陳紅霞

【摘? ?要】隨著課程改革的深入，近年來(lái)小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課學(xué)習(xí)材料的開(kāi)發(fā)逐漸成為一線(xiàn)教師的關(guān)切點(diǎn)之一。教師在研發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料時(shí)需避免目標(biāo)不清、難度太大、負(fù)擔(dān)加重等問(wèn)題。基于“IPS+”教材二次開(kāi)發(fā)理念的拓展學(xué)材研發(fā)方式，可以成為一線(xiàn)教師進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容研發(fā)時(shí)可借鑒的一般流程和具體實(shí)施路徑。

【關(guān)鍵詞】二次開(kāi)發(fā);學(xué)習(xí)材料;整合;拓展;結(jié)構(gòu)化

隨著課程改革的深入，基礎(chǔ)課程的校本化實(shí)施和拓展開(kāi)發(fā)已經(jīng)成為當(dāng)前課程建設(shè)的重要內(nèi)容之一，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的校本化實(shí)施需要教師對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)。為此，研究團(tuán)隊(duì)提出了基于“IPS+”理念的數(shù)學(xué)教材二次開(kāi)發(fā)的基本原則。具體地說(shuō)，“IPS+”就是從整合（Integrate）、拓展（Prolongate）和結(jié)構(gòu)化（Structured）的視角對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行有益補(bǔ)充、優(yōu)化重組，對(duì)知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行有益聯(lián)結(jié)與適度延伸，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行序列梳理和系統(tǒng)重構(gòu)。

拓展課不是對(duì)教材外的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單疊加，而是要根據(jù)學(xué)情對(duì)基礎(chǔ)課程進(jìn)行有益的補(bǔ)充。教師在研發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“學(xué)材”）時(shí)需避免目標(biāo)不清、難度過(guò)大、負(fù)擔(dān)加重等問(wèn)題。應(yīng)基于“IPS+”理念開(kāi)發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料并實(shí)施教學(xué)，找到教材二次開(kāi)發(fā)的范式，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、探繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)內(nèi)涵

基于“IPS+”理念對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行拓展開(kāi)發(fā)時(shí)，要重點(diǎn)思考的是拓展目標(biāo)和價(jià)值，也就是想清楚“為什么拓”，這是解決“從哪里開(kāi)始拓”和“怎么拓”的最根本問(wèn)題?；凇癐PS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，堅(jiān)持以學(xué)情和補(bǔ)充基礎(chǔ)課程為出發(fā)點(diǎn)，以提升學(xué)生素養(yǎng)為旨?xì)w，在小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)中提煉問(wèn)題，遵循學(xué)生需求梳理學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)。拓展學(xué)材的研發(fā)旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心概念的理解和關(guān)鍵能力的發(fā)展。作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于基礎(chǔ)和主干地位的核心知識(shí)，涵蓋小學(xué)階段學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、圖形特征和計(jì)算公式及其所蘊(yùn)含的核心操作技能、數(shù)學(xué)思想方法。

學(xué)材開(kāi)發(fā)要關(guān)注知識(shí)的聯(lián)通，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解逐步走向深入。

（一）從“聯(lián)”到“通”，讓數(shù)學(xué)理解有路徑

按部就班地照搬教材，必然造成學(xué)生知識(shí)理解的淺表化、知識(shí)結(jié)構(gòu)的零碎化。拓展學(xué)材研發(fā)過(guò)程中對(duì)核心問(wèn)題的提煉，可以聯(lián)結(jié)斷點(diǎn)、串起散點(diǎn)、把握要點(diǎn)，跨越教材中由于單元及課時(shí)劃分造成的斷層、因分散編排導(dǎo)致的關(guān)聯(lián)弱化或隱藏，實(shí)現(xiàn)核心知識(shí)的本質(zhì)勾連，幫助學(xué)生沖破割裂理解的藩籬，走向結(jié)構(gòu)化理解。

（二）由“變”趨“深”，讓數(shù)學(xué)理解更深遠(yuǎn)

統(tǒng)編教材的普適性無(wú)法滿(mǎn)足各地差異化的學(xué)情，均勻用力的課時(shí)分布容易造成學(xué)生學(xué)得不深、學(xué)得不夠。拓展學(xué)材研發(fā)中根據(jù)學(xué)生實(shí)際將學(xué)習(xí)材料結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，可以讓學(xué)生更好地聚焦核心問(wèn)題展開(kāi)探究學(xué)習(xí)。教師通過(guò)設(shè)計(jì)層層推進(jìn)的挑戰(zhàn)性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生將疑點(diǎn)、難點(diǎn)在不斷變式中逐一化解，讓研究能力強(qiáng)的學(xué)生有遷移運(yùn)用知識(shí)的空間，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解走向深遠(yuǎn)。

