王娟

【摘 要】數(shù)學(xué)是思維的體操，但如何讓學(xué)生的思維“尋跡可現(xiàn)”，就需要我們?nèi)グ盐諏W(xué)生思維生長(zhǎng)的“證據(jù)”，讓“證據(jù)”去體現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程。本文將基于學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的“證據(jù)”，從課前的自學(xué)導(dǎo)航、課中的實(shí)際操作、課后的作業(yè)草稿和思維導(dǎo)圖幾個(gè)方面著手，探尋學(xué)生的思維成長(zhǎng)路徑，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維 學(xué)習(xí)力 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣

數(shù)學(xué)作為一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性和概括性。因此，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)圍繞學(xué)生的思維生長(zhǎng)規(guī)律開(kāi)展，這是數(shù)學(xué)思維本質(zhì)屬性的必然要求，它決定了教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都要有“據(jù)”可循。比如，課前的自學(xué)導(dǎo)航、課中的實(shí)際操作、課后的作業(yè)草稿和思維導(dǎo)圖等，這些事實(shí)性的材料均可以展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，促使學(xué)生的思維過(guò)程從內(nèi)隱到外顯，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能見(jiàn)度。在此基礎(chǔ)上，教師能夠更加精準(zhǔn)地把握學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，從而及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，提高課堂教學(xué)效率。

但在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師的備課往往是依據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教材，對(duì)學(xué)生的課堂呈現(xiàn)進(jìn)行預(yù)設(shè)，然后再按照教案按部就班地教學(xué)，教學(xué)策略死板、生硬，對(duì)于課前、課中、課后的“生成”關(guān)注不夠，錯(cuò)失了大量的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源。究其根本原因，是因?yàn)榻處熢趥湔n時(shí)僅僅關(guān)注到了“備教材”而忽視了“備學(xué)生”。這就要求教師需要通過(guò)多種方式鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化地表達(dá)自己的思考過(guò)程，從而真實(shí)有效地展示出不同層次學(xué)生思維發(fā)展情況，在交流碰撞中深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教學(xué)目標(biāo)。

一、自學(xué)導(dǎo)航，讓每一次教學(xué)優(yōu)化都“有理有據(jù)”

自學(xué)導(dǎo)航作為學(xué)生前置性學(xué)習(xí)的有效載體，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生課前的自主學(xué)習(xí)、動(dòng)手操作、獨(dú)立思考等，是架構(gòu)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)的橋梁。教師在設(shè)計(jì)自學(xué)導(dǎo)航時(shí)通過(guò)提出明確的自學(xué)要求，通過(guò)任務(wù)分解、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、練習(xí)檢測(cè)等方式讓學(xué)生提前介入學(xué)習(xí)。學(xué)生在自學(xué)導(dǎo)航中呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)痕跡就是思維發(fā)展的重要“證據(jù)”。教師需要在實(shí)際上課之前分析學(xué)生的自學(xué)導(dǎo)航情況，“尋跡”學(xué)生的思維發(fā)展過(guò)程，做出判斷并分析，進(jìn)而及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。所以說(shuō)，自學(xué)導(dǎo)航在強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，也為教師的教學(xué)優(yōu)化提供了依據(jù)——教師通過(guò)學(xué)生的自學(xué)導(dǎo)航做出判斷、分析，在實(shí)際課堂教學(xué)時(shí)再以“關(guān)鍵性的追問(wèn)”引導(dǎo)學(xué)生向思維更深處漫溯。它是探尋學(xué)生思維過(guò)程、優(yōu)化課堂教學(xué)、促進(jìn)思維發(fā)展的一個(gè)重要“證據(jù)”。

【案例】在教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了小數(shù)加減法和小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算法則，因此在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生先借助自學(xué)導(dǎo)航自學(xué)這部分內(nèi)容，由于學(xué)生已經(jīng)知道在計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊，小數(shù)乘整數(shù)時(shí)小數(shù)點(diǎn)是和乘數(shù)中的小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，導(dǎo)致學(xué)生在自學(xué)計(jì)算一位小數(shù)乘一位小數(shù)時(shí)，受經(jīng)驗(yàn)思維和習(xí)慣性思維的影響，認(rèn)為積的小數(shù)點(diǎn)也應(yīng)該和乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊（如圖1）。

