摘要：基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)建模教學(xué)強調(diào)“情境”與“知識”應(yīng)服務(wù)于“現(xiàn)實問題”的提出與解決。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，采取問題解決學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)理論性知識解決真實問題的過程中，通過自主學(xué)習(xí)、合作探究習(xí)得程序性知識和過程性知識，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)建模過程的整體認(rèn)識，協(xié)調(diào)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：問題解決學(xué)習(xí)? 數(shù)學(xué)建模教學(xué)? 核心素養(yǎng)

引用格式：侯寶坤.問題解決學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的實踐[J].教學(xué)與管理，2022（01）：45-47.

問題解決學(xué)習(xí)（problem-based learning，PBL）旨在解決教學(xué)與學(xué)生面臨的真實情境和復(fù)雜問題相脫節(jié)的問題[1]。PBL著意于用現(xiàn)實環(huán)境下真實的、有意義的問題，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者學(xué)會尋找隱藏于情境中的問題，學(xué)到問題背后所涉及的知識、方法，收獲問題解決的策略和學(xué)科思想，獲得用學(xué)科方法解決問題的能力。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提倡將數(shù)學(xué)問題置于一定的真實情境中，特別是數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提出和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開展，已將學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程發(fā)展為問題解決過程，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為個人研究、同伴協(xié)同、集體創(chuàng)新的過程，同時也成為學(xué)生評判性思維、創(chuàng)新思維不斷成長的過程[2]。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中實施PBL模式，從問題的情境設(shè)置，問題的發(fā)現(xiàn)、提出、解決到解決后的反思、拓展，都能有效落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合培養(yǎng)。學(xué)生不僅要掌握陳述性知識，更需要程序性知識和過程性知識主動參與，既要清楚“要什么知識”，更要清楚知識“從哪里想起”“怎么想”“為什么這么想”“如何修改”等[3]。

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)的確定

數(shù)學(xué)建模問題情境來自真實生活，需要依據(jù)現(xiàn)實呈現(xiàn)的現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)原理探析，建立數(shù)學(xué)模型分析、解決實際問題，并評價建模方案，根據(jù)現(xiàn)實環(huán)境的變化解釋各變量的功能，或者修正模型。數(shù)學(xué)建模教學(xué)通常需要呈現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的全過程，問題中通常存在多個相互關(guān)聯(lián)的變量，分別連接真實問題的各種控制要素，也反映模型的不同變化視角。數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的每個過程都承擔(dān)著各自的學(xué)習(xí)目標(biāo)和能力培養(yǎng)任務(wù)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)依據(jù)各個角度的任務(wù)特征設(shè)計相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)與評價重點，在建模的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何解決現(xiàn)實問題（見表1）。

二、教學(xué)問題的設(shè)置

PBL中的問題是觸動學(xué)生學(xué)習(xí)的擊發(fā)點，是學(xué)習(xí)活動的脈絡(luò)。問題設(shè)置要有利于不同層次學(xué)生的參與，要有較為明確的指向，能引領(lǐng)學(xué)生思考。建模教學(xué)中教師要充分利用真實問題情境，用啟發(fā)性語言、發(fā)散性提問引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題。如用“遇到突然下雨，怎樣做才能減少淋雨”激起學(xué)生對這個熟悉問題的重新關(guān)注，引發(fā)學(xué)生的探究興趣。再針對問題設(shè)計實驗，收集數(shù)據(jù)，做出有依據(jù)的數(shù)學(xué)假設(shè)，建立模型對現(xiàn)象與結(jié)果用數(shù)學(xué)的手段進(jìn)行比較、分析、推理和解釋。如此就會在數(shù)學(xué)建模過程中開啟一系列的問題解決學(xué)習(xí)。教師可以依據(jù)建模的一般流程設(shè)計主問題線和相應(yīng)的子問題群（如圖1），其中每個主問題的解決對應(yīng)一個建模階段，每個主問題下有一個問題群細(xì)化主問題的方向。

