文｜金群英

小學(xué)生在認(rèn)識數(shù)量關(guān)系的過程中，從“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)換到“代數(shù)思維”是一個質(zhì)的飛躍。用代數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問題，往往簡單便捷，不但能使復(fù)雜問題簡單化，還可使數(shù)學(xué)更貼近生活實際，體現(xiàn)其實用的特點，同時有利于加強中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。在小學(xué)階段，教師應(yīng)盡早有意識地根據(jù)教材內(nèi)容讓學(xué)生接觸一些簡單的代數(shù)知識，逐步引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時多運用代數(shù)的思維方式。這樣不但對算術(shù)方法能夠起到一定的鞏固和加深作用，提升學(xué)生解決實際問題的能力，而且還對發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力起到一定的促進(jìn)作用。人教版五年級上冊的簡易方程單元，是學(xué)生在小學(xué)階段正式學(xué)習(xí)代數(shù)知識的單元，根據(jù)多年一線教學(xué)的經(jīng)驗，筆者認(rèn)為在實際教學(xué)中，可以從以下四個方面滲透代數(shù)知識，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維能力。

一、領(lǐng)會數(shù)與式的相等關(guān)系，為代數(shù)思維做鋪墊

學(xué)生在還沒有形成代數(shù)思維時一直認(rèn)為：算式就是算式，數(shù)字就是數(shù)字，凡是列出的算式就是要算出結(jié)果的，一定是有一個得數(shù)的。但實際上一個字母、一個式子或含有字母的式子都是可以用來表示一個數(shù)量的。

例如：有40 個餃子，如果每盤裝10 個，可以裝幾盤？

用40÷10=4（盤）來解答，結(jié)果是4 盤，這就是學(xué)生認(rèn)為的正確答案。如果僅用式子“40÷10”來表示盤數(shù)，學(xué)生一定會認(rèn)為是錯的，因為還沒有算出具體的得數(shù)。學(xué)生的潛意識中認(rèn)為一個算式與一個數(shù)字是不一樣的，并沒有去思考算式和得數(shù)之間的關(guān)系。受思維定勢影響，學(xué)生在初步學(xué)習(xí)代數(shù)的知識時，對類似“有m 個餃子，如果每盤裝10 個，可以裝m÷10 盤”這樣的題中，用m÷10表示一個數(shù)量，覺得難以理解和接受。教學(xué)中經(jīng)常碰到學(xué)生疑惑地問：m÷10 是表示幾呢？這說明學(xué)生一下子還不能接受用一個式子來表示一個數(shù)的思維方式。因此，在前期學(xué)生尚未學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的相關(guān)知識時，教師就需要根據(jù)教材內(nèi)容逐步有意識地去建立“一個式子也能表示一個數(shù)”的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到式子和數(shù)之間的相等關(guān)系，一個算式經(jīng)過計算后就能得到一個數(shù)，算式實際就是數(shù)的另一種形式，數(shù)和算式是相等的。

例如：簡便計算57×101。

在計算這道題目時，把101拆成了一個算式：100+1，這個算式其實就是數(shù)字101 的另一種形式。教學(xué)過程中有意識地去強調(diào)數(shù)和算式之間的相等關(guān)系，可以促進(jìn)學(xué)生理解代數(shù)式。另外，在解決實際問題時，為了暴露學(xué)生的思維過程和方式，在開始時采用分步列式的書寫格式，也有利于學(xué)生建立“一個算式”就是“一個數(shù)”的認(rèn)識，最后得到一個綜合算式。

例如：1 公頃松柏林每天分泌殺菌素30 千克，24.5 公頃松柏林31 天分泌殺菌素多少千克？

先讓學(xué)生分步列式24.5×30=735（千克），735×31=22 785（千克），然后指出這里的735 就是24.5×30 得到的，將735 改為24.5×30，得到一個綜合算式24.5×30×31=22 785（千克）。當(dāng)學(xué)生真正意識到算式也能表示數(shù)量的時候，他們就可以直接用算式來代替數(shù)量，從而列出綜合算式解決問題了，同時也促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。

二、滲透方程思維方式，為代數(shù)思維打基礎(chǔ)