二、尋繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)路徑

基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，通過(guò)三個(gè)階段進(jìn)行。

目標(biāo)整合階段（I階段），教師既要對(duì)學(xué)生進(jìn)行是否需要拓展和能拓到什么程度的評(píng)估，也要對(duì)教材進(jìn)行核心知識(shí)的梳理和關(guān)鍵能力的對(duì)接，從而探明拓展起點(diǎn)，預(yù)設(shè)拓展終點(diǎn)，準(zhǔn)確定位拓展目標(biāo)。

學(xué)程拓展階段（P階段），教師既要根據(jù)價(jià)值評(píng)估確定核心問(wèn)題，又要根據(jù)需求評(píng)估設(shè)定學(xué)習(xí)路徑。研發(fā)準(zhǔn)備階段是研發(fā)過(guò)程的依據(jù)，研發(fā)評(píng)估又為研發(fā)過(guò)程提供改進(jìn)依據(jù)。

結(jié)構(gòu)施教階段（S階段），教師既要根據(jù)學(xué)習(xí)路徑為學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，又要預(yù)設(shè)在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中應(yīng)如何進(jìn)行合適學(xué)法的選擇。

（一）拓展目標(biāo)的確定：以生為本，以素養(yǎng)為基

基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，以學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)為拓展目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)為“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，其中“數(shù)學(xué)的眼光”側(cè)重于數(shù)學(xué)抽象，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)的一般性特征;“數(shù)學(xué)的思維”側(cè)重于邏輯推理，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征;“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”側(cè)重于數(shù)學(xué)模型，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性特征。以這三個(gè)維度為導(dǎo)向，建構(gòu)基于“IPS+”的小學(xué)數(shù)學(xué)拓展學(xué)材研發(fā)目標(biāo)框架，將拓展目標(biāo)與關(guān)鍵能力的培養(yǎng)目標(biāo)一以貫之，使拓展學(xué)材真正為了學(xué)生，真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)課程的理解。

（二）核心問(wèn)題的提煉：以拓為航，以教材為依

核心問(wèn)題的確定在學(xué)材研發(fā)過(guò)程中非常關(guān)鍵，核心問(wèn)題對(duì)學(xué)生知識(shí)的深度理解、能力的進(jìn)階發(fā)展有重要的促進(jìn)作用。提煉核心問(wèn)題可從以下三條路徑入手。

1.立足疑難處，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

可以立足于學(xué)生知識(shí)理解的疑難點(diǎn)提煉核心問(wèn)題，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。如，在教學(xué)“軸對(duì)稱(chēng)圖形”時(shí)，可抓住“平行四邊形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形”（注：這里的平行四邊形不包括長(zhǎng)方形，下同）的疑難點(diǎn)，提煉出“能否改變平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)的位置，把它變成軸對(duì)稱(chēng)圖形”這一核心問(wèn)題。

教師提問(wèn)：平行四邊形真的是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，請(qǐng)找出這個(gè)平行四邊形的對(duì)稱(chēng)軸，并進(jìn)行對(duì)折驗(yàn)證。

（教師出示平行四邊形。一生上去折，不能完全重合）

教師接著出示任務(wù)：你能改變平行四邊形的其中一個(gè)點(diǎn)，讓它變成軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？

平行四邊形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是學(xué)生學(xué)習(xí)“平行四邊形圖形特征”時(shí)典型的疑難點(diǎn)，把它作為拓展素材，讓學(xué)生在“能否把平行四邊形變成軸對(duì)稱(chēng)圖形”這一核心問(wèn)題中，主動(dòng)嘗試和辨析，并整理歸納出分別移動(dòng)每個(gè)點(diǎn)的方法，促使學(xué)生修正原有經(jīng)驗(yàn)，改變?cè)械腻e(cuò)誤認(rèn)知，從任務(wù)的結(jié)果梳理和方法歸納中獲得對(duì)圖形特征的本質(zhì)理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)理解的深度拓展。

2.借助聯(lián)系點(diǎn)，促發(fā)意義關(guān)聯(lián)

