江蘇省無錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 華燕萍

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，在于培養(yǎng)學(xué)生的兩種能力：算數(shù)學(xué)（計(jì)算、推導(dǎo)、證明等）能力和用數(shù)學(xué)（分析、解決實(shí)際問題）能力。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重前者，忽視后者，然而科技發(fā)展的需求使后者的重要性日益凸顯。數(shù)學(xué)建模過程是實(shí)際問題→建立數(shù)學(xué)模型→求解數(shù)學(xué)模型→根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果解決實(shí)際問題，因此提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就是在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的能力。

教材通常以應(yīng)用題為載體鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。應(yīng)用題題目長(zhǎng)，信息量大，加大學(xué)生的審題難度，使學(xué)生容易心理緊張。如何快速梳理和提取信息，建立數(shù)學(xué)模型是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的關(guān)鍵所在。此外，數(shù)學(xué)模型種類多，如函數(shù)模型、三角形模型、數(shù)列模型等，學(xué)生難以迅速找到合適的解模方法。因此，如何快速找到恰當(dāng)方法解模，也是值得研究和解決的問題。

一、理論基礎(chǔ)

心理學(xué)家佩維奧提出雙重編碼理論，他認(rèn)為人的記憶中有表象編碼和言語編碼兩種明顯不同的編碼形式。抽象材料只有言語編碼，而形象材料則既有言語編碼，又有表象編碼，即有兩重記憶痕跡。兩重記憶痕跡不但可以延長(zhǎng)記憶，而且更不容易遺忘，尤其是在表象系統(tǒng)中的痕跡。佩維奧在實(shí)驗(yàn)和教學(xué)中也證實(shí)了有豐富形象的材料比純抽象材料容易記憶。由此得出結(jié)論，運(yùn)用圖示、列表等方法將不可見的思考方法或路徑進(jìn)行清晰的呈現(xiàn)（思維可視化），可以加快學(xué)生理解和吸收應(yīng)用題的大量信息，幫助學(xué)生快速建模和解模，從而啟發(fā)我們找到提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的突破口，即可視化學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)教材在很多章節(jié)的章首創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，在章尾設(shè)置應(yīng)用題，體現(xiàn)本章知識(shí)內(nèi)容“為解決問題而生”。通常情況下，每個(gè)章節(jié)在章尾僅有1到2節(jié)應(yīng)用題課，同時(shí)，高三復(fù)習(xí)應(yīng)用題專題的課時(shí)不多，所以教師有較充裕的時(shí)間來精心設(shè)計(jì)和批閱講評(píng)數(shù)學(xué)建模的可視化作業(yè)，學(xué)生可視化答題也不會(huì)過多加大學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)。因此，做數(shù)學(xué)建模的可視化作業(yè)是一種切實(shí)可行的學(xué)習(xí)手段，讓學(xué)生和教師都有意識(shí)地關(guān)注思維過程，學(xué)生可以了解如何利用數(shù)學(xué)理論和方法分析及解決問題，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師也可以明白學(xué)生思考的全過程。

二、實(shí)施過程

基于上述理解，我們將可視化作業(yè)設(shè)計(jì)和實(shí)施流程定為：

（一）課前準(zhǔn)備

集體備課，明確該章節(jié)的重難點(diǎn)以及在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用，以該章內(nèi)容為載體精選題目。

（二）作業(yè)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)應(yīng)用題可視化作業(yè)。應(yīng)用題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效載體，其解決過程如下圖：

應(yīng)用題題目長(zhǎng)，信息量大，如何審題、快速梳理并提取關(guān)鍵信息至關(guān)重要，所以在這一步上可以簡(jiǎn)要啟發(fā)或要求學(xué)生將審題過程和建立數(shù)量關(guān)系可視化，如審題時(shí)，要求學(xué)生畫出關(guān)鍵數(shù)據(jù)；啟發(fā)學(xué)生如何恰當(dāng)?shù)厥崂泶祟}數(shù)據(jù)較合適（通過列表、畫示意圖的方式）。

建模時(shí)，啟發(fā)學(xué)生選擇“先整體后細(xì)化局部”還是“先翻譯局部，后拼湊整體”的方式，并將此思維過程寫出來，如先整體分析目標(biāo)“利潤(rùn)=收入－成本”，后細(xì)化局部“收入來自哪幾部分？成本來自哪幾個(gè)部分？”。根據(jù)目標(biāo)快速聚焦畫出的數(shù)據(jù)，從中提取需要的數(shù)據(jù)，細(xì)化表達(dá)數(shù)學(xué)模型。啟發(fā)學(xué)生合理引元，是從代數(shù)角度設(shè)元（設(shè)斜率、點(diǎn)等）還是從幾何角度設(shè)元（設(shè)角、邊），才更易建模解模？

求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，可要求學(xué)生用流程圖說明你的解模思路。

這樣把問題和要求設(shè)置在關(guān)鍵處，便于教師明晰學(xué)生思維、診斷錯(cuò)誤。

附：《以平面圖形為背景的應(yīng)用題》可視化作業(yè)設(shè)計(jì)案例片段

【可視化解題要求】

1.審題時(shí)，畫出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，題目解完后檢查是否有數(shù)據(jù)未曾用過，并選擇列表、畫示意圖等可視化方式理解題意，提取信息。