通過(guò)收集、分析學(xué)生的自學(xué)導(dǎo)航，教師發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在自學(xué)過(guò)程中都認(rèn)為“積的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該和乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，于是在授課時(shí)教師將重點(diǎn)放在了引導(dǎo)學(xué)生理解小數(shù)乘法計(jì)算中小數(shù)點(diǎn)的確定上（如圖2）：

把3.8擴(kuò)大到10倍看作38，把3.2擴(kuò)大到10倍看作32，那么積就擴(kuò)大到100倍，所以1216要除以100，也就是12.16。

在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較分析，主動(dòng)地抽象、尋找出小數(shù)乘小數(shù)計(jì)算中乘數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)的關(guān)系，明確點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的方法，進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系?；谧詫W(xué)導(dǎo)航中的“證據(jù)”，教師了解到學(xué)生受經(jīng)驗(yàn)思維的影響產(chǎn)生了錯(cuò)誤的結(jié)論。借此教師通過(guò)優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，用大量的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生理解、體會(huì)正確方法的形成，發(fā)展學(xué)生的理論思維和分析思維，感受數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的發(fā)展。

二、實(shí)驗(yàn)操作，讓每一次思維進(jìn)階都“有路可循”

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“基本理念”中指出，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”;在“關(guān)于目標(biāo)”中強(qiáng)調(diào)，“探索主動(dòng)參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)對(duì)象的某些特征或與其他對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系”;在培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面要求，“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”。由此可見(jiàn)，“實(shí)驗(yàn)操作”是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要途徑。

【案例】通過(guò)課堂教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)掌握三角形的面積=底×高÷2，并且能夠理解三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程：把兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再把平行四邊形的面積除以2。由于學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平行四邊形的面積計(jì)算，對(duì)于這種轉(zhuǎn)化方法也比較容易接受。但在備課的時(shí)候，教師發(fā)現(xiàn)在教材第10頁(yè)“你知道嗎”又介紹了關(guān)于《九章算術(shù)》中三角形的面積計(jì)算。（圖略）

為此，教師不禁有這樣的疑問(wèn)：想要推導(dǎo)三角形的面積公式是不是只能通過(guò)轉(zhuǎn)化成平行四邊形？很顯然答案是否定的。基于這樣的想法以及學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，教師設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)方案（見(jiàn)下表）：

通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生之間的小組合作、交流討論，最終學(xué)生得出了多個(gè)三角形面積的推導(dǎo)方法。（如圖3-1、3-2、3-3）

在上述實(shí)驗(yàn)操作中，學(xué)生經(jīng)歷了再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的探究，在此過(guò)程中學(xué)生的思維在不斷進(jìn)階，對(duì)三角形的面積計(jì)算有了進(jìn)一步的鞏固，并且掌握得更加扎實(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想也有了進(jìn)一步的感悟，促使數(shù)學(xué)知識(shí)的再次生長(zhǎng)。

三、作業(yè)草稿，讓每一次思考過(guò)程都“留有痕跡”

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)思考方面明確地提出了：在解決問(wèn)題的過(guò)程中能進(jìn)行簡(jiǎn)單的有條理的思考。如果再適當(dāng)?shù)丶由纤伎嫉摹昂圹E”，那么會(huì)在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中呈現(xiàn)充分的思考“依據(jù)”。另外，將復(fù)雜的文字描述轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也能培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，利用圖像表征，將數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)和數(shù)學(xué)幾何直觀意識(shí)運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這樣的轉(zhuǎn)換思維模式所留下的“痕跡”是彌足珍貴的。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生在作業(yè)或試卷中保留思考的“痕跡”，并以“草稿”的形式表現(xiàn)出來(lái)。

