接用于計算公司的破產(chǎn)概率。假定理賠額{Xi,i≥1}和理賠時間間隔{θi,i≥1}均為獨立同分布的隨機變量序列，在不同條件下，文獻[1-2]得到了折現(xiàn)累積理賠或保險公司破產(chǎn)概率的一致漸近估計。隨后，假定{Xi,i≥1}滿足某種相依結(jié)構(gòu)，或{Xi,i≥1}與{θi,i≥1}之間滿足某種相依結(jié)構(gòu)，文獻[3-4]研究了公司有限時間破產(chǎn)概率的一致漸近估計。本文旨在研究{Xi,i≥1}滿足線性寬象限相依*（LWQD*）時，公司折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計。

1 預(yù)備知識

考慮一個更新風(fēng)險模型，理賠額{Xi,i≥1}與理賠時間間隔{θi,i≥1}均為隨機變量序列。定義理賠到達時間,n≥1，約定幾乎處處有0=τ0＜τ1＜τ2＜…，則到t時刻為止，理賠次數(shù)的更新計數(shù)，t≥0。當(dāng)0＜t＜∞時，過程為Nt=sup{n≥1,τn≤t},t≥0，其均值函數(shù)為E(Nt)＜∞；當(dāng)t=0時，E(N0)=0。通過上述均值函數(shù)來定義Λ={t＞0,E(Nt)＞0}={t＞0,P(τ1≤t)＞0}。令常數(shù)利息率r≥0，則到t時刻為止的折現(xiàn)累積理賠過程為

約定當(dāng)Nt=0時，上述求和的值恒為0。

定義1[5]設(shè){Xn,n≥1}為一列隨機變量，若存在一列正常數(shù)序列{gn,n≥1}，使得對所有的n≥2，x,y∈(-∞,∞)，以及任意正常數(shù)序列{an,n≥1}，有

則稱{Xn,n≥1}滿足線性寬象限相依*，其中{gn,n≥1}稱為控制系數(shù)。

不妨設(shè)對任意的n≥1，有g(shù)n≥1；若不然，則存在一列大于1的常數(shù)序列使上式仍然成立[5]。假定理賠額{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負同分布隨機變量，且理賠額的分布屬于強次指數(shù)族，通過構(gòu)造LWQD*隨機變量加權(quán)和Kesten型不等式，證明折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計式，擴展了文獻[6]的結(jié)果。

定義2[7]設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F(x)=P(X≤x),-∞＜x＜∞稱為X的分布函數(shù)，記其尾分布為Fˉ(x)=1-F(x)。對于任意的分布函數(shù)，本文所有的極限關(guān)系均指x→∞。對于兩個正值函數(shù)f(·)和g(·)，有

當(dāng)a=b=1時，記作f(x)～g(x)；當(dāng)b=0時，記 作f(x)=o(g(x))；當(dāng)0＜a≤b＜∞時，記 作；當(dāng)b≤1時，記作f(x)?g(x)；當(dāng)a≥1時，記作f(x)?g(x)。對于兩個實數(shù)m和n，記m∨n=max{m,n}。另外，IA表示事件A的示性函數(shù)。

定義3[8]如果非負隨機變量X具有有限均值，且滿足，則稱非負隨機變量X（或其分布函數(shù)F）屬于強次指數(shù)族（S*族），記作X∈S*（或F∈S*）。

定義4[8]如果對于y∈(-∞,∞)，有，則稱實值隨機變量X（或其分布函數(shù)F）屬于長尾族（?族），記作X∈?（或F∈?）。

注1由文獻[8]可知，長尾分布族具有如下基本性質(zhì)：

若F∈?，則?(F)={h取值于[0,∞):h(x)↑∞,↓0,且。易證，對于任意的h(x)∈?(F)和任意固定的K＞0，有。

引理1[9]若F∈?，a、b為任意固定常數(shù)且0＜a≤b＜∞，則對任意的h(x)∈?(F)，對c∈[a,b]一致地有。

引理2[6]若F∈S*，a、b為任意固定常數(shù)，且0＜a≤b＜∞，則對任意的h(x)∈?(F)，ε＞0，以及充分大的x，對c∈[a,b]一致地有

引理3[6]如果{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負隨機變量，共同分布F∈S*，a、b為任意固定常數(shù)且0＜a≤b＜∞，則對n≥1，i≥1以及充分大的x，對ci∈[a,b]一致地有