從教材中處于前后發(fā)展聯(lián)結(jié)處的知識(shí)點(diǎn)、相同知識(shí)體系中具有一致性的知識(shí)點(diǎn)或不同知識(shí)體系中可關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)中找到可拓展的核心問(wèn)題。例如集合和三角形分類(lèi)本屬于不同的知識(shí)領(lǐng)域，處在不同的單元內(nèi)容中，但兩者的本質(zhì)是相互關(guān)聯(lián)的。三角形的分類(lèi)實(shí)際上就是根據(jù)邊、角的特征讓三角形形成不同的集合。故此可以通過(guò)這一聯(lián)系點(diǎn)，用核心問(wèn)題“能否把三角形請(qǐng)到集合圈內(nèi)”（如圖1），將兩項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行整合。學(xué)生會(huì)在辨析中厘清三角形邊和角的特征，并感受分類(lèi)思想，促進(jìn)意義理解。

3.挖掘拓展點(diǎn)，促進(jìn)深度探究

挖掘教材中的典型題、提升題、開(kāi)放題背后的拓展價(jià)值，可以將教材習(xí)題變成拓展學(xué)材。如教師以人教版教材二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”單元練習(xí)八的第7題（如圖2）為基礎(chǔ)，通過(guò)限制畫(huà)圖工具、改變畫(huà)圖條件等方法，圍繞“沒(méi)有直尺，你還會(huì)畫(huà)直角嗎”這一核心問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一系列挑戰(zhàn)性任務(wù)，讓學(xué)生主動(dòng)調(diào)用所學(xué)經(jīng)驗(yàn)，遷移運(yùn)用原有知識(shí)，創(chuàng)生出利用“方格紙的格線(xiàn)、等比例的長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)”等方法畫(huà)直角。讓學(xué)生在完成挑戰(zhàn)性任務(wù)的過(guò)程中為后續(xù)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)、比例等內(nèi)容積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)角的本質(zhì)意義的理解，提升學(xué)生的畫(huà)角技能。

在方格紙上畫(huà)直角（從給出的點(diǎn)畫(huà)起）。

（三）學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)：以終為始，以發(fā)展為要

在基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)過(guò)程中，具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)計(jì)和組織要重視緩解教材知識(shí)學(xué)習(xí)有限性和階段性的問(wèn)題，側(cè)重學(xué)生的能力培養(yǎng)與素養(yǎng)發(fā)展。學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)需注重趣味性和探究性相結(jié)合的特點(diǎn)，常見(jiàn)的形式有游戲闖關(guān)類(lèi)、生活探究類(lèi)、數(shù)學(xué)閱讀類(lèi)、問(wèn)題解決類(lèi)等。主要以生活問(wèn)題、游戲素材、數(shù)學(xué)史料、變式趣題等開(kāi)放性素材為載體，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)以致用。

三、討繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材實(shí)施的價(jià)值取向

基于“IPS+”理念設(shè)計(jì)拓展學(xué)材后，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意消除“因漸進(jìn)式線(xiàn)性推進(jìn)教學(xué)過(guò)程而難以讓學(xué)生建立整體知識(shí)結(jié)構(gòu)”的弊端，實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

（一）核心問(wèn)題取向：高效任務(wù)，問(wèn)題引領(lǐng)

“核心問(wèn)題”是把學(xué)材轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)的重要支架。借助核心問(wèn)題設(shè)計(jì)，可以把學(xué)習(xí)置于探究情境中，把問(wèn)題設(shè)定為逐層遞進(jìn)的相關(guān)任務(wù)，讓學(xué)生既有解決問(wèn)題的動(dòng)力，又有向上攀登的支架。

如圍繞“長(zhǎng)、正方形面積計(jì)算”開(kāi)發(fā)的拓展課《螞蟻搶地盤(pán)》，教師把面積計(jì)算的問(wèn)題設(shè)置為“螞蟻搶地盤(pán)”的情境，讓學(xué)生置身于既有趣味性又有探究意義的真實(shí)問(wèn)題中。教師設(shè)計(jì)的任務(wù)是：探究在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中S1～S4四部分面積間的關(guān)系（如圖3），并設(shè)計(jì)了任務(wù)串：①描述S1和S2的變化;②描述S1+S2的變化;③描述S3和S4的大小關(guān)系以及變化趨勢(shì);④比較S1+S2與S3+S4的大小。這四個(gè)由低階到高階的數(shù)學(xué)任務(wù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供了層層遞進(jìn)的任務(wù)鏈，將學(xué)生的視角從靜態(tài)引向動(dòng)態(tài)，讓學(xué)生的空間觀念和數(shù)學(xué)思維也得到發(fā)展。

