王 慧

（泗陽(yáng)雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校,江蘇 泗陽(yáng) 223700）

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，但是歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)思想學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)課程的精髓，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。學(xué)生學(xué)習(xí)期間掌握數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，可以強(qiáng)化學(xué)生思維品質(zhì)，滿(mǎn)足學(xué)生后繼學(xué)習(xí)需求，對(duì)強(qiáng)化學(xué)生自身學(xué)習(xí)水平，甚至對(duì)學(xué)生終身發(fā)展都具有意義。

一、數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)及教學(xué)意義

究其本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想是一種對(duì)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法進(jìn)行靈活運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律更高層次的理性認(rèn)識(shí)。在使用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想往往會(huì)影響學(xué)者實(shí)踐活動(dòng)的思維路線(xiàn)以及行為習(xí)慣。數(shù)學(xué)思想根據(jù)方法上的不同可以分為在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中的思想以及從過(guò)程中抽象出來(lái)成為規(guī)律性的思想兩大類(lèi)，從中抽象出來(lái)的具體思想有化歸思想、函數(shù)思想以及數(shù)形結(jié)合思想等等。

數(shù)學(xué)的基本思想主要指的就是數(shù)學(xué)抽象思想、數(shù)學(xué)推理思想以及數(shù)學(xué)模型思想。而數(shù)學(xué)抽象的思想派生出的有分類(lèi)思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想等等。另一方面，數(shù)學(xué)推理思想的代表思維有代換思想、聯(lián)想與類(lèi)比思想、方程思想、量化思想等等。數(shù)學(xué)模型派生出的思想有優(yōu)化思想、隨機(jī)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想以及簡(jiǎn)化思想等等。

數(shù)學(xué)方法指的就是學(xué)者在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和特定的邏輯流程解決面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)方法在特征上具有邏輯性、層次性、可操作性以及過(guò)程性等等。數(shù)學(xué)思想是在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中數(shù)學(xué)方法的靈魂所在，而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)。在教學(xué)過(guò)程中，教師通常會(huì)把數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想方法。在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，思想方面的教育非常重要，可以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)好的數(shù)學(xué)思維能讓學(xué)生終身受益。在教學(xué)的過(guò)程中，如果能夠有意識(shí)地向?qū)W生傳授一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，能夠幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)相關(guān)公式定律概念方面的理解，能夠顯著提高學(xué)生的邏輯思維能力。乘法口訣是中華民族的瑰寶，也是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中必然要學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)。在小學(xué)階段，受制于年齡以及方法方面的因素，很多小學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法口訣的過(guò)程中都非常吃力。因此，如果能夠在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中滲透進(jìn)數(shù)學(xué)思想，將大大提高教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生更好地理解，更好地記憶。

二、注重?cái)?shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想教學(xué)

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，是將數(shù)學(xué)問(wèn)題中量與量的關(guān)系予以明確，盡可能地在數(shù)學(xué)問(wèn)題分析期間化難為易，化繁就簡(jiǎn)。利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，可以幫助學(xué)生在分析問(wèn)題期間協(xié)調(diào)抽象思維和形象思維，完成數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有效互動(dòng)和聯(lián)系，從復(fù)雜化的數(shù)量關(guān)系當(dāng)中將數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征凸顯出來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)“乘法口訣”教學(xué)期間，若是讓學(xué)生死記硬背乘法口訣，取得效果相對(duì)較差。但是通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生可以利用小木棒等工具，擺放出自己喜歡的圖案，之后再根據(jù)圖案數(shù)木棒，通過(guò)木棒數(shù)量的增加，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟乘法口訣。學(xué)生在幼兒園的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿?！薄皟芍磺嗤軆蓮堊?，四只眼睛八條腿……”學(xué)生可以使用手中的木棒擺放出這些數(shù)量，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)幫助學(xué)生明確圖形和數(shù)量之間的關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生從抽象的數(shù)字中體會(huì)“數(shù)字”的含義，并且明確數(shù)字的作用。再比如利用小木棒擺放小正方形的時(shí)候，讓學(xué)生思考一個(gè)正方形需要使用幾根木棒？這樣便可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)字形成敏感性，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。之后學(xué)生在碰到數(shù)字8、數(shù)字12、數(shù)字16 的時(shí)候，潛意識(shí)中就會(huì)想到分別是2×4，3×4，4×4，有兩個(gè)、三個(gè)和四個(gè)正方形。采用這樣的學(xué)習(xí)方法，在具體應(yīng)用期間，將會(huì)養(yǎng)成良好的數(shù)字感，并且將數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓數(shù)形結(jié)合思想恰到好處。