在實(shí)際教學(xué)中，教師們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的作業(yè)答案明明是正確的，卻說(shuō)不出自己的思考過(guò)程。這是因?yàn)閷W(xué)生在寫(xiě)作業(yè)或考試時(shí)思維往往是“靈光一現(xiàn)”，隨著作業(yè)的完成或者考試的結(jié)束，這“一現(xiàn)”也就“銷聲匿跡”了。為了提升學(xué)生思維的持久性，也為了便于學(xué)生進(jìn)行回顧反思，教師應(yīng)要求學(xué)生在答題的過(guò)程中盡量寫(xiě)下一些重要的步驟、簡(jiǎn)要的過(guò)程，留下自己思考推理的“痕跡”。

【案例】在分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)中，由于單位“1”的變化，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解最容易出錯(cuò)，因此在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生在遇到這樣的題目時(shí)，要先標(biāo)注單位“1”，再寫(xiě)下具體的份數(shù)，然后再分析數(shù)量之間的關(guān)系，最后推理結(jié)果（如圖4）。

這樣的題目學(xué)生能全做對(duì)的很少，有些學(xué)生看到題目里的幾個(gè)量顛來(lái)倒去就已經(jīng)迷糊，接下來(lái)就只能靠運(yùn)氣了。通過(guò)這樣的方法引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量之間的關(guān)系，寫(xiě)出一些簡(jiǎn)要的過(guò)程，留下自己推理的“痕跡”，既能加深理解，也能為日后的回顧留下“依據(jù)”。

此外，在教授完《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》后，學(xué)生都知道“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是指：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變?？墒窃谧鲱}目時(shí)，一旦題目出現(xiàn)“分子增加幾”，他們也想當(dāng)然地認(rèn)為“分母也增加幾”。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生用草稿的形式將自己的思考過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。（如圖5）

俗話說(shuō)：“好記性不如爛筆頭?！痹谏鲜鰞蓚€(gè)案例中，學(xué)生可以通過(guò)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的思考過(guò)程，將需要記憶的或思考的內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)，以減少學(xué)生在腦中進(jìn)行信息加工的時(shí)間，提高效率。同時(shí)，留下推理的“痕跡”也有利于學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)迅速喚醒思維，提升學(xué)習(xí)力。

四、思維導(dǎo)圖，讓每一次學(xué)習(xí)能力都生長(zhǎng)提升

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，具有嚴(yán)密性和系統(tǒng)性的特點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生將平時(shí)所學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行分類，形成知識(shí)網(wǎng)，延續(xù)學(xué)生的思維過(guò)程。同時(shí)還要將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較、分析，從而達(dá)到“學(xué)一點(diǎn)懂一片，學(xué)一片會(huì)一面”的目的，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，舉一反三、觸類旁通，提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維。

【案例】在新授之前，教師要求學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上，將所學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)以思維導(dǎo)圖的形式整理出來(lái)，在授課結(jié)束后，再進(jìn)行補(bǔ)充、完善。同時(shí)教師還把學(xué)生中一些比較好的思維導(dǎo)圖在全班學(xué)生面前進(jìn)行展示。（圖略）

不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)中一些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)是枯燥乏味的，但像上述案例中思維導(dǎo)圖的應(yīng)用不僅可以有效提高學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的效率，還可以發(fā)展學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甚至還有利于營(yíng)造輕松和諧的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓課堂變得更加精彩。巧妙地運(yùn)用思維導(dǎo)圖，會(huì)讓學(xué)生逐漸愛(ài)上數(shù)學(xué)課，主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

立足生本，從來(lái)都不能只是一句口號(hào)。教師要通過(guò)探尋學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中留下的思考“痕跡”，在“證據(jù)”中探尋學(xué)生的思維發(fā)展歷程，把握思維生長(zhǎng)本質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的進(jìn)階。這是當(dāng)下主流教學(xué)理念的一種繼承與創(chuàng)新，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。