師晉生，張巧珍

(1. 天津科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300222；2. 天津科技大學(xué) 理學(xué)院，天津 300475)

熱傳導(dǎo)在傳熱工程學(xué)中是一個最基本的傳熱問題，在計算傳熱過程的熱流量時，導(dǎo)熱環(huán)節(jié)經(jīng)常以導(dǎo)熱形狀因子的形式出現(xiàn)在算式中，使用導(dǎo)熱形狀因子可使傳熱計算過程更加簡單明了從而得到廣泛應(yīng)用[1，2]. 在圓柱形表面參與的熱交換中，圓管內(nèi)外表面各自維持一個恒定溫度而發(fā)生的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是有關(guān)圓柱面導(dǎo)熱的最基礎(chǔ)的問題，而由同心圓柱面衍生出的偏心圓管內(nèi)外表面間的導(dǎo)熱、兩平行圓管表面通過它們之間介質(zhì)的導(dǎo)熱、地下水平埋管表面與地面間的導(dǎo)熱則是傳熱學(xué)的一類經(jīng)典問題[3-5]. 這三種情況的導(dǎo)熱問題在實際工程里都有大量應(yīng)用，如圓管表面的保溫材料覆層的偏心現(xiàn)象、冷熱管道在地面下的平行敷設(shè)、地下水平埋設(shè)的熱力管道或電纜等，以上觀點得自于大量的傳熱及過程工業(yè)的書籍及手冊. 這3種情況下的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流量的計算早已得到研究，但相關(guān)過程講解的都是以熱源法進行[3-6]，其他則大多只是列出導(dǎo)熱形狀因子[7，8]，如何得來則付之闕如，給傳熱學(xué)愛好者帶來困惑，對此類問題的研究也有用攝動法進行[9]情形，這提供了另一種方法.

在復(fù)變函數(shù)的保角映射里，實際情形下的平面系統(tǒng)里進行的符合拉普拉斯方程的物理過程，可以轉(zhuǎn)換到輔助平面里且過程性質(zhì)不變，邊界上的第一類邊界條件也保持不變. 這一特點給包括電學(xué)[10，11]和熱學(xué)在內(nèi)的很多物理問題的解決提供了便利，一旦實際的復(fù)雜幾何形狀可以變換為簡單幾何形狀，就有可能利用簡單幾何條件下的已有結(jié)果，反推而得到實際的復(fù)雜幾何條件下的物理問題的解.

本文關(guān)注穩(wěn)定狀態(tài)下兩個表面各自維持等溫不變的偏心圓筒壁面之間、兩平行圓柱面之間、埋地圓管與地面之間的導(dǎo)熱與同心圓管內(nèi)外表面之間導(dǎo)熱的相似性. 圖1示出了3種實際工程存在的傳熱問題，注意到圖中所示(a)、(b)、(c)3種情況都屬于兩個平行而不同軸的圓柱形表面之間的導(dǎo)熱，對(c)來說，地面可當(dāng)作半徑為無限大的圓，因而埋管與地面之間的導(dǎo)熱也可當(dāng)作兩個不同心圓面間的導(dǎo)熱. 因此，這3種情況都可以采用保角映射變換成兩個同心同軸圓柱表面，從而可以利用后者現(xiàn)成的結(jié)果，將輔助平面與實際平面間的關(guān)系回代，就得到與文獻中相同的結(jié)果. 用保角映射解決這類問題，與文獻中對相同問題的研究相比，方法殊途而結(jié)果同歸，可為這類問題的研究拓廣思路.

下邊針對實際問題的幾何圓面，先尋找公共對稱點，再利用分式線性映射，將兩個不同心的圓面變換成輔助平面的同心圓面. 再將實際平面與輔助平面的幾何關(guān)系代入同心圓面導(dǎo)熱的結(jié)果里，得到三種實際問題穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的結(jié)果.

1 導(dǎo)熱模型

對圖1所示3種實際傳熱問題作以下簡化：1)兩圓柱面在軸線即長度方向上平行而不同心；2)沿圓管軸線方向的導(dǎo)熱可忽略不計，因而這里的傳熱就簡化為沿軸線任一橫截面上的兩個圓之間的導(dǎo)熱；3)傳熱過程在穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、各向同性、換熱兩表面各自維持均勻等溫的條件下進行.

圖1 3種實際導(dǎo)熱模型

1.1 圓面的公共對稱點

任一圓面都有無窮多對關(guān)于其表面的對稱點，兩個圓面則只在其圓心連線上有一對對稱點，圖1中以小點示意性表示. 圖1(a)中的對稱點，一個在兩個圓面內(nèi)，一個在兩個圓面外邊；(b)中兩個圓面內(nèi)各有一個對稱點；對(c)情況，一個對稱點在圓面內(nèi)，另一個在直線表面一側(cè)無窮遠處，此直線表面即是半徑為無窮大的圓面. 求兩個圓面對稱點的做法是一樣的，下面以圖1中(a)為例，推導(dǎo)對稱點的共同求法，得到實際平面內(nèi)圓面與輔助平面內(nèi)變換后圓面的幾何關(guān)系.

