文｜管天霞

【教學內容】

人教版六年級下冊《用比例解決問題》。

【教學過程】

一、預學查異——創(chuàng)設情境，喚醒原型

師：同學們，我們已經(jīng)學習了哪兩種比例？

生：正比例和反比例。

師：怎樣用字母表示正比例關系和反比例關系？

師：說得真好。那老師要考考你們的運用能力了。

1.判斷下面兩種相關聯(lián)的量成什么比例？

（1）速度一定，路程和時間成（ ）比例。

（2）工作總量一定，工作效率和工作時間成（ ）比例。

（3）訂閱《××報》，訂閱數(shù)量和訂閱總價成（ ）比例。

（4）一輛汽車從甲地駛入乙地，行駛速度和時間成（ ）比例。

生：第一題，速度一定，路程和時間成正比例。路程和時間是兩種相關聯(lián)的量，路程÷時間＝速度（一定），所以路程和時間成正比例。

生：第二題，工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。工作效率和工作時間是兩種相關聯(lián)的量，工作效率×工作時間＝工作總量（一定），所以工作效率和工作時間成反比例。

生：第三題，單價一定，總價和數(shù)量成正比例?？們r和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，總價÷數(shù)量＝單價（一定），所以總價和數(shù)量成正比例。

師：老師有個疑問，題目中沒有告訴我們單價一定??？

生：訂閱的《××報》是同一種報刊，單價是一定的。

師：你的觀察真仔細，還能積極思考。第四題？

生：路程一定，速度和時間成反比例。速度和時間是兩種相關聯(lián)的量，速度×時間＝路程（一定），所以速度和時間成反比例。

師：為什么路程是一定的呢？

生：甲地到乙地的路程是不會變的。

師：看來你們的基礎很扎實！那學習了正、反比例有什么用呢？

生：解決問題。

師：我們學習知識就是為了解決問題，那如何運用正、反比例的知識去解決生活中的問題呢？我們今天這節(jié)課就來研究用比例的知識解決實際問題。

【設計意圖：用比例解決實際問題的認知前提就是要會判斷兩個量是否成正比例或反比例。通過給定三個量，其中一個量一定，判斷另兩個量是否成正比例或反比例的練習，喚醒學生已有的模型：正比例關系：（一定）；反比例關系：xy=k（一定），激活學生已有認知和經(jīng)驗。在題目的設計上，前兩題直接告知學生一個量已經(jīng)一定，學生可以很快地找到三個量的關系進而判斷；后兩題并沒有直接告知哪個量一定，不變的量隱藏在條件中，教師通過追問幫助學困生理解和明白，為每一個學生在后續(xù)的學習中打下堅實的基礎。】

二、初學適異——自主嘗試，建設模型

1.出示例1：小明買6 本筆記本用了30 元，小剛想買4 本同樣的筆記本，要用多少錢？

師：先思考以下三個問題，在小組里交流結果，小組長匯總成員結論，并記錄在《學習卡》上。

討論：（1）這道題中涉及哪三種量？（2）哪個量是一定的？（3）兩個變量成什么比例關系？

師：哪個小組長來匯報你們組的結論？

生：題中涉及總價、數(shù)量和單價三種量。單價一定，總價和數(shù)量成正比例。

［板貼：總價÷數(shù)量＝單價（一定）］

師：現(xiàn)在你能用比例的知識解決這道題目嗎？

出示差異要求：（1）直接列比例解答；（2）有困難的可以向老師示意，求助智慧錦囊；（3）完成后請思考：這樣列式的理由是什么？

智慧錦囊：（1）判斷比例：___是一定的，所以___與___成___比例關系；（2）數(shù)量關系：小明總價∶數(shù)量＝小剛總價∶數(shù)量；（3）根據(jù)數(shù)量關系列出比例方程。