引理4若{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負隨機變量，共同分布F∈S*，控制系數(shù)為{gi,i≥1}，令a、b為任意固定常數(shù)，且0＜a≤b＜∞，則對任意的ε＞0，存在一個僅依賴于ε、F、a、b，而與n無關(guān)的非負常數(shù)K，使得對所有的x≥0和n≥1，對(c1,c2,c3,…,cn)∈[a,b]n一致地有

證明為了方便，定義。當(dāng)x為整數(shù)時，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明式（2）。當(dāng)n=1時，式（2）顯然成立。假設(shè)式（2）對n成立，下面證明對n+1也成立。記

由于F∈S*??，由注1可知，存在h(x)∈?(F)，于是

由引理1可知，存在充分大的A＞0，使得當(dāng)x＞A時，對-cn∈[a,b]n一致地有

同理，

由于[h(x)]≤h(x)，故，因此只需考慮h(x)取整數(shù)值情形即可。由LWQD*和αn的定義可知

故由F∈S*??以及引理2可知，對上述充分大的A＞0，當(dāng)x＞A時，對一致地有

將式（4）～（6）代入式（3），得當(dāng)x＞A時，對一致地有

另一方面，當(dāng)0≤x≤A時，對一致地有

由歸納假設(shè)，存在一僅依賴于ε、F、a、b，而與n無關(guān)的非負常數(shù)，使。結(jié)合式（7）和（8）有

其中，K=∨(3/ε)(1+ε/3+M)。由式（9）和gn≥1得，故式（2）對n+1成立。

當(dāng)x為非負整數(shù)時，記[x]為x取整數(shù)。由非增，x-1≤[x]≤x以及F∈S*??可知，

最后一步只對x充分大時成立。若x非充分大，則類似于式（8）中方法可證明結(jié)論成立。

2 主要定理及其證明

定理對于上述非標準更新風(fēng)險模型，考慮折現(xiàn)累積理賠過程（1），若F∈S*，且存在ε＞0，有

則對任意的t∈Λ一致地有

證明為了方便，定義，對任意正整數(shù)N，有

對于J1(x,t,N)，以τ1,τ2,τ3,…,τn+1作為條件事件，由X1,X2,X3,…,Xn+1與τ1,τ2,τ3,…,τn+1相互獨立以及引理3可知，

對J11(x,t)交換求和順序，并由知，對任意的t∈Λ一致地有

由于幾乎處處有0＜τ1＜τ2＜…，所以對任意的t∈Λ一致地有

故由E(Nt)＜∞可知，當(dāng)N充分大時，對任意的t∈Λ一致地有

將式（14）（15）代入式（13），由δ的任意性，即得對任意的t∈Λ一致地有

對于J2(x,t,N)，以τ1,τ2,τ3,…,τn+1作為條件事件，由X1,X2,X3,…,Xn+1與τ1,τ2,τ3,…,τn+1相互獨立以及引理4知，對任意的t∈Λ一致地有

將式（16）（17）代入式（12），由δ的任意性，即得式（11）。

注2若對于控制系數(shù){gi,i≥1}存在充分大的常數(shù)C，使得||gi≤C,i≥1，則條件（10）自然成立[10]。

3 結(jié)論

本文主要研究了保險公司的理賠額在滿足線性寬象限相依*的情況下，折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計。研究改善了理賠額獨立同分布這種過于理想化的情況，并且這類相依結(jié)構(gòu)是比較寬泛的，在該相依結(jié)構(gòu)下，構(gòu)造了隨機加權(quán)和Kesten型不等式解決了相關(guān)問題，為類似課題的研究提供了思路。不足之處是沒有考慮理賠額和理賠時間間隔之間存在相依結(jié)構(gòu)，理賠額服從的分布沒有推廣到更大的分布族，今后需繼續(xù)深入研究。