算術(shù)思維方式和代數(shù)思維方式之間并不是互相割裂、獨立存在的，算術(shù)思維是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，代數(shù)思維是算術(shù)思維的發(fā)展。這兩種思維方式是緊密聯(lián)系，互相依存的。但是在小學(xué)階段學(xué)生還沒有正式系統(tǒng)地學(xué)習(xí)方程知識之前，學(xué)生還只會用算術(shù)思維方式去解決數(shù)學(xué)問題，尚未真正接觸和理解代數(shù)思維方式。在前期的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)接受并習(xí)慣了使用算術(shù)方法去思考、解決碰到的數(shù)學(xué)問題，形成了思維定勢。在這種情況下，要一下子讓學(xué)生采用代數(shù)的思維方式去思考數(shù)學(xué)問題，他們就會覺得既麻煩又不習(xí)慣，接受起來有一個過程。基于這種情況，在小學(xué)低段和中段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就應(yīng)該有意識地滲透一些代數(shù)的思維方式，為高段方程的教學(xué)做鋪墊。比如，四則運算中的等號往往被小學(xué)生當(dāng)作是計算的標(biāo)志，在學(xué)生作業(yè)中會出現(xiàn)類似16÷4＝4×6＝24 的錯誤。筆者認(rèn)為，遇到這種情況，教師要讓學(xué)生正確認(rèn)識到等號實際上就是前后相等的標(biāo)志，即：16÷4 和4之間是相等的關(guān)系，但16÷4 和4×6 之間卻是不相等的，正確書寫應(yīng)該是：16÷4×6＝24。這樣就讓學(xué)生再次理解了等式的意義，也為后續(xù)學(xué)習(xí)方程做了鋪墊。當(dāng)教材中出現(xiàn)例如（）+7=12、3×（）=24、（）-7=15 這樣的算式，可以有意識地滲透用字母表示數(shù)，也可以滲透一些方程的知識。教學(xué)中遇到這樣的題型，教師可以抓住機會提前對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生意識到：未知的數(shù)也是可以和已知的數(shù)一起參加列式的。在這類問題的理解討論過程中，雖然沒有出現(xiàn)“等式”“方程”這樣的詞，但讓學(xué)生提前接觸、感受了代數(shù)的思維方式。

三、溝通算術(shù)與方程的聯(lián)系，為代數(shù)思維搭橋梁

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布之前，在小學(xué)五年級解簡易方程的教學(xué)中，方程是根據(jù)四則運算中各部分間的關(guān)系變形的。實際上用這樣的思維方式來求未知數(shù)，還是借助了算術(shù)的思路，利用了學(xué)生已有的知識，學(xué)生容易理解接受，書寫過程也簡單，因而計算的正確率也高。筆者根據(jù)多年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)在每次測試中，計算題類型里正確率最高的就是解方程。大多數(shù)的期末測試該題型得分率是100%。但這樣的解題方式，與中學(xué)的代數(shù)教學(xué)并不能很好地銜接，到了七年級，學(xué)生還是要重新學(xué)習(xí)用等式的基本性質(zhì)來理解方程和解方程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布后，在方程的教學(xué)中，教材就安排了直接認(rèn)識等式的基本性質(zhì)，并運用等式的基本性質(zhì)來理解方程并解方程，從而規(guī)避了上述弊端。

筆者在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)存在這樣的幾個問題：

1.天平平衡的原理學(xué)生是能理解的，但如果因此就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)深刻理解了等式的性質(zhì)并能在一兩節(jié)課內(nèi)就正確熟練運用等式的性質(zhì)解各種類型的方程，那是高估了學(xué)生的認(rèn)知水平了。

2.根據(jù)等式的性質(zhì)來解方程，書寫格式復(fù)雜、等式忽長忽短、對齊困難，還出現(xiàn)了更多的抄寫、計算錯誤。根據(jù)教材要求熟練后可簡寫過程，又不利于暴露思考過程，正確率不高。

3.對于a-x=b 和a÷x=b 一類的方程，人教版在前一版本教材中刻意作了回避，但實際在用方程解決問題時，未知數(shù)不可避免地會出現(xiàn)在減數(shù)、除數(shù)的位置上?；乇芰薬－x=b 或a÷x=b 類型的方程，會影響學(xué)生對方程解題優(yōu)越性的認(rèn)識，也會使學(xué)生運用性質(zhì)的能力受挫。還會出現(xiàn)在用方程解決問題時，找到了等量關(guān)系，并據(jù)此列出了正確的方程，卻無法解此類方程，直接影響了學(xué)生運用方程解題的信心。2013 版人教版教材對這兩個類型的題目教學(xué)作出了調(diào)整，雖沒有回避，但例題呈現(xiàn)的用等式的性質(zhì)來求解的解法繁雜、書寫步驟太多，相當(dāng)一部分學(xué)生對解這類方程在需要方程左右兩邊同時去掉相同的未知數(shù)時經(jīng)常判斷失誤，加之書本對該類型方程的練習(xí)量也安排不足，造成計算正確率低下，部分學(xué)生由此對解方程以及列方程解決問題產(chǎn)生畏難情緒。