三、以問題鏈展開的教學(xué)實踐

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)實施中，需要結(jié)合問題情境、內(nèi)容對每個階段的問題群進(jìn)一步細(xì)化操作，通過問題鏈的形式逐步展開教學(xué)活動。以問題鏈驅(qū)動學(xué)生深度學(xué)習(xí)、深入思考、主動探究，逐步完成建模與解模，在學(xué)習(xí)的過程中體驗數(shù)學(xué)建模的基本思維方式。下面結(jié)合滬教版必修4的“雨中行”案例，梗概地展現(xiàn)問題鏈推進(jìn)建模教學(xué)的流程[4]。

1.問題的發(fā)現(xiàn)

人對事物的感知通常是從表象開始的，表現(xiàn)明顯的現(xiàn)象最先為人們所關(guān)注、認(rèn)識，不明顯的現(xiàn)象往往不易被人們發(fā)現(xiàn)，需要從細(xì)節(jié)、微觀因素上去追問，才能引起大家的共鳴。

教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生按照“情境-現(xiàn)象-功能”的思維線路發(fā)現(xiàn)和提出問題，教師以問題鏈引導(dǎo)，逐步鋪開教學(xué)。首先以具有較強的開放性、作答視角豐富的“起點問題”，如“情境中正在發(fā)生什么事？你有哪些細(xì)節(jié)性發(fā)現(xiàn)？”引起關(guān)注，觸發(fā)學(xué)生思考。然后再以“這樣做的目的是什么？淋雨多少跟哪些因素有關(guān)？”等“聚攏性問題”對學(xué)生的發(fā)散式回答做總結(jié)，逐步突出問題的關(guān)鍵特征——淋雨量及其主要影響因素。根據(jù)學(xué)生的回答程度還需要做相應(yīng)的追問：“還有哪些現(xiàn)象、要素？”“你是怎么得到結(jié)論的？”如此來引導(dǎo)學(xué)生多視角分析問題情境，搭建思維框架，由表及里深入思考現(xiàn)象產(chǎn)生的內(nèi)部原因，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，為自主建模打下堅實基礎(chǔ)。

2.核心概念及影響要素的定性分析

學(xué)生對問題有了初步認(rèn)識，對現(xiàn)象進(jìn)行適當(dāng)聚攏之后，教師繼續(xù)以“提煉性問題”，如“淋雨程度可以用什么量來表達(dá)？它與什么要素有關(guān)，影響如何？”將學(xué)生的前期聚攏對象進(jìn)行提煉、深化，提出有關(guān)全局的核心概念或問題，并定性建立要素與概念、問題的依賴關(guān)系，為后續(xù)精確的數(shù)學(xué)描繪做好準(zhǔn)備;以“哪些是變化的量，哪些是不變的量？”的“具象化問題”突出要素的具體功能，加強要素與核心概念的關(guān)聯(lián)，以及變量、常量的識別，為精確的數(shù)量關(guān)系做好鋪墊。為了便于發(fā)現(xiàn)核心概念，抓住各要素的功能，可以通過表格的方式將現(xiàn)象及其效果外顯化，以便建立可靠猜想，形成準(zhǔn)確模型（見表2）。

從多個宏觀現(xiàn)象到對應(yīng)微觀因素，思維跳躍較大，學(xué)生可能出現(xiàn)“不會找、找不全”的情況，須從簡單問題入手，發(fā)動學(xué)生討論探究，在爭論中統(tǒng)一思想、深刻認(rèn)識，通過問題鏈的連貫發(fā)展、縱深推進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生思維在發(fā)散中聚攏，提出能反映實際問題本質(zhì)特征的核心概念或問題，發(fā)展學(xué)生善于歸納、敢于猜想、精于推理、適度抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為了提高學(xué)生提出問題的能力，有必要總結(jié)出行之有效的流程圖（如圖2）。先從情境各種現(xiàn)象尋找關(guān)聯(lián)點，提取共同關(guān)注的目標(biāo)，從而提煉、界定出需要研究的問題，然后根據(jù)問題確定其主要表征對象，最后再結(jié)合現(xiàn)象關(guān)聯(lián)確定研究對象的各個要素成分，對實際問題形成整體化的綜合認(rèn)知，完成問題的提出。