三、注重函數(shù)的思想方法運(yùn)用

在所有數(shù)學(xué)思想中，函數(shù)思想是一種較復(fù)雜同時(shí)具有顯著特征的數(shù)學(xué)思想。函數(shù)思想主要是通過(guò)運(yùn)動(dòng)且變化的觀點(diǎn)反映客觀事物在數(shù)量上的聯(lián)系，或者是受特定條件變化影響而發(fā)生的改變規(guī)律。由于函數(shù)思想較晦澀難懂，因此，小學(xué)生在了解函數(shù)思想的過(guò)程中，必須要循序漸進(jìn)，要有一個(gè)逐漸遞增過(guò)程。比如，在教授“乘法口訣”時(shí)，老師在黑板中間寫(xiě)乘法口訣，而兩側(cè)寫(xiě)對(duì)應(yīng)的乘法公式，根據(jù)特定的順序?qū)λ闶竭M(jìn)行排列。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中因數(shù)的變化導(dǎo)致兩個(gè)數(shù)之間乘積的變化的規(guī)律。通過(guò)這樣的方法，將函數(shù)思想滲透進(jìn)乘法口訣的教學(xué)過(guò)程中，能夠幫助學(xué)生更好地掌握乘法口訣，同時(shí)初步形成函數(shù)上的基本概念。當(dāng)編完了口訣之后，帶領(lǐng)學(xué)生積極地觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)口訣中的規(guī)律，如果一句口訣忘了之后該如何進(jìn)行思考。學(xué)生會(huì)說(shuō)，通過(guò)想上一句引出下一句。這種方法其實(shí)間接使用了函數(shù)的基本思想。比如，三七二十一的下一句就是三八二十四，如果忘記了三八二十四，可以通過(guò)三七二十一的二十一加上三等于二十四幫助聯(lián)想。通過(guò)這樣的方式幫助學(xué)生更好地記憶乘法口訣，用加法輔助計(jì)算乘法。究其本質(zhì)，這就是一種函數(shù)思想的具體表現(xiàn)。其中3 為因數(shù)，在過(guò)程之中保持不變，另一個(gè)因數(shù)加一，對(duì)應(yīng)的乘積也就變成了二十四，這里的7 和8 就看成函數(shù)中的變量的兩次取值。函數(shù)中，一個(gè)因數(shù)恒定不變，乘積隨著變量的變化而變化。這個(gè)道理雖然簡(jiǎn)單，但是受制于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)知識(shí)的積淀尚存的不足，因此，小學(xué)生可能難以發(fā)現(xiàn)，而教材之中也沒(méi)有明確的指示。這就需要數(shù)學(xué)老師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行指點(diǎn)，充分挖掘乘法口訣中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，將原本傳統(tǒng)的死記硬背變成有益的思考。傳授給學(xué)生學(xué)習(xí)方法的同時(shí)也滲透進(jìn)了函數(shù)的基本思想。

四、注重化歸思想的運(yùn)用

化歸思想也是數(shù)學(xué)思想中的重要內(nèi)容，也是在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)使用到的一種數(shù)學(xué)思想。所謂化歸，其本質(zhì)上就是一種特殊的轉(zhuǎn)化以及歸結(jié)。也就是通過(guò)特定的數(shù)學(xué)方法，將新的知識(shí)以及無(wú)法解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)換將其變?yōu)榕f知識(shí)并能夠聯(lián)想到或者是較易解決的問(wèn)題。在教學(xué)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)課本的每一章節(jié)之間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，采用化歸思想對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和推導(dǎo)，從而引領(lǐng)出新的知識(shí)。因此，在教學(xué)過(guò)程中，老師必須教會(huì)學(xué)生如何利用化歸思想，總結(jié)現(xiàn)有知識(shí)，思考問(wèn)題，獨(dú)立地獲取新知。

在學(xué)習(xí)“乘法口訣”的過(guò)程中，要想確保教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生必須要做到能夠熟背乘法口訣的每一句要點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)能夠脫口而出。但是在學(xué)習(xí)的初期，往往會(huì)面臨著很多的困難，甚至有學(xué)生會(huì)因?yàn)閷W(xué)習(xí)的困難而放棄學(xué)習(xí)，喪失對(duì)學(xué)習(xí)的信心。在這個(gè)時(shí)候，老師就要積極地帶領(lǐng)學(xué)生分析口訣之間存在的聯(lián)系，通過(guò)合理的方法，慢慢地自己想起一時(shí)還記不住的口訣。比如在教學(xué)過(guò)程中，抽背學(xué)生背誦乘法口訣，學(xué)生只記得三七二十一，但是想不起來(lái)三八二十四。這個(gè)時(shí)候，老師就要引導(dǎo)學(xué)生：我們記住了三七二十一，但是我卻想不起來(lái)三八二十四這個(gè)時(shí)候我們應(yīng)該有什么更好的方法幫助思考呢？有部分比較愛(ài)動(dòng)腦筋的學(xué)生就會(huì)馬上想到在21的基礎(chǔ)之上加上3 就得到了24；也有的學(xué)生說(shuō)，只要能夠記得3×9=27，只要將27 再減去3，就能夠得到24。這樣用口訣中的聯(lián)系，幫助記憶，用加減法，輔助乘法。這不僅包含了上述所說(shuō)的函數(shù)思想，同時(shí)還蘊(yùn)含了對(duì)應(yīng)思想、化歸思想。

