鄭旭

引言

2020年期間，為積極應(yīng)對新冠病毒疫情，避免人員聚集和學(xué)生感染，國家教育部發(fā)布了各級學(xué)校應(yīng)適當推遲開學(xué)時間，學(xué)生不要提前返回學(xué)校的通知，并鼓勵教師利用線上平臺，停課不停學(xué)，保障學(xué)生的學(xué)習(xí)。在正常的學(xué)校教學(xué)中，信息技術(shù)和線上平臺只是教學(xué)中重要的輔助手段，由于停課不停教，停課不停學(xué)，線上教學(xué)直接轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂教學(xué)的主導(dǎo)方式，這無疑對教師提出了新的要求與挑戰(zhàn)。

線上教學(xué)是應(yīng)用在線平臺，通過師、生、平臺等多邊、多向互動和對多種媒體教學(xué)信息的收集、傳輸、處理、共享，來實現(xiàn)教學(xué)目標的一種教學(xué)模式。線上教學(xué)突破了傳統(tǒng)教學(xué)的時空限制，具有可大量重復(fù)，可隨時互動等特點。線上教學(xué)實踐時可以將過程存儲在教學(xué)云平臺上，每堂課的存儲備份均可多次播放，提供給沒有跟上課堂進度或課后遺忘的學(xué)生再次學(xué)習(xí)。線上教學(xué)還將學(xué)生的小組互動轉(zhuǎn)變成全班互動，將師生一對一的答疑互動轉(zhuǎn)變成一對多的互動，將師生的課堂時間互動轉(zhuǎn)變?yōu)槿旌虻碾S時互動。在數(shù)學(xué)的線上教學(xué)中，如何將數(shù)學(xué)學(xué)科特點與線上教學(xué)的優(yōu)勢結(jié)合起來，值得每個數(shù)學(xué)教師思考和探究。

數(shù)學(xué)學(xué)科抽象性大，嚴謹性強，應(yīng)用廣泛。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要抽象思維，如果教學(xué)中借助教具或多媒體的直觀演示后再過渡到抽象提煉，學(xué)生肯定能更好的理解和掌握。但還是存在少部分課程無法通過直觀演示來學(xué)習(xí)，此時如果課程能重復(fù)播放并且隨時暫停，學(xué)生更加能夠掌握課程的重難點。另外，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)需要足量的數(shù)學(xué)練習(xí)，只有不斷實踐，學(xué)以致用，才有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高，這方面可大量重復(fù)的線上教學(xué)優(yōu)勢極為明顯。而且學(xué)生通常在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的初始過程中，對概念的內(nèi)化和方法的使用不太嚴謹，需要師生互動，生生互動來完善自己的知識框架體系，這方面可隨時互動和答疑的線上教學(xué)也更具優(yōu)勢。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。其中，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。它主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。筆者將借鑒自己線上教學(xué)的實踐經(jīng)驗，淺析線上教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的影響。

一、案例分析

本案例選自高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-2的《數(shù)學(xué)歸納法》。由于線上教學(xué)互動的便利性，該課程采用學(xué)生探究為主，教師引導(dǎo)為輔的學(xué)習(xí)模式，教學(xué)平臺可選擇希沃云課堂，釘釘，騰訊課堂等軟件。在人教版的課本中，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是通過類比抽象多米諾骨牌的原理來提煉步驟方法的。受到多米諾骨牌游戲的啟發(fā)，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計設(shè)定為下面5個環(huán)節(jié)：“數(shù)”字小情景;研“學(xué)”玩游戲;類比“歸”原理;例題來“納”入;深化妙方“法”。學(xué)生完成一個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)就如同推倒一塊骨牌，依次學(xué)完5個環(huán)節(jié)就相當于成功推倒“數(shù)”“學(xué)”“歸”“納”“法”5塊骨牌，即完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

（一）教學(xué)設(shè)計

1.數(shù)字小情景

情景1：從前有個財主，請來一位先生教兒子識字。先生寫一橫，告訴他的兒子是“一”字;寫兩橫，告訴是個“二”字;寫三橫，告訴是個“三”字。學(xué)到這里，兒子就告訴父親說：“我已經(jīng)會了，不用先生再教了?！必斨骱芨吲d，就把先生給辭退了。有一天，財主要請一位姓萬的朋友，叫兒子寫請?zhí)?，請問同學(xué)們知道他是怎么寫“萬”字的嗎？

教師：請問財主兒子學(xué)習(xí)數(shù)字時用到什么推理？

情景2：觀察下列式子，其計算結(jié)果都是質(zhì)數(shù)，于是任何形如n2-n+11（n∈N*）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，請問這個猜想對嗎？

12-1+11=11

22-2+11=13

32-3+11=17

42-4+11=23

52-5+11=31

學(xué)生自主探究后發(fā)現(xiàn)，n=11時猜想不成立，從而發(fā)現(xiàn)歸納推理的結(jié)論不一定正確。

設(shè)計意圖：通過漢字數(shù)字和阿拉伯數(shù)字兩個情景，造成學(xué)生的認知沖突，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究欲。

2.研學(xué)玩游戲

問題：觀察下列式子，

1×2= ? ? ?×1×2×3，

1×2+2×3= ? ? ×2×3×4，

1×2+2×3+3×4= ? ? ×3×4×5，

1×2+2×3+3×4+4×5= ? ? ×4×5×6， ? ?……

所以猜測1×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）= ? ? n×（n+1）×（n+2），這個猜測對嗎？

