米立功 謝泉 張利 吳忠組

(貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院,物理學(xué)院,貴陽 550025)

研究了基本費(fèi)米子的質(zhì)量分布,并找到一組描述基本費(fèi)米子質(zhì)量在特定分布模式下的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式.這啟發(fā)我們對基本費(fèi)米子質(zhì)量等級和基本費(fèi)米子具有三代的根源進(jìn)行深入的思考,提出了一種理論模型,解釋了基本費(fèi)米子為什么具有三代,并討論了基本費(fèi)米子質(zhì)量等級和自旋的起源.

1 引言

在標(biāo)準(zhǔn)模型框架下,共有三代基本費(fèi)米子,每代基本費(fèi)米子包含一對夸克和一對輕子.三代夸克和帶電輕子都具有質(zhì)量.中微子振蕩實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步表明至少有兩種中微子也具有質(zhì)量[1-3].基本費(fèi)米子質(zhì)量是粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的基本參數(shù).其中,輕子作為物理粒子能夠被觀測到,因此輕子質(zhì)量能夠直接測量;而夸克被禁閉在強(qiáng)子內(nèi)部,其質(zhì)量必須通過它們對強(qiáng)子性質(zhì)的影響而間接測定.標(biāo)準(zhǔn)模型并沒有預(yù)測夸克和輕子的質(zhì)量大小,夸克和輕子的質(zhì)量值只能通過實(shí)驗(yàn)測得.對于夸克,能夠根據(jù)需要選擇不同的重整化方案對它的質(zhì)量參數(shù)進(jìn)行定義.為了比較不同的質(zhì)量測定結(jié)果,通常采用微擾理論,將獲得的質(zhì)量值轉(zhuǎn)化為在(minimalsubtraction)方案中,固定的重整化尺度下的跑動(dòng)質(zhì)量[4].本文采用的輕夸克的質(zhì)量是在方案中,重整化尺度為2 GeV 下定義的.c 夸克和b 夸克的質(zhì)量是在MS 方案中定義的跑動(dòng)質(zhì)量.t 夸克和帶電輕子的質(zhì)量采用直接測量的物理質(zhì)量.本文的主要工作是通過考察基本費(fèi)米子的質(zhì)量分布規(guī)律,提出了一組描述基本費(fèi)米子質(zhì)量在特定分布模式下的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式,并提出了一種理論模型解釋產(chǎn)生三代基本費(fèi)米子的原因.

2 基本費(fèi)米子的質(zhì)量分布

基于目前對基本費(fèi)米子質(zhì)量的測量[5,6],在表1中,將三代夸克與輕子依次排成三列四行,并分別用l和n表示基本費(fèi)米子的列數(shù)和行數(shù).表1中三代基本費(fèi)米子中較重的夸克和輕子分別排在n=1行和n=2 行,較輕的三代夸克和輕子分別排在n=3行和n=4行.經(jīng)過排列后,在l=1 列,基本費(fèi)米子從上到下分別為下夸克、電子、上夸克、電子中微子;在l=2 列,基本費(fèi)米子從上到下分別為粲夸克、μ 子、奇夸克、μ 子中微子;在l=3 列,基本費(fèi)米子從上到下分別為頂夸克、τ 子、底夸克、τ子中微子.表1中括號內(nèi)為對應(yīng)的夸克或輕子的質(zhì)量,以MeV 為單位.該質(zhì)量采用Particle Data Group (2020)的推薦值[7].不難發(fā)現(xiàn),在表1中,從n=1行到n=3 行,基本費(fèi)米子的質(zhì)量從左到右依次增大,且呈現(xiàn)一種周期性,這暗示著三代中微子也應(yīng)該遵循同樣的分布規(guī)律.

表1 基本費(fèi)米子的質(zhì)量分布Table 1.Mass distribution of elementary fermions.

在表1中,第l列和第n行的基本費(fèi)米子的質(zhì)量記為mln,并令

其中,N(n) 表示第n組夸克中,較重的基本費(fèi)米子的質(zhì)量與另外兩個(gè)較輕的基本費(fèi)米子的總質(zhì)量的比值;L(l) 表示第l代基本費(fèi)米子中,較重的基本費(fèi)米子的質(zhì)量與另外三個(gè)較輕的基本費(fèi)米子的總質(zhì)量的比值.不妨稱N(n) 和L(l) 為基本費(fèi)米子質(zhì)量的量子結(jié)構(gòu)函數(shù).我們提出:對于基本費(fèi)米子,分別存在一個(gè)量子結(jié)構(gòu)函數(shù)N(n) 和L(l) 將它們的質(zhì)量聯(lián)系在一起.