3.定量數(shù)學(xué)模型的建立與解決

實際問題的復(fù)雜性體現(xiàn)在多變量的動態(tài)變化上，怎樣建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是教學(xué)難點。首先對各要素符號化來體現(xiàn)一般性和數(shù)學(xué)特征，再根據(jù)前期分析的各要素的效果，以“關(guān)系化問題”，如“你能求出受雨面積、單位時間淋雨量，進(jìn)而得到總淋雨量嗎？”引領(lǐng)學(xué)生分析核心概念的數(shù)量特征，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。以“反思性問題”，如“跑得快，淋雨量就一定少嗎？”和“敏感性分析問題”，如“對T的影響的效果誰更明顯？”加深學(xué)生對各要素的功能的數(shù)學(xué)化分析，體會控制變量研究多變量問題的基本思路。對于純數(shù)學(xué)難以模擬或解決的建模問題，可以通過實驗采集數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的智能計算模擬，并對猜測做相應(yīng)的回歸分析、信度檢測等提高模型的可信度。

教師可以借助圖示顯化分析的思維模型和操作程序，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)模型的建立與解決。圖3是以核心概念、問題為中心的思維模型，先依據(jù)實際情境中各種現(xiàn)象的表現(xiàn)，討論、預(yù)測各要素及其影響的可能性，再借助實驗、數(shù)據(jù)、理論分析提煉出關(guān)聯(lián)廣泛的核心概念或問題，最后針對待解決的實際問題選取分析角度，討論、研究核心概念或問題。圖4則更清晰地呈現(xiàn)了實際問題中模型建立與研究的操作程序。

4.模型的預(yù)測與改進(jìn)

數(shù)學(xué)建模以解決實際問題為目標(biāo)，突出數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性。建立模型經(jīng)常需要猜測、估計、剔除次要因素、模型簡化等過程，這些過程的積累都有可能影響模型的精確度?？梢杂谩皯?yīng)用性問題”，如“根據(jù)淋雨量公式，你能舉例分析一個‘雨中行’問題嗎？”來檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，發(fā)揮模型對同類問題的預(yù)測作用。有時被理想化的次要因素（如風(fēng)速）當(dāng)情境變化后功能會凸顯，這時以“拓展性問題”，如“在風(fēng)雨交加時刻，你能對風(fēng)速、風(fēng)向?qū)偭苡炅康挠绊懽龀龇治鰡?？”促進(jìn)學(xué)生對原模型進(jìn)行新的詮釋或做必要的修正。還可以用“挑戰(zhàn)性問題”，如“如何打傘可以使總淋雨量最??？”增加影響要素，發(fā)散學(xué)生的思維。

問題解決學(xué)習(xí)模式的建模教學(xué)，將知識、問題、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密聯(lián)系起來，通過有梯度的問題群、問題鏈圍繞主問題系統(tǒng)性地展開教學(xué)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合培育（如圖5）。

學(xué)生作為建模行動的主動者，在問題提出、獲取模型階段更多地發(fā)揮程序性知識的認(rèn)知策略，主動完成新知識的建構(gòu);在解模的過程中，更多地依賴所掌握的陳述性知識和智慧技能完成模型的數(shù)學(xué)探究;對模型的評價、拓展則主要依賴元認(rèn)知的主動監(jiān)控自覺實現(xiàn)。在整個建?；顒又校粩喟殡S個人的知識體驗、思想領(lǐng)悟等過程性知識，它們是學(xué)會自主建模的關(guān)鍵知識，三種知識交織應(yīng)用，推動了建模的順利發(fā)展。學(xué)生在問題解決中經(jīng)歷了知識的發(fā)散、聚攏、批判、創(chuàng)新等思維活動，形成數(shù)學(xué)建模觀念，體驗探究過程。經(jīng)歷多角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析及解決問題的過程，有助于學(xué)生形成多維、擴散的知識結(jié)構(gòu)。在問題解決學(xué)習(xí)中有效落實“問題驅(qū)動教學(xué)”“問題發(fā)展思維”“問題拓展知識”，推進(jìn)核心素養(yǎng)的有效培育。

參考文獻(xiàn)

[1] Barrow.Problem-based learning in medicine and beyond：A brief overview[J].New Directions for Teaching and Learning，1996（68）：3-11.

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[4] 李大潛，王建磐.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第四冊[M].上海：上海教育出版社，2020：20-25.