趙佳棋

新授和復(fù)習(xí)雖然都是信息加工和認(rèn)知形成的過程,但是兩者間有著本質(zhì)的不同。新授是知識(shí)的首次接觸和初加工,但復(fù)習(xí)則是認(rèn)知重構(gòu)和知識(shí)脈絡(luò)的形成性活動(dòng)。初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)具有重復(fù)性、綜合性和思想性三個(gè)特點(diǎn)。重復(fù)性是指所接觸的信息是重復(fù)的,沒有新知識(shí)的呈現(xiàn),但是其中不乏新認(rèn)識(shí)和新結(jié)構(gòu)的生成。古語講:“溫故而知新?！睆?fù)習(xí)是通過舊知識(shí)再現(xiàn),完善已有的個(gè)人認(rèn)知,克服細(xì)節(jié)遺忘,發(fā)現(xiàn)知識(shí)脈絡(luò),發(fā)現(xiàn)新的解題方法,形成新的數(shù)學(xué)思想。綜合性是指復(fù)習(xí)中的思維過程非單一的知識(shí)復(fù)現(xiàn),還包含新結(jié)構(gòu)的生成和完善、舊能力的提升和促進(jìn)等更為復(fù)雜的過程。思想性則是指通過復(fù)習(xí)可以形成更為成熟的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,形成以理性思維、批判質(zhì)疑和勇于探索為基本內(nèi)容的科學(xué)精神。

在初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中普遍采用的策略有三種,他們分別是以知識(shí)系統(tǒng)的整理、遷移應(yīng)用、結(jié)構(gòu)抽象為中心的基礎(chǔ)復(fù)習(xí);以數(shù)學(xué)方法的抽象、遷移應(yīng)用為核心的專題復(fù)習(xí);以數(shù)學(xué)思想抽象、目標(biāo)導(dǎo)向、數(shù)學(xué)研究和問題解決教學(xué)為核心的問題解決復(fù)習(xí)。以下我們分別予以探討。

一、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)法

基礎(chǔ)復(fù)習(xí)法,也可以稱為教材復(fù)習(xí)法,是教師普遍應(yīng)用的復(fù)習(xí)方式。它主要以教材知識(shí)點(diǎn)回顧和各種題型操練為主要形式。這種復(fù)習(xí)雖然以教材為基礎(chǔ),但是并非原來教學(xué)內(nèi)容的重復(fù),而是以篇章或單元為復(fù)習(xí)模塊。雖然對(duì)于細(xì)節(jié)知識(shí)依然十分重視,譬如概念的內(nèi)容及形成過程、基本公式及變形、基本思維方法的運(yùn)用與變通,但是以章、單元為基礎(chǔ)的復(fù)習(xí),必然十分注重知識(shí)系統(tǒng)的抽象和完善,從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)于篇章、板塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)的總結(jié)和概括,形成整體思維,站在全局的角度去思考局部的細(xì)節(jié)問題,思路更廣,方法更多,這也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成和解放。

在整體結(jié)構(gòu)構(gòu)建任務(wù)完成后,還要謀求基本能力的提高和思想方法的運(yùn)用,這需要大量的練習(xí)作為支撐。所以基礎(chǔ)復(fù)習(xí)也是大量操作性訓(xùn)練和簡(jiǎn)單的遷移性練習(xí)的過程。例如,在復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)與運(yùn)算這一章節(jié)時(shí),在知識(shí)架構(gòu)的呈現(xiàn)后,教師則要補(bǔ)充大量的相關(guān)練習(xí),如選擇題、填空題、解答題等來鞏固和訓(xùn)練學(xué)生對(duì)于此內(nèi)容的理解。比如在一次函數(shù)與反比例函數(shù)的復(fù)習(xí)中,就可以給出一道選擇題。這道題幫助學(xué)生鞏固反比例函數(shù)的重要特征,是比較基礎(chǔ)的。

A.經(jīng)過點(diǎn)(1,-1)