3 基本費(fèi)米子質(zhì)量的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系

采取如下的分析步驟構(gòu)造量子結(jié)構(gòu)函數(shù)N(n) :首先,設(shè)想存在一個(gè)數(shù)值區(qū)間[ki,kj],且該區(qū)間內(nèi)的元素記為k,則有ki≤k≤kj,其中,ki和kj不妨稱為區(qū)間[ki,kj]的界;其次,假設(shè)對于行數(shù)n,總能夠找到對應(yīng)的ki和kj,使得ki=ki(n),kj=kj(n),其中ki(n)和kj(n) 不妨稱為n的界函數(shù);第三,設(shè)想存在k的一個(gè)函數(shù)F(k),使得當(dāng)k從ki依次取到kj時(shí),有

其中,F(k)不妨稱為N(n)的結(jié)構(gòu)核.F(k) 應(yīng)該不是唯一的,我們找到了N(n) 的一個(gè)好的結(jié)構(gòu)核F(k),即

其中,α為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).從而有

同時(shí),我們找到了n的一組界函數(shù),即

特別地,當(dāng)n=1時(shí),kj(1)=1+00,其中,00沒有嚴(yán)格的定義,在本文中,我們約定:00=0,從而有kj(1)=1.設(shè)N(n)的經(jīng)驗(yàn)值為Ne(n),由(5)式和(6)式可得到N(n) 的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式:

當(dāng)n=1,2,3 時(shí),由(7)式可得

設(shè)N(n)的觀測值為No(n).采用Particle Data Group (2020)的推薦值,計(jì)算可得

可見,n=1,2,3時(shí),N(n)的經(jīng)驗(yàn)值Ne(n)和觀測值No(n)符合得非常好.圖1(a)給出了N(n)的經(jīng)驗(yàn)值和觀測值的相關(guān)圖,通過pearson 相關(guān)分析,得到兩者的相關(guān)系數(shù)為0.9999,其顯著性為0.00889,說明兩者在大于99%的置信度水平上具有極強(qiáng)的正相關(guān).

圖1 觀測值和經(jīng)驗(yàn)值的相關(guān)性 (a) No(n) 與 Ne(n) 的比 較;(b) Lo(l) 與 Le(l)的比較Fig.1.Correlation between theoretical and observed values:(a) the correlation between No(n) and Ne(n) for n=1,2,3;(b) the correlation between Lo(l)andLe(l)for l=1,2,3.

在表1中,對于第l代基本費(fèi)米子,設(shè)L(l) 的經(jīng)驗(yàn)值為Le(l),我們找到了Le(l) 的一個(gè)好的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式:

當(dāng)l=1,2,3 時(shí),由(10)式計(jì)算可得

設(shè)L(l)的觀測值為Lo(l).根據(jù)Particle Data Group(2020)推薦的夸克和輕子的質(zhì)量值,計(jì)算可得

由于中微子的質(zhì)量非常輕[8],在計(jì)算過程中已經(jīng)將其忽略.可見,L(l)的經(jīng)驗(yàn)值Le(l)和觀測值Lo(l)符合得非常好.圖1(b)中繪制了L(l) 的經(jīng)驗(yàn)值和觀測值的相關(guān)圖,通過pearson相關(guān)分析,得到兩者的相關(guān)系數(shù)為0.99999,其顯著性為0.00278,說明兩者在大于99%的置信度水平上具有極強(qiáng)的正相關(guān).

進(jìn)一步,利用3 種帶電輕子和頂夸克的質(zhì)量,忽略中微子的質(zhì)量后,通過(7)式和(10)式,可估算得到下夸克、上夸克、粲夸克、奇夸克和底夸克的質(zhì)量均值分別為md=4.28 MeV,mu=1.96 MeV,mc=1266 MeV,ms=94.5 MeV,mb=4101 MeV.將計(jì)算結(jié)果與對應(yīng)的夸克質(zhì)量的觀測值進(jìn)行比較(見表1),不難發(fā)現(xiàn)兩者符合得非常好.進(jìn)一步,由(2)式和(10)式可得