2.學生獨立完成。

（學生嘗試寫出算式并解答，教師巡視觀察，指導有困難的學生，并及時送上智慧錦囊）

【設計意圖：建構主義認為，學習是學生自己建構知識的過程。知識與技能不應該是被動接受，而應是一種學生能夠自己嘗試探究、領悟和發(fā)現(xiàn)的。教師應當放手讓學生自主嘗試學習，讓學生在動手、動腦中嘗試解決問題，這樣學生構建的數(shù)學模型才深刻，不容易被遺忘。用正、反比例的知識列方程解決實際問題是這節(jié)課的新授內容，學生已有的認知經(jīng)驗是學過比例后，用比例的知識列方程解決實際問題。如果直接放手讓學生自主嘗試解決會有很大難度，大部分學生不會想到用正比例的知識列比例方程解決問題。鑒于此，在例題的選擇上進行了改變，呈現(xiàn)的三個量是學生所熟悉的，因為這節(jié)課的重點是用正、反比例的知識解決問題，如果在判斷正、反比例上設置難度，會阻礙部分學生建立本節(jié)課的模型；教師通過三個問題驅動，讓學生在小組中討論，在交流中，學生的思維得到了碰撞，學優(yōu)生幫助學困生理解，初步建立解決這類問題的一些步驟和方法。通過這樣的處理，學生有了一定的認知基礎，這時教師放手讓學生獨立自主嘗試解決，并提出差異要求。差異要求中對于潛能生、學困生可以向教師示意，教師給予智慧錦囊?guī)椭粚τ趦?yōu)等生提出了思考這樣解答的依據(jù)的要求，其目的在于提高他們對思路的表述和整理能力。此時每位學生都在經(jīng)歷自我感受模型，自我建設模型，完整經(jīng)歷思考、分析和解答問題的過程，也為后面優(yōu)化模型打下了堅實的基礎?！?/p>

三、研學導異——抽象本質，優(yōu)化模型

1.提煉新模型。

（1）師生交流，提煉模型。

師：誰來匯報你的算式？

生：解1：設要用x 元，30∶6＝x∶4。

生：解2：設要用x 元，6∶30＝4∶x。

師：為什么可以列成這樣的等式？每個比值的意義是什么？

生：解1 比值表示單價，單價一定，比值相等，所以我們列出了這樣的等式。

生：解2 比值表示1 元可以買幾本筆記本。

師：我們平時不這樣說，所以結合這道題的情境，哪種比例更合理？

生：第一種。

師：（擦掉第二種）這個問題我們用正比例的知識解決了，你有什么方法檢驗自己的答案是否正確呢？同桌交流。

生：將結果代入原題來檢驗。

師：老師相信你們肯定還有其他的檢驗方法，那你們都檢驗對了嗎？（舉手大面積反饋正確率）你們能談一談解決這類問題的方法嗎？（小組交流）

生：①找出題目中相關聯(lián)的量；②判斷題目中兩種相關聯(lián)的量是哪種比例關系；③設未知量為x；④列出方程；⑤解答；⑥檢驗后寫出答案；⑦答句完整。

【設計意圖：數(shù)學家波利亞指出：“對一個特例之所以要進行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法或模式?！痹谧灾鲊L試學習后，學生初建的模型各有差異，我們通過小組交流和集體交流，在交流的過程中，層次不同的學生在互換思想、相互激發(fā)的基礎上，加深對自建和他建模型的理解和完善，從而突破這節(jié)課的教學難點。教師在學生的交流中聆聽，適時指導并關注學困生的學習?！?/p>

（2）學生自主嘗試解決例2。

出示例2：一輛汽車從甲地開往乙地，如果每小時行駛80 千米，需要行駛9 小時；如果每小時行駛90 千米，需要行駛幾小時？

師：誰來匯報你們的算式？

生：解：設需要x 小時，80×9＝90x。

師：這里為什么列成乘積相等的算式解答？

生：路程一定，速度和時間成反比例。

師：乘積表示的意義是什么？

生：路程。路程一定，所以乘積就相等。

師：通過解決這個問題，我們又了解到了用反比例的知識也能幫助解決生活中的實際問題。

2.對比練習，固化模型。

師：那接下來的題目老師不但要求你們寫得對，還要求你們寫得快，有信心嗎？

生：有。

師：獨立思考，用比例的知識列式不計算。

（1）張大媽家上個月用了8噸水，水費是12.8 元；李奶奶家用了10 噸水，李奶奶家上個月的水費是x 元。

（2）一個辦公樓原來平均每天照明用電100 千瓦時，改用節(jié)能燈以后，平均每天只用電25 千瓦時。原來5 天的用電量現(xiàn)在可以用x 天。

師：誰來匯報？

生：12.8∶8＝x∶10。

生：100×5＝25x。

師：正確的舉手。

師：用比例解決實際問題的關鍵是能正確找出題中的兩種相關聯(lián)的量，判斷它們成哪種比例關系，然后根據(jù)正反比例的意義列式解答。

【設計意圖：通過今天所學的用正比例和反比例的知識解決實際問題的對比，讓學生明白解決此類問題的相同點是要先判斷哪個量一定，另兩個量成什么比例，都要列出比例方程；而不同點在于正比例關系的比例方程的等量關系是比的比值一定，反比例關系的比例方程的等量關系是乘積一定。不同之中又有相同之處，解決這類問題都要列比例方程解決。通過這樣的對比設計，使學生初步認識到用比例解決實際問題的結構特點，加深對等量關系的理解，初步掌握解題方法，在原有數(shù)學模型的基礎上初步建立本節(jié)課的數(shù)學模型?！?/p>

