何永鍵

“非線性”數(shù)學課堂主要目標在于如何促進學生的主動學習，通過設置預習導航的方式來確定學習出發(fā)點，實時跟蹤學生知識的動態(tài)生成，讓學生在思維的交流與碰撞中自我升華，提高課堂學習效果。學習數(shù)學的關鍵是學會數(shù)學思考，追問能夠激發(fā)學生的探索欲望，引導學生進行數(shù)學思考，促使學生深度學習。

一、在預習導航時追問

在傳統(tǒng)的課堂，教師會采用復習鋪墊、創(chuàng)設情境、制造懸念等形式來喚起已有的知識經(jīng)驗，為新課學習創(chuàng)造條件。而在“非線性”數(shù)學課堂中，教師直接揭示課題，直奔主題，檢查預習情況，梳理和聚焦學生在預習中發(fā)現(xiàn)的問題，這就是“預習導航”環(huán)節(jié)。與傳統(tǒng)教學相比，課堂教學由“從預設起點開始”轉變?yōu)椤皬膶W生的真實起點開始”。因此，在“預習導航”環(huán)節(jié)中找準學生的真實起點尤為重要。在一線教學中教師經(jīng)常會有這樣的疑惑：“學生預習后所給出的答案是否知其然？確實是他們真實的起點嗎？”這時，我們可以對學生進行追問，了解學生真實的起點。

例如在“優(yōu)化——沏茶問題”這一課的預習導航中，學生反饋的結果是最優(yōu)方案，詢問全班學生，他們都表示同意這個方案，那么這是否代表他們都達到知其然？為了檢驗學生真實情況，接下來可以設置以下一連串的追問：你們對于這一小組的方案存在哪些疑問或者是不同觀點呢？能不能把洗水壺和接水交換順序？為什么？能不能先洗茶杯再找茶葉？為什么？煮水和洗茶杯、找茶葉這樣寫代表什么意思？這一步驟一共用了多少時間？為什么不是把這3項的時間加起來？怎樣的方案才是合理的方案？怎樣的方案才是最優(yōu)的方案？通過學生對一系列的問題串的回答情況，我們才能檢驗學生是否知其然。

二、在導學時追問

傳統(tǒng)教學里的形式往往是按備課的內(nèi)容有序推進，教師講學生聽、教師問學生答、教師寫學生記。而在“非線性”數(shù)學課堂教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式由“教教材、用教材教”轉變?yōu)椤坝媒滩膶W”（學生主要依據(jù)教材進行預習和小組討論）。學生以預習導航中聚焦的問題為線索和切入點，開展小組合作學習（異質小組）。每位學生在小組里提出存在的學習困惑，在小組里尋求幫助，通過學生間互動（個人探究形成思考、組內(nèi)研討達成共識、全班匯報互動完善）和師生間互動（大膽質疑與細心解惑、講解與收獲），最終提出問題的解決方案。學生是否對問題最終的解決方案都理解到位了，這是教師在教學中常常擔憂的問題。其實，教師可以通過在課堂上進行追問，引導全班學生一起深挖方案的內(nèi)涵，從而透徹理解問題的本質。

如一名年輕教師執(zhí)教“分一分（一）”，提出問題：用哪一個數(shù)來表示“一半”？學生通過獨立思考以及小組交流提出了0.5和1/2這兩個結果。這時老師就開始介紹1/2就是本節(jié)課所要學習的分數(shù)，然后進行下一個環(huán)節(jié)。在聽課時我就在思考：1/2用來表示“一半”，學生充分理解了它的內(nèi)涵嗎？答案顯然是否定的。我認為可以這樣追問：為什么1/2能表示“一半”？它如何與“一半”的含義對應？你能聯(lián)想到其他不用自然數(shù)表示而用這種方式來表示的情況嗎？通過一系列的追問，引導學生尋根問底，適當延伸問題，讓學生在思維的交流與碰撞中實現(xiàn)升華。