4 基本費(fèi)米子代的理論解釋和討論

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模型,狄拉克場與希格斯場相耦合,通過自發(fā)對稱性破缺使費(fèi)米子從希格斯場的真空期待值獲得質(zhì)量[9].但標(biāo)準(zhǔn)模型沒能給出基本費(fèi)米子的質(zhì)量大小,目前,也很難解釋基本費(fèi)米子的質(zhì)量等級和中微子質(zhì)量的起源問題.三代基本費(fèi)米子的質(zhì)量具有顯著的等級,從電子到頂夸克,質(zhì)量跨越 了5 個(gè)數(shù)量級.文獻(xiàn)[10]提出了一種觀點(diǎn),認(rèn)為除了頂夸克,其他質(zhì)量較輕的基本費(fèi)米子與希格斯場的作用都是間接的.考慮到基本費(fèi)米子的質(zhì)量正比于它與希格斯場的耦合強(qiáng)度,與頂夸克相比,質(zhì)量較輕的基本費(fèi)米子與希格斯場的耦合強(qiáng)度可以忽略,這種觀點(diǎn)具有它的合理性.Steven 在文獻(xiàn)[11]中也表達(dá)了同樣的想法.他進(jìn)一步提出第三代夸克和帶電輕子通過與希格斯場耦合獲得質(zhì)量,然后,質(zhì)量再通過某種機(jī)制從第三代基本費(fèi)米子依次傳遞到第二代和第一代基本費(fèi)米子.

夸克和輕子都是基本費(fèi)米子,具有相同的自旋,如果它們的質(zhì)量具有共同的起源,且這些質(zhì)量值不是一種巧合,那么,理論上能夠設(shè)想基本費(fèi)米子質(zhì)量之間存在一種內(nèi)在的關(guān)聯(lián).本文構(gòu)建的基本費(fèi)米子質(zhì)量之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系在數(shù)學(xué)上反映了基本費(fèi)米子質(zhì)量的等級差異.雖然這些經(jīng)驗(yàn)關(guān)系只是唯象的,但它們能夠啟發(fā)我們進(jìn)一步思考基本費(fèi)米子質(zhì)量等級背后隱藏的某種物理學(xué)機(jī)理.基本費(fèi)米子的質(zhì)量等級問題與基本費(fèi)米子為什么只有三代這一問題密切相關(guān).下面提出一種簡化的理論模型對這一問題進(jìn)行解釋.首先定義一種物理場U,它具有如下性質(zhì).

1)U場能夠處于一系列量子化的能量態(tài),且它的能量量子態(tài)的數(shù)目是有限的.引入量子數(shù)K對其所處的能量量子態(tài)進(jìn)行表征.令K=0,1,···,Km,其中,Km為最大的K值,則U場的能量量子態(tài)的總數(shù)目為Km+1.當(dāng)K=0 時(shí),U場處于基態(tài),對應(yīng)著最低的能量量子態(tài).當(dāng)0＜K≤Km時(shí),U場處于激發(fā)態(tài),對應(yīng)著較高的能量量子態(tài).U場的能級記為εK,則有εK ＞εK-1.U場的這一特性稱為能量等級特性.

2)U場具有量子化的空間屬性,量子數(shù)K的每一個(gè)取值表征的能量量子態(tài)對應(yīng)著U場的一個(gè)量子化的空間狀態(tài),稱該空間狀態(tài)為U場的量子維度.可見,U場的量子維度的總數(shù)為Km+1,我們說U場是Km+1 維量子空間.當(dāng)U場在兩個(gè)能量量子態(tài)之間或者在兩個(gè)量子維度之間躍遷時(shí),U場將激發(fā)出具有質(zhì)量的一類物質(zhì)粒子,不妨稱其為代粒子,且每類代粒子對應(yīng)一代基本費(fèi)米子.稱U場的這種躍遷為量子維度躍遷.為了表征代粒子或基本費(fèi)米子的代,引入質(zhì)量量子數(shù)l(l=1,2,3,···).第l代代粒子對應(yīng)著U場在兩個(gè)特定的能量量子態(tài)之間的量子維度躍遷.由于量子數(shù)K存在一個(gè)最大的取值Km,因此,質(zhì)量量子數(shù)l也相應(yīng)地存在一個(gè)最大的取值lm,于是有

3) 通過對U場量子化能夠激發(fā)出相應(yīng)的場量子,記該種場量子為Υ.Υ量子具有波粒二象性,它的動(dòng)量PK和波長ΛK,能量EK和周期TK的關(guān)系滿足德布羅意方程:

其中,h為普朗克常量.當(dāng)將Υ量子視為粒子時(shí),它具有內(nèi)稟的空間尺度和時(shí)間尺度.Υ量子作為粒子具有的內(nèi)稟的空間尺度和時(shí)間尺度分別稱為空間量子尺度和時(shí)間量子尺度,定義為

當(dāng)U場處于基態(tài)時(shí),Υ量子的空間量子尺度和時(shí)間量子尺度為零,此時(shí),U場具有最小的能量.由空間量子尺度和時(shí)間量子尺度決定的內(nèi)稟的動(dòng)量和能量分別稱為空間量子動(dòng)量和空間量子能量.將(16)式代入到(15)式,得到Υ量子的空間量子動(dòng)量和空間量子能量分別為

其中,?=h/(2π) 為約化的普朗克常數(shù).

4) 在U場中,Υ量子的空間量子動(dòng)量和空間量子尺度分別存在一個(gè)不確定度 ΔPK和ΔrK,且它們滿足量子力學(xué)的不確定性關(guān)系,即

5) 當(dāng)U場處于量子態(tài)K時(shí),Υ量子的空間量子動(dòng)量和其不確定度,空間量子尺度和其不確定度不能任意取值,它們之間必須滿足如下關(guān)系:

(19)式可以作為量子數(shù)K的定義.

6)Υ量子不僅具有內(nèi)稟的動(dòng)量和能量,而且還具有內(nèi)稟的自旋.Υ量子的自旋包括兩類:一類由空間量子動(dòng)量和空間量子尺度決定,稱為內(nèi)自旋,記為Si,其大小定義為空間量子動(dòng)量與空間量子尺度的大小的乘積;一類由空間量子動(dòng)量的不確定度和空間量子尺度的不確定度決定,稱為外自旋,記為So,其大小定義為空間量子動(dòng)量的不確定度與空間量子尺度的不確定度的大小的乘積.由(15)式和(16)式可得Υ量子的內(nèi)自旋的大小為

可見,Υ量子的內(nèi)自旋是量子化的,且由量子數(shù)K決定.Υ量子的內(nèi)自旋只能取 ? 的整數(shù)倍,因此,Υ量子是玻色子.由(19)式和(20)式可得Υ量子的外自旋的大小為

可見,Υ量子的外自旋由內(nèi)自旋和量子數(shù)K決定.當(dāng)K=0時(shí),Si=0,此時(shí),So的取值不確定,理論上,它應(yīng)該能取滿足(18)式的任意一個(gè)數(shù)值.當(dāng)K ＞0時(shí),(21)式可化為

此時(shí),Υ量子的外自旋也是量子化的,且由量子數(shù)K決定.Υ量子的外自旋具有如下的特性:基本粒子在與處于激發(fā)態(tài)的U場發(fā)生作用時(shí),Υ量子能夠?qū)⑵渫庾孕x予基本粒子,使得基本粒子獲得大小為So的自旋.由(20)式和(22)式知,在量子維度躍遷過程中,Υ量子的自旋將發(fā)生變化.我們將U場滿足的以上性質(zhì)稱為U場的基本量子特性.

其次,根據(jù)U場的基本量子特性,考察U場的其他重要特性.當(dāng)K ＞0 時(shí),結(jié)合(18)式和(22)式立刻得到

可見,在U場中,量子數(shù)K只能取0,1和2 三個(gè)數(shù)值,且Km=2.由(14)式可得lm=3.這至少表明兩點(diǎn).

1)Υ量子(U場)只有3 種.當(dāng)K=0,1,2 時(shí),相應(yīng)的3 種Υ量子(U場)分別記為Υ0(U0),Υ1(U1)和Υ2(U2).Υ0,Υ1和Υ2的內(nèi)自旋分別為 0,?和2?.Υ0的外自旋不確定,但Υ1和Υ2分別具有確定的外自旋 ?和?/2.U場僅具有3 個(gè)量子維度,它是三維量子空間.

2)U場的量子維度躍遷僅有3 類:a 類,在第一激發(fā)態(tài)(K=1)和基態(tài)之間的量子維度躍遷;b 類,在第一激發(fā)態(tài)和第二激發(fā)態(tài)(K=2)之間的量子維度躍遷;c 類,在基態(tài)和第二激發(fā)態(tài)之間的量子維度躍遷.從而,U場在量子維度躍遷中激發(fā)出的代粒子和與之對應(yīng)的基本費(fèi)米子只有三代.