3.新舊對比，提煉模型結構。

出示：甲乙兩車從相距272千米的兩地同時相向而行，3 小時后兩車還相距17 千米。甲每小時行駛45 千米，乙每小時行駛多少千米？

師：你們是怎么想的？

生：解：設乙每小時行駛x千米，45×3＋3x＋17＝272。我是這樣想的：甲的路程＋乙的路程＋相距的路程＝總路程。

師：說得真好。還有其他不同的想法嗎？

生：解：設乙每小時行駛x千米，（45＋x）×3＋17＝272。我是這樣想的：甲、乙行駛的路程＋相距的路程＝總路程。

師：真厲害。你們都寫對了嗎？（大面積反饋正確率，對做錯的學生糾錯）

師：這題我們是通過設未知量為x 來解決的，前面幾題也是通過設未知量為x 來解決的，那在解法上有什么不一樣的地方呢？

師：這道題是用比例的知識解決的嗎？

生：不是。是我們以前學過的列方程解決實際問題。

師：我們以前學解方程的一般步驟是什么？

生：①找出題目中的等量關系；②設未知量為x；③列出方程；④解答；⑤檢驗后寫出答案；⑥答句完整。

師：而用比例的知識解題時，第一步找的是兩種相關聯(lián)的量，然后判斷它們的關系，這兩步老師可以合并為一句，那就是找出題中的正或反比例關系。雖然這幾道題我們都是設未知量解決的，但我們依據(jù)的關系卻不一樣，所以我們設未知量解題時，一定要認真分析題目，選擇恰當?shù)年P系來解答。

【設計意圖：通過以前所學習的列方程解決實際問題的練習，在交流中讓學生深刻地體會到此題的模型和今天所構建的模型的本質區(qū)別。通過和例題的對比，學生明白了雖然都是用列方程解決實際問題，但在尋找等量關系時卻有本質的區(qū)別，用比例解決實際問題要先判斷是否有一個量一定，另兩個量成什么比例，這是以前列方程解決實際問題的步驟所不需要的。這樣對比設計使今天的數(shù)學模型定型，并能讓所有學生認識到建模成功?！?/p>

4.變式練習，優(yōu)化模型。

出示：某加工廠做一批零件，計劃每天加工200 個，20 天可以完成；但實際每天多加工50 個，需幾天完成？（用比例解答）

師：你們是怎么解答的？為什么這樣解答？

生：解：設需要x 天完成，（200＋50）x＝200×20。因為工作總量一定，所以工作效率和工作時間成反比例。

師：這題和開始的幾題又有什么不一樣的地方？

生：之前的題目，兩組相關聯(lián)的量中只有一個量是未知的，而這道題中有兩個量是未知的，我們需要先求出一個未知量。

師：老師發(fā)現(xiàn)你們的思維真敏捷，復雜的比例問題都難倒不了你們。

四、拓學展異——深化運用，衍生模型

1.出示題目。（部分題略）

必做題：工程隊修一條水渠，如果每天工作6 小時，12 天可以完成。如果每天工作8 小時，多少天可以完成任務？（用比例解）

選做題：（★★★）請在“數(shù)學超市”中選購條件編一道比例應用題：（1）計劃每天生產(chǎn)30 輛；（2）實際每天生產(chǎn)40 輛；（3）計劃25 天完成；（4）實際20 天完成；（5）計劃一共生產(chǎn)了900 輛；（6）實際一共生產(chǎn)了1000 輛。

2.交流必做題。（選做題交流略）

指名匯報，大面積反饋。（關注寫錯的學生）

師：你是怎樣列式的？

生：12×6＝8x。

3.課堂總結。

師：今天這節(jié)課你有什么收獲？用比例的知識解決問題的關鍵是什么？解題的步驟是什么？

師：通過今天的學習，在今后的解題過程中你們又多了一種可選擇的方法。

【設計意圖：從照顧學生差異角度來看，在此環(huán)節(jié)為學生提供了必做題（保底）和選做題（展異）。必做題面向全體，是要求所有學生必須掌握的，通過大面積及時反饋了解學生運用“?！钡哪芰Α＿x做題的設計依然立足兒童，讓每位學生都能有選擇挑戰(zhàn)的機會，通過自主選擇完成以及大面積及時反饋了解學生衍生“?！钡哪芰Ατ谌穷}，我們采用同質互查的方式，讓思維層次相近的學生在課后一起交流、一起思維互動，實現(xiàn)共同提升的目的?！?/p>