李志秀

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030600)

對于一個給定的群G, 若存在另一個群H,使得H/Z(H)?G, 則稱G可以充當(dāng)中心商, 或稱G為capable群.早在1938年Baer在文獻[1]中開始研究中心商問題，后來許多學(xué)者都研究過此問題[2-11].對中心商問題的研究, Hall在他的p-群研究的奠基性論[2]中做了如下評論:“一個群G需要滿足什么條件才可以充當(dāng)另一個群H的中心商群，這是個有趣的問題，得到大量的必要條件是比較容易的，但要得到充分條件卻很難.”Hall提出的同傾族方法(isoclinism)與群的中心商密切相關(guān).此外, 中心商問題與覆蓋群(covering groups)的Schur’s理論及射影表示(projective representation)都有聯(lián)系.作者在文獻[10-11]中借助群的擴張理論、通過復(fù)雜的換位計算對一些3群及極大類的3群的capable性質(zhì)做了一些探索，得到了一些其所有的極大子群都同構(gòu)且冪零類是2的capable群G,并由群G構(gòu)造得到了群H,使得H滿足H/Z(H)?G.若無特別說明，論文所用的符號和概念均取自文獻[12].

引理1[12]設(shè)G是群,a,b,c∈G,則

(1)[ac,bc]=[a,b]c；

(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c]=[a,c][a,c,b][b,c]；

(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c=[a,c][a,b][a,b,c].

引理2[12]設(shè)G是亞交換群,a,c∈G,n為正整數(shù), 則[cn,a]=[c,a]n.

引理3[12]設(shè)G是亞交換群,a,b∈G,對于任意正整數(shù)i,j,設(shè)[ia,jb]=[a,b,a,…,a,b,…,b],則對于任意的正整數(shù)m,n,有

引理4[13]一個有限群G被稱為是一個C2In-1群，如果G的所有極大子群都同構(gòu)且冪零類是2.

1 主要結(jié)果

下面給出論文的主要結(jié)果,以下所討論的全部都是3元生成的C2In-1群.

定理1若G為群G=〈a,b,c|apn=bpn=cpn=xpr=zpr=ypr=1,[a,c]=y,[b,c]=z,[a,b]=x〉.當(dāng)p=2時,n>r≥1;當(dāng)p>2時,n≥r≥1.則G是capable 群.

證明從p3n+3r階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉?Zpn×Zpn×Zpn×Zpr×ZPr×Zpr,

令映射

σ:x→x,y→y,z→zf,d→d,e→e,f→f,

再把它擴充到整個A上，易證σ是A的pn階自同構(gòu).設(shè)〈a〉是pn階循環(huán)群，且在A上的作用與σ相同，令B=A〈a〉,則|B|=p4n+3r.在B中規(guī)定映射

γ:x→x,y→ye,z→z,d→d,e→e,a→ax,

再把它擴充到整個B上，易證γ是B的pn階自同構(gòu).設(shè)〈b〉是pn階循環(huán)群，且b在B上的作用與γ相同，令C=B〈b〉,|C|=p5n+3r.設(shè)〈c〉是pn階循環(huán)群，且c作用在C上,有

xc→xd,yc→y,zc→z,dc→d,

ac→ay,bc→bz,H=C〈c〉,

H=〈a,b,c|apn=bpn=cpn=xpn=zpn=ypn=dpr=epr=fpr=1,

[a,c]=y,[b,c]=z,[a,b]=x,[xpr,c]=[ypr,b]=[zpr,a]=1〉，

Z(H)=〈xpr,ypr,zpr,d,e,f〉,

H/Z(H)?G,

即群G是capable.

定理2若G為群，且

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

則G是capable 群.

證明從26階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉?Z2×Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射

σ:x→x,y→y,z→zd,d→d,e→e,f→f,

再把它擴充到整個A上，易證σ是A的22階自同構(gòu).設(shè)〈c〉是22階循環(huán)群，且在A上的作用與σ相同，令B=A〈c〉,c2=x,則|B|=27.在B中規(guī)定映射

γ:x→x,y→y,z→ze,f→f,e→e,c→cz,

再把它擴充到整個B上，易證γ是B的22階自同構(gòu).設(shè)〈a〉是pn階循環(huán)群，且a在B上的作用與γ相同，令C=B〈a〉.設(shè)〈b〉是22階循環(huán)群，且b作用在C上,有

b:x→xf,c→cy-1,y→y,

f→f,a→ax,H=C〈b〉,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=e2=1,

c2=x，[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x,

[x,b]=f,[z,c]=d,[z,a]=e〉,Z(H)=〈d,e,f〉,

H/Z(H)?G,

即群G是capable.

定理3若G為群，且

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，b2=xz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

則G是capable 群.

證明從25階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉?Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射

σ:x→xf,z→z,y→y,f→f,d→d,

再把它擴充到整個A上，易證σ是A的22階自同構(gòu).設(shè)〈b〉是22階循環(huán)群，且在A上的作用與σ相同，b2=xz,令B=A〈b〉,則|B|=26.在B中規(guī)定映射

γ:x→x,y→yf,z→zd,f→f,d→d,b→by,

再把它擴充到整個B上，易證γ是B的22階自同構(gòu).設(shè)〈c〉是22階循環(huán)群，且c在B上的作用與γ相同，令C=B〈c〉,c2=x.設(shè)〈a〉是22階循環(huán)群，且a作用在C上,有

a:x→xd,c→cz,y→y,

f→f,H=C〈a〉,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=1,

c2=x，b2=xz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x,

[x,a]=d=[z,c],[x,b]=f=[y,c]〉,Z(H)=〈d,f〉,

H/Z(H)?G,

即群G是capable.

定理4若G為群

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，b2=xz,a2=xyz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

則G是capable 群.

證明從26階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉?Z2×Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射σ:x→xf,z→z,y→y,e→e,f→f,d→d,再把它擴充到整個A上，易證σ是A的22階自同構(gòu).設(shè)〈c〉是22階循環(huán)群，且在A上的作用與σ相同，c2=x,令B=A〈c〉,則|B|=26.在B中規(guī)定映射

γ:x→x,y→y,z→ze,e→e,d→d,c→cz,

再把它擴充到整個B上，易證γ是B的22階自同構(gòu).設(shè)〈a〉是22階循環(huán)群，且a在B上的作用與γ相同，令C=B〈a〉,a2=xyz.設(shè)〈b〉是22階循環(huán)群，且b作用在C上,有

b:a→ax,y→y,z→z,

c→cy-1,x→xd,d→d,

H=C〈b〉,b2=xz,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=e2=1,

c2=x，b2=xz,a2=xyz,[c,a]=z,[b,c]=y,

[a,b]=x,[z,a]=e=[b2,a],[x,b]=d=[c2,b],

[x,c]=f=[c2,a]〉,

Z(H)=〈d,e,f〉,

H/Z(H)?G,

即群G是capable.