B. 在第二象限內(nèi),y隨x的增大而增大

C. 是軸對(duì)稱圖形,且對(duì)稱軸是y軸

D. 是中心對(duì)稱圖形,且對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)

以練為學(xué)是這個(gè)階段復(fù)習(xí)的一大特征。但練習(xí)的增加,也會(huì)加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。譬如簡(jiǎn)單題目的大量操練,雖然會(huì)形成思維定勢(shì),形成自動(dòng)化能力,但是也容易讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)感到枯燥乏味,討厭學(xué)習(xí)?？茖W(xué)研究表明,重復(fù)的練習(xí)增加了大腦的血流量,也弱化了神經(jīng)回路的連接,所以隨著練習(xí)次數(shù)的增加,后期效果卻往往是遞減的。面對(duì)陌生的題目,學(xué)生往往不知道從何處遷移應(yīng)用,會(huì)增加思考的價(jià)值性;挑戰(zhàn)性的問題會(huì)激發(fā)學(xué)生的斗志,激發(fā)他們的創(chuàng)造性思維。在簡(jiǎn)單操練的基礎(chǔ)上,也要增加一些新穎的、具有挑戰(zhàn)性的題目,因?yàn)閼?yīng)對(duì)新挑戰(zhàn)有助于大腦神經(jīng)連接的形成,可以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)遷移和認(rèn)知水平的提升。在復(fù)習(xí)中完善學(xué)生的認(rèn)知重構(gòu),首先要在整體建構(gòu)的基礎(chǔ)上,形成對(duì)知識(shí)、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的全新理解,再通過適時(shí)的適當(dāng)?shù)木毩?xí)實(shí)現(xiàn)鞏固和遷移,提升學(xué)生的問題分析和解決能力[1]。

依然是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的復(fù)習(xí),我們可以設(shè)計(jì)這樣的一道拔高題,以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維高度和深度。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-的圖像分別交x軸、y軸與C、A兩點(diǎn),將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到射線AN。點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部。

(1)求線段AC的長(zhǎng):

(2)當(dāng)AMx∥軸,且四邊形ABCD為梯形時(shí),求△BCD的面積:

(3)求△BCD周長(zhǎng)的最小值:

(4)當(dāng)△BCD周長(zhǎng)取得最小值,且BD=時(shí),△BCD的面積為______。

二、專題復(fù)習(xí)法

數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)法是指教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際在單位時(shí)間內(nèi)集中對(duì)于某個(gè)專題進(jìn)行講解和訓(xùn)練的方法。常見的有以下兩種方式:

第一種是總復(fù)習(xí)過程以教學(xué)內(nèi)容砍塊而確立的專題。初中階段,根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,可以分為四大專題,分別為代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)學(xué)初步、函數(shù)。其中代數(shù)又可以分為整式、分解因式、不等式、方程四個(gè)專題。幾何可以分為三角形、四邊形兩大專題。統(tǒng)計(jì)學(xué)初步可以分為數(shù)據(jù)的收集和整理、公差和方差三個(gè)專題。函數(shù)又可以分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和銳角三角函數(shù)。如果師生認(rèn)為這些專題還是較大,還可以再細(xì)化為一些小專題,深入學(xué)習(xí)。比如方程專題還可以繼續(xù)分為一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組三個(gè)專題。三角形專題可以劃分為全等三角形和相似三角形兩個(gè)專題。四邊形專題還可以細(xì)化為平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形等專題。上述結(jié)構(gòu)如果能通過思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)給學(xué)生,會(huì)給學(xué)生留下更加深刻的印象。這種知識(shí)專題結(jié)構(gòu)因?yàn)楹徒滩牡木幾虢Y(jié)構(gòu)類似,所以在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中教師可以有意識(shí)調(diào)整教材安排,把教材復(fù)習(xí)和專題復(fù)習(xí)結(jié)合在一起。

第二種初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題則是以學(xué)生能力項(xiàng)目分類來劃分的,如運(yùn)算能力專題、抽象思維專題、創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)專題、學(xué)習(xí)能力提升專題、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專題、邏輯推理能力培養(yǎng)專題、數(shù)據(jù)分析專題等。但上述專題并不一定都要開展,用時(shí)也不一定要平均分配,完全由學(xué)生的能力基礎(chǔ)來決定。比如根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力弱而開設(shè)數(shù)字運(yùn)算專題復(fù)習(xí);根據(jù)學(xué)生應(yīng)用題分析能力不強(qiáng)的實(shí)際情況,確立應(yīng)用題解決復(fù)習(xí)專題;根據(jù)動(dòng)點(diǎn)問題相對(duì)于學(xué)生較難的特點(diǎn),開設(shè)動(dòng)點(diǎn)專題復(fù)習(xí);針對(duì)學(xué)生閱讀理解能力弱而開設(shè)閱讀理解能力專題;針對(duì)學(xué)生對(duì)圖形觀察能力弱而開設(shè)的圖標(biāo)觀察專題等。