進(jìn)一步,U場的每類量子維度躍遷又包括從較高(低)的能量量子態(tài)向較低(高)的能量量子態(tài)的量子維度躍遷兩種子躍遷.不妨規(guī)定在從較高(低)能量的量子態(tài)到較低(高)能量的量子態(tài)的量子維度躍遷過程中激發(fā)出的代粒子和與之對應(yīng)的基本費(fèi)米子為正(反) 的代粒子和基本費(fèi)米子.因此,正和反的代粒子和與之對應(yīng)的基本費(fèi)米子各有三代.三代基本費(fèi)米子的產(chǎn)生源于U場的量子維度躍遷,因此,三代基本費(fèi)米子的質(zhì)量等級也必然由U場的能量等級特性和量子維度躍遷的特性決定.三代基本費(fèi)米子與三類量子維度躍遷存在著一一對應(yīng)關(guān)系.第三代基本費(fèi)米子整體具有最大的質(zhì)量,顯然對應(yīng)著c 類量子維度躍遷.至于第一代或第二代基本費(fèi)米子對應(yīng)a和b 兩類量子維度躍遷的哪一種目前尚難判斷.需要有一個(gè)(一組)描述U場量子特性的場方程,使我們能夠通過該場方程獲得U場確定的能級公式和量子維度躍遷的全部細(xì)節(jié)過程.尋找這樣的一個(gè)(一組)場方程將是未來非常重要的工作.

基本費(fèi)米子都具有 ?/2 的自旋,根據(jù)U場的基本量子特性,基本費(fèi)米子的自旋的起源可解釋為:基本費(fèi)米子產(chǎn)生時(shí)將與U2場發(fā)生作用,這種相互作用可理解為基本費(fèi)米子與Υ2量子的一種耦合,在作用過程中,Υ2量子將 ?/2 的外自旋賦予基本費(fèi)米子.同理,傳遞強(qiáng)相互作用和電弱相互作用的規(guī)范玻色子具有的 ? 自旋的來源可解釋為:規(guī)范玻色子產(chǎn)生時(shí)將與U1場發(fā)生作用,并獲得Υ1量子的大小為 ? 的外自旋.

根據(jù)U場的特性,U0場,U1場和U2場通過量子維度躍遷可以相互轉(zhuǎn)化,它們是U場的3 種場量子態(tài).對于U場與4 種基本相互作用場(強(qiáng)相互作用場、電磁相互作用場、弱相互作用場和引力相互作用場)之間的關(guān)系,我們提出:U1場本質(zhì)上應(yīng)該是一種統(tǒng)一的規(guī)范作用場,具有自旋為 ?的Υ1量子本質(zhì)上是一種統(tǒng)一的規(guī)范玻色子.U1場在宇宙的演化過程中將分化為電磁相互作用場、強(qiáng)相互作用場和弱相互作用場等3 種基本相互作用場,相應(yīng)地,Υ1量子也隨之蛻化為傳遞3 種基本相互作用的規(guī)范玻色子.U2場的場量子是自旋為 2?的Υ2量子.根據(jù)無質(zhì)量粒子的洛倫茲不變理論[12],自旋量子數(shù)為2 的無質(zhì)量粒子具有引力子最顯著的動(dòng)力學(xué)特征,因此我們認(rèn)為:U2場本質(zhì)上應(yīng)該是一種統(tǒng)一的引力場,相應(yīng)地,Υ2量子本質(zhì)上是一種統(tǒng)一的引力子.目前,我們發(fā)現(xiàn)引力場只有一種,U2場在宇宙的演化過程中是否會分化為不同種類的引力相互作用呢？已經(jīng)發(fā)現(xiàn)宇宙中存在暗物質(zhì)和暗能量,它們之間的引力相互作用與普通物質(zhì)之間的引力相互作用是否相同呢？這將是未來需要思考的一個(gè)重要問題.U0場的場量子是自旋為0 的Υ0量子.我們認(rèn)為:U0場是賦予基本粒子作用荷的場.隨著宇宙的演化,U0場有可能分化為分別賦予基本粒子質(zhì)量、電荷和色荷等作用荷的場.已經(jīng)知道賦予規(guī)范玻色子和基本費(fèi)米子質(zhì)量的場是希格斯場.那么,可以設(shè)想在宇宙中應(yīng)該還分布著賦予基本粒子其他作用荷的場.未來尋找賦予基本粒子各種作用荷的場量子將是非常有意義的工作.