另外一方面，在教材中有著數(shù)格子的習(xí)題，這就是一種對(duì)多種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合運(yùn)用的典型例題。在數(shù)格子練習(xí)中，不僅能夠充分利用化歸思想，同時(shí)還能夠結(jié)合使用數(shù)形結(jié)合的思維。比如有的學(xué)生為了加快數(shù)格子的速度，通過(guò)割補(bǔ)小正方形，讓不規(guī)則的圖形變成每行格子數(shù)都相同的規(guī)則圖形，而后結(jié)合圖形的計(jì)算公式列出乘法算式，在運(yùn)用口訣進(jìn)行計(jì)算。最后再對(duì)其他邊角的地方格子進(jìn)行加法運(yùn)算。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生知道運(yùn)用數(shù)學(xué)方法將不規(guī)則的圖形使用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成每行每列格子數(shù)都相同的規(guī)則圖形，這樣就可以運(yùn)用乘法口訣，快速計(jì)算出有多少個(gè)格子。這就是一種化歸思想，也是一種較簡(jiǎn)潔同時(shí)計(jì)算快速的方法。

除此之外，各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間發(fā)生的轉(zhuǎn)化也是一種化歸思想的重要體現(xiàn)。老師在進(jìn)行乘法教學(xué)的過(guò)程中，基本上都是先有圖形，然后才有算式，最后再根據(jù)算式編出相應(yīng)的口訣，這三種形式之間發(fā)生了轉(zhuǎn)變，就可以看成是數(shù)學(xué)化歸思想的轉(zhuǎn)化。圖形語(yǔ)言直觀形象，而符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)練準(zhǔn)確，普通的口訣語(yǔ)言易于記憶。在小學(xué)階段，學(xué)生在思維上仍然還處于形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生尋找到不同知識(shí)間存在的聯(lián)系，加強(qiáng)各種數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶和化歸，就可以形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

五、與學(xué)生實(shí)際生活相結(jié)合

數(shù)字與圖形是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兩個(gè)方面，在分析與解決問(wèn)題的時(shí)候，要從數(shù)量關(guān)系和空間形式兩個(gè)方面展開(kāi)，這便是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)問(wèn)題分析與解決期間，利用數(shù)形結(jié)合思想可以通過(guò)使用比較簡(jiǎn)單的符號(hào)、圖形以及文字，將示意圖展示出來(lái)，推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展，形成與數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。在乘法口訣教學(xué)期間，老師可以通過(guò)放置小木棒、擺放圖片和繪制線(xiàn)段等方式記憶，通過(guò)這種方法可以將數(shù)量關(guān)系以圖形的方式展示出來(lái)，充分體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的基本思想。

比如，在學(xué)習(xí)“倍數(shù)關(guān)系”這節(jié)課程的時(shí)候，老師可以讓學(xué)生根據(jù)教室大掃除活動(dòng)，思考在活動(dòng)期間，掃地的人數(shù)總共有5 人，擦桌子的人數(shù)比掃地的人數(shù)多兩倍，那么擦桌子的人數(shù)共計(jì)有多少人？在數(shù)學(xué)教材中，第一次出現(xiàn)用線(xiàn)段的方式幫助學(xué)生分析人數(shù)數(shù)量關(guān)系。老師要教授學(xué)生合理地領(lǐng)會(huì)教材中的意圖，讓學(xué)生先詳細(xì)觀察圖形，將圖意表達(dá)清楚，之后再使用工具進(jìn)行擺一擺掃地的人數(shù)數(shù)量，利用圖形將數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

六、學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，已經(jīng)成為一個(gè)符號(hào)化的知識(shí)體系，符號(hào)和數(shù)學(xué)之間存在著必然的聯(lián)系。數(shù)學(xué)不能脫離符號(hào)而單獨(dú)存在，在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，需要對(duì)多種符號(hào)進(jìn)行綜合運(yùn)用。在問(wèn)題解答的過(guò)程中，只要詳細(xì)分析便可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)理論中，符號(hào)的重要意義，對(duì)論證數(shù)學(xué)理論帶來(lái)極大便利，所以符號(hào)必不可少。利用數(shù)形結(jié)合思想表示數(shù)學(xué)符號(hào)，可以幫助學(xué)生發(fā)展邏輯思維。在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)乘法口訣教學(xué)期間，利用數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)符號(hào)化思想，可以降低數(shù)學(xué)解題難度。