數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)可多可少,完全是根據(jù)學(xué)生的能力缺憾和知識(shí)疏漏而確立的。有人會(huì)說這是“頭痛醫(yī)頭腳疼醫(yī)腳”,不成系統(tǒng),會(huì)造成學(xué)生思維混亂。但是這種復(fù)習(xí)方法適合于不同的學(xué)情,能較好地解決學(xué)生的缺憾,很好地解決因?yàn)橐粔K木板短小而不能讓水桶裝滿水的問題。

專題復(fù)習(xí)不僅要注意知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建,也要注重?cái)?shù)學(xué)方法的抽象,數(shù)學(xué)思維的遷移應(yīng)用。科學(xué)操作,可以很好地補(bǔ)充基礎(chǔ)復(fù)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、問題解決復(fù)習(xí)法

數(shù)學(xué)問題解決復(fù)習(xí)是指針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所遇到的典型問題而采取的有針對(duì)性的專項(xiàng)復(fù)習(xí)方式,即通俗意義上講的做題法。其重點(diǎn)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)做題經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是在具體數(shù)學(xué)問題的解決中形成的,也只有在數(shù)學(xué)問題的實(shí)際解決中才能夠提升學(xué)生的分析問題能力、解決問題能力,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用一般經(jīng)驗(yàn)解決相似問題。

當(dāng)然教師所提供的或?qū)W生所選擇的數(shù)學(xué)問題往往都是一些難度較大、比較典型的問題。解決這些綜合性和復(fù)雜性的問題,能夠幫助學(xué)生形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣,靈活應(yīng)用這些思想方法和思維習(xí)慣到類似的問題解決中去。實(shí)踐表明,導(dǎo)致學(xué)生不能很好地解決數(shù)學(xué)問題的深層原因在于學(xué)生的數(shù)學(xué)思想沒能形成、數(shù)學(xué)思維不夠嚴(yán)密、數(shù)學(xué)問題解決習(xí)慣不夠良好,數(shù)學(xué)問題解決方法不足。要想解決上述問題,教師在教學(xué)中就要注意讓學(xué)生體會(huì)到問題解決的三個(gè)思維階段:

(一)定義階段。即通過數(shù)學(xué)問題的感知,定義該問題屬于哪個(gè)模塊的問題、哪種能力范疇的問題。要認(rèn)真閱讀題目,確定題目的問題要求,明確自己要解決的問題。從目標(biāo)問題出發(fā),去感知問題中的目標(biāo)和條件,并根據(jù)自己的理解畫出適當(dāng)?shù)膱D示,用自己可理解的語言對(duì)問題中的邏輯關(guān)系做出清楚的表征。當(dāng)然這些也可以不用展示在草稿紙上,而是緩存在自己的臨時(shí)記憶中,并在自己頭腦中已構(gòu)建的知識(shí)系統(tǒng)中尋找與之對(duì)應(yīng)的項(xiàng)目。

(二)編碼階段。即為問題的解決確定方式方法。根據(jù)上一步閱讀題干所獲取的目標(biāo)問題信息,搜索相關(guān)的已提供信息,并搜索與此有關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)或操作程序;重新編輯所需要的信息,利用自己記憶中形成的數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)思維模式,確立問題解決的工作流程。但是有些復(fù)雜問題很難簡(jiǎn)單地確定采取哪些途徑解決,就需要解題者采用相應(yīng)的轉(zhuǎn)換手段,把它轉(zhuǎn)換為多個(gè)簡(jiǎn)單問題。比如轉(zhuǎn)換目標(biāo)問題,把分式問題轉(zhuǎn)換為整式問題;把應(yīng)用題轉(zhuǎn)換為幾何問題;把函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為計(jì)算問題等。也可以轉(zhuǎn)換已知信息,把提供的半徑信息轉(zhuǎn)換為面積信息;把提供的長(zhǎng)寬高信息轉(zhuǎn)換為體積信息;將提供的長(zhǎng)度和時(shí)間信息轉(zhuǎn)換可以利用的速度信息。通過已知信息挖掘出隱含的信息,再根據(jù)這些信息確定將要使用的定理、公式或可能用到的方法,從而最終制訂問題的解決計(jì)劃。