（二）經(jīng)驗(yàn)可視取向：經(jīng)歷過(guò)程，展開(kāi)思維

學(xué)習(xí)的過(guò)程就是經(jīng)驗(yàn)再改造的過(guò)程，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、類(lèi)比、分析、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的同時(shí)，需要將學(xué)生的隱性經(jīng)驗(yàn)可視化，便于學(xué)生反思和總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用和認(rèn)知的延伸。

如圍繞“三角形的分類(lèi)”開(kāi)發(fā)的拓展課《變化無(wú)窮的第三個(gè)點(diǎn)》，教師設(shè)置的核心問(wèn)題是：直線(xiàn)上有A、B兩個(gè)點(diǎn)，在直線(xiàn)上方取一點(diǎn)C，使ABC圍成直角三角形，點(diǎn)C可能在哪里？然后按照“學(xué)生嘗試—交流想法—分類(lèi)整理—?dú)w納特征—追問(wèn)原因—學(xué)法遷移”的路徑進(jìn)行教學(xué)，并根據(jù)學(xué)生的交流情況，與學(xué)生一起整理了點(diǎn)C在直線(xiàn)AB的上方時(shí)“第三個(gè)點(diǎn)”可能的位置：當(dāng)點(diǎn)C落在過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)上時(shí)，∠A或∠B是直角，當(dāng)點(diǎn)C落在“半圓”的虛線(xiàn)上時(shí)，∠C是直角，這時(shí)ABC圍成的三角形是直角三角形。如果點(diǎn)C不在這幾條線(xiàn)上，那么它在不同區(qū)域時(shí)可以得到銳角和鈍角三角形的情況如圖4。

并不是經(jīng)歷過(guò)學(xué)習(xí)就會(huì)形成經(jīng)驗(yàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)把探究所得進(jìn)行外顯和梳理，以幫助他們建立更加豐富的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，讓知識(shí)能更好地得到遷移運(yùn)用。

（三）高階學(xué)習(xí)取向：遷移運(yùn)用，建立聯(lián)結(jié)

高階學(xué)習(xí)是一個(gè)有意識(shí)運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程，包含以下幾個(gè)方面的高階策略：?jiǎn)栴}解決、創(chuàng)見(jiàn)、決策、調(diào)研和系統(tǒng)分析。要判斷學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量，可以看學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中是否運(yùn)用了這些策略。

如圍繞“軸對(duì)稱(chēng)圖形”設(shè)計(jì)的拓展課《趣變軸對(duì)稱(chēng)》，教師設(shè)計(jì)的核心問(wèn)題是：在圖中（見(jiàn)圖5）涂色一個(gè)小正方形，讓組成的新圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，可以怎樣涂？如果依舊要保證新圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，再涂色兩個(gè)、三個(gè)小正方形，可以怎樣涂？

在核心問(wèn)題的解決過(guò)程中，先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試，再小組交流匯總方法，使個(gè)別學(xué)生的方法變成一組學(xué)生的共用方法，然后進(jìn)行方法的分類(lèi)，歸納方法之間的共性，從而獲得問(wèn)題解決的策略：確定對(duì)稱(chēng)軸位置，再涂色，使圖形保持對(duì)稱(chēng)性。最后通過(guò)設(shè)計(jì)第二層次的變式問(wèn)題，讓學(xué)生能及時(shí)應(yīng)用在前一個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)的方法和經(jīng)驗(yàn)，使方法得到遷移，思維得到提升。在這個(gè)過(guò)程中，處處可見(jiàn)學(xué)生經(jīng)歷了高階學(xué)習(xí)過(guò)程。

在基于學(xué)生立場(chǎng)的“IPS+”學(xué)材開(kāi)發(fā)過(guò)程中，研究團(tuán)隊(duì)利用生活中的普通材料，如黃豆、蘋(píng)果、紙張、撲克牌、篩子、吸管等，結(jié)合日常生活中的常見(jiàn)事件，開(kāi)發(fā)了諸如“可樂(lè)的‘甜蜜’真相、消費(fèi)券中的數(shù)學(xué)問(wèn)題、地圖中的秘密、可怕的病毒”等拓展教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)了學(xué)生操作經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生在關(guān)系探索中學(xué)習(xí)、在邏輯梳理中思考、在主題探究中發(fā)展能力?；凇癐PS+”教材二次開(kāi)發(fā)理念的拓展學(xué)材研發(fā)方式，可以作為一線(xiàn)教師進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容研發(fā)時(shí)可借鑒的一般流程和具體實(shí)施路徑。

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（浙江省杭州市拱墅區(qū)教育研究院? ? 310005）