4.等式基本性質(zhì)中的相等關(guān)系的對稱性，即a=b 則b=a。關(guān)于這個知識點，教材中沒有安排內(nèi)容進(jìn)行鋪墊、滲透，當(dāng)學(xué)生在列方程解決問題時，列出了等號右邊出現(xiàn)x 的方程時，無從下手，影響了學(xué)生解方程的技能。

筆者認(rèn)為教學(xué)中出現(xiàn)的問題，并不是運用代數(shù)思路解方程造成的，運用等式的性質(zhì)解方程的方向肯定是正確的。在小學(xué)階段接觸和學(xué)習(xí)一些代數(shù)知識，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決實際問題的能力都有很大的幫助，也為學(xué)生初中階段的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的實際學(xué)情，靈活運用教材，畢竟對于用算術(shù)方法解方程，學(xué)生是有一定基礎(chǔ)的。比如低年級的學(xué)生就已經(jīng)會算如15-（ ）=7和15÷（ ）=3 之類的題目了，到五年級學(xué)簡易方程就沒有必要刻意回避了，解答a－x=b 和a÷x=b類型的方程，用算術(shù)方法理解又何妨？而且對于這兩個類型的題目，用算術(shù)方法去解比用等式的性質(zhì)去解更易于理解，書寫格式清楚，計算正確率更高。何況算術(shù)方法和代數(shù)方法本就是相通的，教學(xué)中只需溝通兩種思路，找到相同的地方即可。如解方程x－26＝15，學(xué)生自己做出了x＝15＋26，在學(xué)生理解了x－26＋26＝15＋26 之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生去尋找兩種方法的相同點，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)實際上方程左邊的－26＋26 抵消了，就剩下x＝15+26，這兩種方法確實是相通的。同理，對于其他幾種類型方程的求解過程，也可以進(jìn)行解法上的溝通。（這樣，借助等式的性質(zhì)，使學(xué)生對用各部分關(guān)系解方程有更深入的理解，不需要背關(guān)系式來解方程。還能讓學(xué)生體會到算術(shù)方法和代數(shù)之間的聯(lián)系）這樣處理后，不僅能把等式的基本性質(zhì)及運用等式的基本性質(zhì)解方程的代數(shù)思想潛移默化地滲透給學(xué)生，還強化了學(xué)生對用算術(shù)方法解方程的認(rèn)知。

四、體驗順向思維方式，為代數(shù)思維導(dǎo)方向

筆者在學(xué)生時代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時深有體會的是：學(xué)了代數(shù)，就覺得數(shù)學(xué)其實很簡單有趣，其中的奧妙就在于思維方式的變化。小學(xué)一直比較強調(diào)突出的是用算術(shù)方法解題，而到了中學(xué)則側(cè)重用代數(shù)方法思考問題。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)題，有時確實可以考倒大學(xué)生，主要倒不是題目難度高，而是要求用算術(shù)方法去解較復(fù)雜的逆向問題，推理列式是比較困難的。可見這些復(fù)雜的逆向思維題目對小學(xué)生來說要求是高了些，所以有一部分學(xué)生在小學(xué)階段對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏難情緒。但是很多逆向思考的題目，一旦采用了方程的方法來解答，數(shù)量關(guān)系就清晰明了了，理解也就不困難了。

例如：雞和兔的數(shù)量相同，兩種動物的腿加起來共有48 條。雞和兔各有多少只？

如果不用代數(shù)的思想去思考，也不用方程的方式去解答，那推理起來就復(fù)雜困難多了，可是用方程的方法來解就簡單了。我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊教授說：“四則難題用代數(shù)取而代之，這是完全正確的，對于數(shù)學(xué)教育是非常重要的?！币虼耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要突出列方程解決問題的優(yōu)越性，強化代數(shù)思維方式的訓(xùn)練。

根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，在小學(xué)階段對于代數(shù)思維方式的教學(xué)要求并不高，但這種思維方式是學(xué)生數(shù)學(xué)思維中不可或缺的，到中學(xué)階段它還將成為主要的思維方式。代數(shù)思維不僅為學(xué)生解決實際問題提供了不同的解題策略，還有利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展，更能幫助學(xué)生解決用算術(shù)方法難以解決的問題。作為教師，要從低年級就開始根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的接受能力，逐步有意識地去滲透代數(shù)思維方式，使學(xué)生能提前接觸這種思維方式直至真正接受并最終在解決實際問題時靈活應(yīng)用。