例如，在學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)第三冊(cè)《表內(nèi)乘法》課程的時(shí)候，在練習(xí)題中就有利用“（）”取代變量位置問(wèn)題，讓學(xué)生將恰當(dāng)?shù)臄?shù)字填寫(xiě)進(jìn)“（）”中，如（）×5＜31，39＞6×（），在“（）”中填寫(xiě)最大的整數(shù)。老師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)題目分析中領(lǐng)悟題目的訓(xùn)練意圖。“（）”則表示一個(gè)符號(hào)，符號(hào)在這里起到位置占有者的作用，從而讓學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候通過(guò)討論和思考，得到結(jié)果。再拋卻題干中提出的問(wèn)題“（）中填寫(xiě)最大的整數(shù)”，思考在“（）”中最小可以填入數(shù)字幾？最大可以填入數(shù)字幾？在自然數(shù)范圍內(nèi)，可以填寫(xiě)哪些數(shù)字等等。學(xué)生在解答題目的時(shí)候，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式尋找到問(wèn)題的答案。老師可以進(jìn)一步深化問(wèn)題，將原題目“（）×5＜31”更改為“（）×（）＜31”，讓學(xué)生思考在“（）”中可以填入哪些數(shù)字。通過(guò)這種方法，學(xué)生可以大幅度增加思考空間，使得符號(hào)思想和數(shù)形結(jié)合的方法深入腦海。

七、類(lèi)比思想以及遷移思想的應(yīng)用

類(lèi)比思想是在小學(xué)教學(xué)過(guò)程中使用頻率較高的一種思想方法，究其本質(zhì)，類(lèi)比思想主要是根據(jù)兩種數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在的相似性，將已知的一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的一種數(shù)學(xué)思想。通過(guò)這樣的方法，不僅能夠讓原本晦澀難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)更加容易理解，同時(shí)，還可以使口訣的記憶變得更加流暢自然。比如，在乘法口訣填空的例題中，學(xué)生要根據(jù)乘法口訣的排列順序正確地填空。在這之中，就滲透進(jìn)了類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生可以通過(guò)已知的乘法，縱向或橫向觀察，發(fā)現(xiàn)縱向及橫向中存在的規(guī)律，而后再將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用到未知的一列或者是一行中。

符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中必不可少的重要工具，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方法。數(shù)學(xué)符號(hào)除了能夠用來(lái)表達(dá)之外，還可以幫助學(xué)生對(duì)自身的思維進(jìn)行進(jìn)一步的拓展。在“表內(nèi)乘法”中就十分注意符號(hào)化思想的滲透。比如練習(xí)題中，讓學(xué)生在方框里面填數(shù)。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生充分了解方框符號(hào)，在題目中的占位作用，帶領(lǐng)學(xué)生思考方框里面可以填哪些數(shù)？這樣一來(lái)，學(xué)生的思考空間就大大增加，同時(shí)也滲透進(jìn)了符號(hào)化的思想方法。除了方框之外，圓圈、括號(hào)等等都是符號(hào)思想的重要體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要建立的一種基本思維，教師在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，必須滲透進(jìn)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。乘法口訣對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是較晦澀難懂的，因此通過(guò)數(shù)學(xué)思想的滲透，能夠顯著提升教學(xué)效果，同時(shí)還能夠幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)思維，對(duì)于日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有著極其重要的作用。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是循環(huán)往復(fù)，同時(shí)螺旋上升的，而且不同數(shù)學(xué)思想間并不存在隔閡。它們是彼此促進(jìn)、相互聯(lián)系的共同體。在乘法口訣的教學(xué)過(guò)程中，必須要讓學(xué)生體驗(yàn)從已有知識(shí)推導(dǎo)出新知識(shí)的一個(gè)具體過(guò)程，讓學(xué)生掌握探究的思想方法，養(yǎng)成勤于學(xué)習(xí)，勤于探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

八、結(jié)束語(yǔ)

乘法口訣是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，編寫(xiě)的乘法口訣主要目的是方便學(xué)生對(duì)數(shù)字進(jìn)行靈活運(yùn)用。在乘法口訣教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生快速掌握乘法口訣知識(shí)，提升乘法口訣應(yīng)用能力，對(duì)養(yǎng)成學(xué)生數(shù)學(xué)思想奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。