蘭美輝，高 煒

(1.曲靖師范學院 信息工程學院，云南 曲靖 655011；2.云南師范大學 信息學院，云南 昆明 650500)

在理論化學中，分子圖的拓撲指數(shù)計算一直是研究的熱點問題之一[1-6]．近年來，拓撲指數(shù)的概念被推廣到模糊圖中，并在理論和應(yīng)用上取得了一定進展．而所謂模糊圖就是將模糊數(shù)據(jù)用圖結(jié)構(gòu)表示而得到．具體而言，就是在圖中每個頂點附加一個隸屬度函數(shù)值來刻畫其頂點某種模糊特征．此外，每條邊上也給出一個模糊二元關(guān)系值來刻畫邊兩端頂點之間的模糊關(guān)系．在化學圖論中，當分子結(jié)構(gòu)用圖表示后，則頂點和邊的模糊值分別刻畫原子和對應(yīng)原子鍵的某些模糊特征．

用∧和∨表示最小和最大操作． 模糊圖可以用G=(V,σ,μ)表示， 其中V是頂點集，σ是V上的隸屬度函數(shù)，μ是V×V上的二元隸屬度函數(shù)，σ和μ的取值都在0和1之間． 對任意x,z∈V都有μ(x,z)≤σ(x)∧σ(z)成立． 另外， 如果xz在原圖中不是一條邊， 則μ(x,z)=0． 對于雙極模糊圖， 是將隸屬度函數(shù)換成刻畫正負模糊程度的雙極隸屬度函數(shù)． 具體地說， 雙極模糊圖用G=(V,σP,σN,μP,μN)來表示， 其中σP:V→[0, 1]是V上的正極隸屬度函數(shù)，σN:V→[-1, 0]是V上的負極隸屬度函數(shù)，μP:V×V→[0, 1]是V×V上的二元正極隸屬度函數(shù)，μN:V×V→[-1, 0]是V×V上的二元負極隸屬度函數(shù)． 對任意x,z∈V都有μP(x,z)≤σP(x)∧σP(z)和μN(x,z)≥σN(x)∨σN(z)成立． 另外， 如果xz在原圖中不是一條邊， 則μP(x,z)=μN(x,z)=0．

1 雙極模糊圖上概念的擴展

θP(x,z)={ηP∈(0, 1]|存在x,z之間的一條圈， 其正強度等于ηP}；

θN(x,z)={ηN∈[-1, 0)|存在x,z之間的一個圈， 其負強度等于ηN}．

雙極模糊圖的圈連通指數(shù)定義為：

雙極模糊圖的平均圈連通指數(shù)定義為：

ACCI(G)=(ACCIP(G),ACCIN(G))

由定義直接可以得到0≤ACCIP(G)≤1和-1≤ACCIN(G)≤0． 設(shè)x是雙極模糊圖的頂點， 若ACCIP(G)ACCIN(G-x)， 則x稱為圈連通增強頂點； 若ACCIP(G)=ACCIP(G-x)且ACCIN(G)=ACCIN(G-x)， 則x稱為圈連通中性頂點； 若ACCIP(G)>ACCIP(G-x)且ACCIN(G)

2 擴展的性質(zhì)

本節(jié)我們根據(jù)文獻[1]給出的一般模糊圖圈連通指數(shù)的特征， 得到對應(yīng)的雙極模糊圖圈連通指數(shù)的性質(zhì)． 這些結(jié)果的證明可以通過模仿文獻[1]的證明思路和方法得到， 此處不再給出具體證明過程， 直接列出結(jié)果．

設(shè)H是雙極模糊圖G的部分模糊子圖． 一般來說，CCIP(H)≤CCIP(G)和CCIN(H)≥CCIN(G)不一定成立． 但對于特殊雙極模糊圖， 有如下結(jié)果．

性質(zhì)2.3若H是正強雙極模糊圖G的部分模糊子圖， 則CCIP(H)≤CCIP(G)； 若H是負強雙極模糊圖G的部分模糊子圖， 則CCIN(H)≥CCIN(G)．

性質(zhì)2.4CCIP(G)=0當且僅當G是正雙極模糊樹；CCIN(G)=0當且僅當G是負雙極模糊樹．

性質(zhì)2.5若x是正圈割點， 則CCIP(G-x)CCIN(G)．

性質(zhì)2.6同構(gòu)的雙極模糊圖有相同的圈連通指數(shù)．

性質(zhì)2.7設(shè)雙極模糊圖G=(V,σP,σN,μP,μN)是塊， 且對每個頂點x有σP(x)=1和σN(x)=-1． 設(shè)AP和AN分別是正α-強邊集合和負α-強邊集合． 則有

3 小結(jié)

模糊數(shù)學是刻畫和處理不確定性數(shù)據(jù)的工具， 而模糊圖則用來描述結(jié)構(gòu)化不確定性數(shù)據(jù)． 分子圖是用圖模型來刻畫化合物的分子結(jié)構(gòu)， 而當分子結(jié)構(gòu)中存在某種不確定性時， 該分子圖即可表示為模糊圖． 因此， 本文通過對負極隸屬度函數(shù)和負極圈連通性的定義， 將圈連通指數(shù)擴展到雙極模糊圖， 并將原有單極模糊圖上的理論結(jié)果擴展到對應(yīng)的雙極模糊圖． `