圖1(a)及變換后的圖形示于圖2，內(nèi)外圓面及半徑分別以C1、C2和R1、R2表示，R1

圖2 變換后模型

按其幾何關(guān)系，有下式：

(1)

(2)

對于圖1(b)的情況，一個對稱點在C1內(nèi)，另一個對稱點在C2內(nèi)，都在x軸上，因而也有上述關(guān)系. 解上述方程可得

(3)

(4)

即在復(fù)平面z內(nèi)，點z1(x1,0)和z2(x2,0)就是這兩個偏心圓面C1和C2的共同對稱點. 采用分式線性變換將平面z向復(fù)平面w變換：

(5)

這一變換將z平面上每一點都一一對應(yīng)地轉(zhuǎn)換成w平面上的點，具有保圓性，即將z面上的圓轉(zhuǎn)換成w面上的圓，只是圓心和半徑會發(fā)生變化. 通過這一變換，當(dāng)在z平面上分別取點z=x1和x2時，在w平面上得到0和∞，即變換后的兩個圓都以坐標(biāo)原點和無窮遠點為對稱點，這表明兩個圓都以坐標(biāo)原點為圓心，從而成了兩個同心圓，C1對應(yīng)著C′1，C2對應(yīng)著C′2，如圖2(b)所示.

1.2 兩同心圓面的半徑

在z平面的圓C1上取一點z=R1，變換后落在w平面的圓C′1上，其坐標(biāo)為

于是，圓C′1的半徑即為該點坐標(biāo)的模：

(6)

同理，在C2上取一點z=L+R2，變?yōu)閣平面上圓C′2上的點：

于是，C′2的半徑為

(7)

1.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解

在z平面內(nèi)，溫度是z坐標(biāo)的調(diào)和函數(shù)，在圓C1上溫度保持為t1，在圓C2上溫度保持為t2. 變換到w平面后，溫度則成了w坐標(biāo)的調(diào)和函數(shù)，兩個邊界圓面C′1和C′2則保持原象圓面C1和C2上的溫度不變. 因此在w平面上的導(dǎo)熱方程及其邊界條件為

(8)

|w|=R′1∶t=t1, |w|=R′2∶t=t2

(9)

在w平面上，導(dǎo)熱成為兩個等溫同心圓面穩(wěn)態(tài)徑向的一維導(dǎo)熱，因此，在兩圓面之間的溫度分布為

兩圓柱單位長度壁面之間的傳導(dǎo)熱流量為

(10)

式中λ為兩圓柱面之間介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù). 將上式中的R′1和R′2用z平面的相應(yīng)半徑表達，有

(11)

則式(10)成為

(12)

2 形狀因子及其應(yīng)用

2.1 形狀因子

取單位長度做為基準(zhǔn)，分別得出三種情況下的導(dǎo)熱形狀因子.

1) 偏心圓筒壁

由式(12)直接得到

(13)

2) 兩平行圓柱面

此時，兩圓圓心距與其半徑的關(guān)系為L>R1+R2，式(11)中分子上的L和R前的符號反向，所以其形狀因子為

(14)

3) 地面下水平埋管

此時，C1圓柱面不變，C2圓柱面半徑趨于無窮大，C1圓心與地面距離為

H=R2-L

(15)

H保持不變，則有

L=R2-H

(16)

當(dāng)R2趨于無窮時，L也同步趨于無窮，故

(17)

(18)

(19)

式(13)、(14)表達了兩個圓面之間的距離及管徑對傳熱的影響，式(18)表達了水平埋地圓管的埋深及管徑對傳熱的影響. 根據(jù)實際情況，需要增大傳熱時，應(yīng)調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)使形狀因子增大，反之則應(yīng)使其減小.

2.2 實際應(yīng)用

在實際當(dāng)中，當(dāng)一偏心圓筒內(nèi)外壁面溫度、或兩個埋設(shè)于無限大固體介質(zhì)中的平行圓管外壁面溫度、或埋設(shè)于地面下的圓管外壁面及地表面的溫度都各自保持均勻不變，管長為l時的熱流量可用下式計算：

Q=SλlΔt

(20)

Δt為兩傳熱表面間的溫度差.

當(dāng)傳熱計算的已知條件不是給出兩個圓表面的溫度這樣的第一類邊界條件，而是第三類邊界條件時，對偏心圓管則管內(nèi)外流體介質(zhì)溫度及對流傳熱系數(shù)要已知，對埋設(shè)于無限大介質(zhì)中的兩個平行圓管，則兩圓管內(nèi)的流體介質(zhì)溫度和傳熱系數(shù)已知，對埋設(shè)于地面下的水平圓管則是管內(nèi)流體介質(zhì)溫度及傳熱系數(shù)已知，地面上空氣溫度及與地面的傳熱系數(shù)已知，在這種情況下，總的傳熱熱流量為

Q=KAmΔt

(21)

式中K為總傳熱系數(shù)，Am為選定的傳熱面積，Δt為兩個圓柱面里流體介質(zhì)的溫度差. 此時有

(22)

式中，α1、α2、A1和A2分別為兩個圓柱面里的對流傳熱系數(shù)及圓筒壁面的面積，此時導(dǎo)熱形狀因子是作為熱量傳遞路途上的一個熱阻.

3 結(jié)語

三種實際工程中的導(dǎo)熱問題看似迥然不同，而在保角映射的觀點看來，卻有本質(zhì)上的相似性. 本文以其中的偏心圓管內(nèi)外表面導(dǎo)熱為代表，展示了對這種問題采用保角映射進行求解的過程，得到了各自的導(dǎo)熱形狀因子，利于傳熱愛好者對類似問題的探索. 在實際工程應(yīng)用中，導(dǎo)熱形狀因子作為傳熱過程的一個環(huán)節(jié)，嵌進傳熱過程計算式十分方便.