教師：怎么判斷猜想正確性呢？有沒有一種數(shù)學(xué)方法能通過有限步來證明此類無限的問題？

學(xué)生思考后充滿好奇和疑問。

教師：為了回答這個問題，需要借助一個游戲——多米諾骨牌。老師現(xiàn)在上傳多米諾骨牌小游戲（Easy Toppling Dominoes）安裝包，請同學(xué)們安裝在手機或者學(xué)習(xí)平板上，然后發(fā)揮創(chuàng)意，搭建一個由多米諾骨牌組成的骨牌區(qū)塊，再成功推倒使游戲成功運行。最后總結(jié)多米諾骨牌游戲成功的條件。

學(xué)生積極的參與到多米諾骨牌的游戲中，涌現(xiàn)了很多精美的作品。最后自主討論，得出游戲成功的2個條件：①保證第1張骨牌倒下，②如果第k張骨牌倒下，則第k+1張骨牌也倒下。

設(shè)計意圖：在傳統(tǒng)的學(xué)校教學(xué)中，多米諾骨牌通常只是由教師演示或?qū)W生有限參與，學(xué)生不得不抑制自己參與探究中學(xué)習(xí)的積極性。線上教學(xué)由教師上傳游戲后，每個學(xué)生都能夠參與到游戲的探究中，極大的激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓每個學(xué)生都能從情景中抽象出數(shù)學(xué)概念，命題，方法和體系，提高數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

3.類比歸原理

探究：類比游戲原理，嘗試證明對于任意正整數(shù) ，都有1×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）= ? ? ?n×（n+1）×（n+2）成立。

多米諾骨牌 任意正整數(shù)n等式成立

①保證第1張骨牌倒下

②如果第k張骨牌倒下，則第k+1張骨牌也倒下

學(xué)生經(jīng)過自主探究和全班談?wù)摵?，填寫表格，完成對?shù)學(xué)歸納法方法的總結(jié)：①歸納奠基：驗證n取第一個值時命題成立，②歸納遞推：假設(shè)n=k時命題成立，驗證當n=k+1時命題成立。

設(shè)計意圖：經(jīng)過多米諾骨牌直觀的體驗，學(xué)生可以輕松的從游戲中抽象出一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征，形成方法，解決問題，提高了自身的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

4.例題來納入

例1：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：11×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）= ? ? ?n×（n+1）×（n+2）（n∈N*）

例2：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+ ? ? + ? ? ?+…+ ? ? ? ? <n（n∈N*，n>1）

學(xué)生在教師引導(dǎo)下完成例題證明，教師在課件上展示證明格式。

設(shè)計意圖：例1即前面研學(xué)環(huán)節(jié)引入的問題，學(xué)生在初步掌握數(shù)學(xué)歸納法后，直接應(yīng)用方法解決問題，獲得解決問題的成就感。例2是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，而且n>1，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法歸納奠基的理解。

5.深化妙方法

深化1：對于1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在驗證n=1時，左邊所得的代數(shù)式是（ ? ? ? ? ）

A.1 ? ? ? ? ? ? B.1+3 ? ? ? ? ? ? C.1+2+3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.1+2+3+4

深化2：對于 ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ?+…+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =

（n∈N*），從n=k到n=k+1左邊需要添加的項是（ ? ? ? ?）

A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+

C. ? ? ? ? ? &nbsp; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

深化3：某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+22+…+2n-1=2n-1（n∈N*）的過程如下：

（1）當n=1時，左邊=1=右邊，等式成立

（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1，則當n=k+1時，左邊=1+2+22+…+2k-1+2k= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =2k+1-1=右邊，即當n=k+1時，等式成立。

由（1）（2）可知，等式對任意n∈N*成立。

請問該同學(xué)的解法正確嗎？如果正確，請說明理由，如果錯誤，請幫忙更正。

學(xué)生經(jīng)過思考和討論后，完成3道題目的解答。教師進行課堂小結(jié)和作業(yè)布置。

設(shè)計意圖：學(xué)生解答深化1，深化2時能加深對數(shù)學(xué)歸納法的歸納奠基和歸納遞推的理解，解答深化3時能提高方法辨析，克服易錯點，更有邏輯地表敘論證過程，更加透徹地理解演繹推理，從而提高數(shù)學(xué)邏輯推理的核心素養(yǎng)。

二、結(jié)語

本節(jié)課的線上教學(xué)結(jié)束后，筆者在與學(xué)生互動時收獲不少好評，學(xué)生作業(yè)正確率也有所提高，還收到部分學(xué)生繼續(xù)體驗的多米諾骨牌游戲截圖（見附錄），說明只要將線上教學(xué)的優(yōu)勢與數(shù)學(xué)學(xué)科特點正確結(jié)合起來，更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。線上教學(xué)的靈活和互動，十分適合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)和應(yīng)用。雖然線上教學(xué)目前只是特殊時期成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式，但筆者相信，隨著技術(shù)發(fā)展，以及更多學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識的覺醒，線上教學(xué)會越來越受到歡迎，逐漸成為學(xué)生學(xué)習(xí)中不可或缺的一種重要模式。

附錄：

截圖一： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 截圖二：

（作者單位：廣州市廣東華僑中學(xué)，廣東 ? 廣州 ? 510000）