三、在反饋時追問

傳統(tǒng)教學里，反饋環(huán)節(jié)就是鞏固練習，形式一般是學生練教師評，一題一評（學生做完一題后舉手示意，等教師講評完后，再做下一題）。相比之下，“非線性”數(shù)學課堂的反饋是當堂反饋預習和導學的效果，及早暴露學習中的薄弱點、模糊點與易錯點。通過適量的針對性訓練，結合對比練、小組議（異質小組）、集中評（一次性布置反饋練習，學生完成后就在本組內(nèi)交流，最后全班展示、點評）的形式，檢查、分析學生對已學知識的掌握情況和課堂教學效果。若在反饋時發(fā)現(xiàn)學生理解不到位，可以通過追問來協(xié)助學生梳理并構建知識框架。

在教學六年級“百分數(shù)的應用（四）”時，我設計了以下的反饋練習：

1. 淘氣把800元存入銀行，定期一年，年利率2.79%。到期后淘氣可獲得多少元利息？

2. 李叔叔購買20000元國家建設債券，時間為5年，年利率為3.81%。五年以后，李叔叔可以得到多少元利息？

3. 下面是張阿姨購買一筆國債的信息，這筆國債到期時，可得本金和利息共多少元？（圖略）

4. 樂樂的爸爸打算把5000元存入銀行，兩年后再取出來。他應該選擇哪種存取方式取才能得到最多的利息？（利率參考教材P97第5題的表格）

通過反饋發(fā)現(xiàn)，學生還是沒有真正理解第2題利息的計算方法，較多學生忘了還要乘以存入銀行的時間這個步驟。還有學生預習時沒有深入了解存款方式，像第4題存入兩年的情況，部分學生沒有想到除了整存整取外，還可以一年一年存，一年到期后連同利息一起再存一年;不少學生都沒有想到還有零存整取、整存零取、存本取息等方式。這時我們可以通過追問的方式來幫助學生梳理知識：你還記得剛才我們學習的年利率指的是什么？只是利息÷本金嗎？學生通過再次思考互動重新認識：存一年的年利率指的是一年的利息÷本金，存兩年的年利率是兩年平均每年的利息÷本金，存三年、五年的年利率參考存兩年的方法計算年利率。順著前面的認識再次追問：用20000乘以年利率3.81%得到的結果是什么呢？是全部利息嗎？學生再次思考交流，認識到這只是一年的利息，要計算全部的利息還需要乘以存入的時間長度5年。我們現(xiàn)在主要學習把存款方式都看成整存整取的，實際生活中還有其他存款方式嗎？為什么會有這樣的存款方式？整存整取有什么好處？學生帶著這些問題再次重新思考，了解到各種存款方式的不同，最后通過計算發(fā)現(xiàn)整存整取收到的利息是最多的。通過追問引導學生再次進行數(shù)學思考，解題思路得到重新梳理，重新構建模型，促使學生深度學習。

四、在歸納積累時追問

傳統(tǒng)教學的課堂小結往往是教師多點提問，學生逐個說自己的收獲，由多個學生的零散發(fā)言構成。而“非線性”數(shù)學課堂采取歸納積累的方法，一方面對所學知識形成整體認識，另一方面體現(xiàn)課堂學習的知識增值。學生獨立寫出自己的課堂學習收獲，經(jīng)小組交流后向全班同學展示，最后教師點評。全班交流時，學生的匯報要在充分理解前一個同學的匯報的基礎上，提出更深入或更新穎的觀點，亦可以是糾正同學匯報的問題，亦可以是補充同學觀點的不足，亦可以是對前人的觀點進行提煉。由“說收獲”轉變?yōu)椤皩懯斋@”，實現(xiàn)條理化、概括化、策略化，讓學生學會積累歸納，對方案予以合理的簡化，建立和發(fā)展學生的空間觀念。如何確信學生已經(jīng)掌握了總結的內(nèi)容，這需要教師善于運用追問來收集相關信息。