(三)解決階段。也可以稱之為計(jì)算階段,根據(jù)編碼階段確定的解決思路,運(yùn)用提供的各種信息,執(zhí)行所需要的算術(shù)運(yùn)算或推導(dǎo)。通過推理和計(jì)算,執(zhí)行已確定的解題程序,由已知數(shù)據(jù)推導(dǎo)出未知的目標(biāo)數(shù)據(jù)。在問題答案得出后,能夠把方法升華為自己解決問題的一種成熟策略,嘗試在以后的解題過程中遷移應(yīng)用。答案放回到原題中去檢驗(yàn)其正確性和合理性。能夠?qū)栴}解決過程做科學(xué)評(píng)估和總結(jié)。

數(shù)學(xué)問題的解決需要做題者要有充分的智慧積累。這些智慧積累通常表現(xiàn)在三方面,分別是知識(shí)體系、思維方法和做題經(jīng)驗(yàn)。做題者頭腦中要有簡(jiǎn)約有序的知識(shí)體系。這個(gè)體系能夠很快地幫助做題者從中提取信息,或者把遇到的問題快速地放到相應(yīng)的體系中去思考,減少做題的盲目性。知識(shí)體系的形成不僅要求老師要對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸納,也要求學(xué)生要有自我整理能力,隨時(shí)隨地把自己新接觸的知識(shí)放到自己原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中,或者在原知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上生成新的知識(shí)框架。思維導(dǎo)圖的制作是完善知識(shí)體系的一個(gè)重要方法,教師要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用并積極推廣這種學(xué)習(xí)方法。思維方法看似很抽象,但是卻真實(shí)存在于學(xué)生的思維深處。頭腦中有豐富數(shù)學(xué)思維方法的同學(xué)會(huì)很快地把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,把模糊的問題清晰化,把未知的問題已知化,從而快速地確定問題解決方案并成功加以解決。優(yōu)秀思維方法的形成需要學(xué)生認(rèn)真聽課,學(xué)會(huì)教師所提供的科學(xué)思維方法;需要自己積極總結(jié),形成自己良好的思維習(xí)慣;需要經(jīng)常性地補(bǔ)充和完善自己的數(shù)學(xué)思想,使之能夠適應(yīng)更大范圍的問題解決。

做題經(jīng)驗(yàn)是更為具體的思維方法,它需要學(xué)生在大量的做題、多角度的思考題目中逐漸形成。但是做題經(jīng)驗(yàn)又不是千篇一律的,有些做法對(duì)這個(gè)人適用,對(duì)另一個(gè)人卻不適用。做題也是有一般套路的,在沒有自己成型經(jīng)驗(yàn)可用的時(shí)候,學(xué)生可以借鑒老師、其他同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)嘗試應(yīng)用。適合則繼續(xù)嘗試并完善,不適合則放棄并嘗試新的經(jīng)驗(yàn)。從這個(gè)角度看,他人的經(jīng)驗(yàn)還是很重要的。在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等方面,教師總會(huì)提供一些一般性思考經(jīng)驗(yàn)。比如從已知到未知的解題思路、從未知到已知的解題思路、從已知和位置出發(fā),謀求二者相逢的雙向解題思路,這些方法學(xué)生都應(yīng)該嘗試,養(yǎng)成驗(yàn)證的好習(xí)慣,證實(shí)所得結(jié)論的合理性[2]。學(xué)生的做題過程就是嘗試一般套路,尋求適合自己獨(dú)特套路的過程。在不斷地嘗試和歸納中,逐漸形成思維自動(dòng)化、目標(biāo)指向化、問題模塊化,最終提升思維的遷移能力。

上述三種數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法并不是完全割裂的,也不是完全分步進(jìn)行的。基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中就有專題復(fù)習(xí)的影子,基礎(chǔ)復(fù)習(xí)和專題復(fù)習(xí)也同樣要去做題鞏固。教師結(jié)合具體學(xué)情,靈活運(yùn)用三種方法。根據(jù)學(xué)生的問題點(diǎn),把這三個(gè)方法有機(jī)結(jié)合在一起,既注重基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí),又注重專題項(xiàng)目的系統(tǒng)化,同時(shí)利用數(shù)學(xué)問題解決的契機(jī),培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維習(xí)慣、形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]。