2.建模時(shí)， 建議選用“先整體，后細(xì)化局部”或“先翻譯局部，后拼湊整體”的方式。

3.解模時(shí)，畫出解題的思維流程圖。

4.小結(jié)時(shí)，寫出方法、思想、注意點(diǎn)等，將你的收獲可視化。

你可按以上要求及題目的具體提示進(jìn)行可視化作業(yè)，也可選擇你認(rèn)為的更好的可視化方式。

……

（2017 江蘇模擬）如圖，直線l是湖岸線，O是l上一點(diǎn)，弧是以O(shè)為圓心的半圓形棧橋，C為湖岸線l上一觀景亭，現(xiàn)規(guī)劃在湖中建一小島D，同時(shí)沿線段CD和DP（點(diǎn)P在半圓形棧橋上且不與點(diǎn)A、B重合）建棧橋，考慮到美觀需要，設(shè)計(jì)方案為DP=DC，∠CDP=60°且圓弧棧橋BP在∠CDP的內(nèi)部，已知BC=2OB=2（km），設(shè)湖岸BC與直線棧橋CD、DP及圓弧棧橋BP圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為S（km2），∠BOP=θ。

（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試判斷S是否存在最大值，若存在，求出對(duì)應(yīng)的cosθ的值，若不存在，說明理由.

【建議】審題：畫出關(guān)鍵信息，并在上圖中標(biāo)出數(shù)據(jù)、畫出輔助線等。

建模：先整體S=______________

后細(xì)化局部=_________________

解模：思維流程：目標(biāo)函數(shù)是__函數(shù)，所以用_______方法求最值。

解：_________________________

小結(jié)：______________________

（三）做題過程

學(xué)生按作業(yè)紙上老師設(shè)計(jì)的要求或提示問題回答，目的在于將自己建模時(shí)梳理數(shù)據(jù)、理解題意的過程可視化，將自己解模的思維過程可視化。值得注意的是，讓學(xué)生做可視化作業(yè)前，教師在課堂教學(xué)時(shí)需要先示范，學(xué)生才能模仿操作，訓(xùn)練多次以后，每道題的可視化建議可以略寫甚至不寫，學(xué)生也可以創(chuàng)造性地寫出自己的可視化思維過程。

（四）作業(yè)批改

根據(jù)學(xué)生的作答情況，進(jìn)行批閱。批閱時(shí)，主要關(guān)注學(xué)生的思維過程，將學(xué)生的錯(cuò)誤點(diǎn)在其思維圖示上圈出來，并添上文字表述，便于學(xué)生快速找出自己的錯(cuò)誤點(diǎn)。借助智學(xué)網(wǎng)精準(zhǔn)分析，通過柱狀圖、題目分析表等將學(xué)生的答題正確率可視化，便于教師關(guān)注和梳理出學(xué)生的典型錯(cuò)誤。

（五）作業(yè)講評(píng)

作業(yè)講評(píng)可視化。將學(xué)生作業(yè)中的典型錯(cuò)誤拍照，利用無線傳屏等多媒體軟件顯示，鼓勵(lì)學(xué)生自己找錯(cuò)誤，并進(jìn)行討論、辯論，教師也可使用Desmos等操作簡(jiǎn)單的軟件使驗(yàn)證答案可視化。

（六）錯(cuò)誤鞏固

學(xué)生的錯(cuò)誤往往不是一次就能糾正到位的，可能還有一些隱性的錯(cuò)誤理解，需要再暴露再反饋，才有利于學(xué)生牢固掌握。所以利用智學(xué)網(wǎng)進(jìn)行錯(cuò)題推送，讓學(xué)生對(duì)同類型題進(jìn)行練習(xí)鞏固。根據(jù)學(xué)生的鞏固練習(xí)得分情況，分析學(xué)生的思維過程，從而對(duì)作業(yè)進(jìn)行改進(jìn)，并在此基礎(chǔ)上，改進(jìn)教學(xué)過程，并對(duì)可視化作業(yè)進(jìn)行再設(shè)計(jì)。

三、實(shí)施效果

在可視化作業(yè)實(shí)施之后，普遍收到了學(xué)生的積極反饋。學(xué)生們反映，以前審題時(shí)總是需要多讀幾遍，平時(shí)還好，但考試時(shí)越讀越急，越急越讀不進(jìn)，浪費(fèi)時(shí)間，導(dǎo)致心理焦慮；現(xiàn)在運(yùn)用畫出關(guān)鍵信息、聚焦關(guān)鍵信息的手段，明顯地縮短了審題時(shí)間，結(jié)合列表、畫示意圖等可視化手段以及“整體與局部關(guān)系”的建模方法有效地提高了建模能力和信心，極大地減輕了焦慮情緒，數(shù)學(xué)建模意識(shí)和解模能力都有所提高。因此可視化作業(yè)可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。盡管如此，可視化作業(yè)的設(shè)計(jì)與實(shí)施尚在摸索階段，還需不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高。